CERMAT úlohy na téma „Aplikační úlohy netypicky zadané". Zadání a vyhodnocení zdarma; postup řešení ve zkušební verzi.
V prvním obrazci je nakreslena jedna kružnice a jedna přímka, která má s touto kružnicí právě jeden společný bod.
V každém dalším obrazci přibude jedna kružnice a jedna přímka. Všechny kružnice mají střed ve stejném bodě, ale každá nová kružnice má větší poloměr než ta předchozí. Všechny přímky jsou navzájem rovnoběžné a každá nová přímka má právě jeden společný bod s novou kružnicí. V každém společném bodě přímky a kružnice je puntík (viz obrázek).
Např. ve třetím obrazci je 9 puntíků.
Určete,
14.1 kolik puntíků je v 5. obrazci,
14.2 o kolik se liší počet všech puntíků v 8. obrazci a v 9. obrazci,
14.3 v kolikátém obrazci je o 171 puntíků více než v předchozím obrazci.
Na papírové ruličce je navinuta stuha delší než 9 m. Na volném konci stuhy je bílý proužek délky 6 cm, následuje červený proužek délky 6 cm a dále se tyto proužky pravidelně střídají.
Od volného konce jsme odměřili a odstřihli část stuhy délky 170 cm na pomlázku.
Určete,
5.1 kolik červených proužků je na odstřižené části stuhy na pomlázku,
5.2 kolik cm měří první necelý proužek na volném konci stuhy navinuté na ruličce po odstřižení části stuhy na pomlázku.
V počítačové hře se vyměňují desky, prkna a tyče pouze podle následujících pravidel:
Jednu desku lze vyměnit za 4 prkna.
Libovolnou dvojici prken lze vyměnit za 5 tyčí.
Z vyměněných dílů vytváříme ohradu:
Na 1 kus ohrady potřebujeme 3 prkna a 2 tyče.
K dispozici máme pouze desky a postupně je měníme za díly k ohradě.
14.1 Určete, kolik nejméně desek potřebujeme na 3 kusy ohrady.
14.2 Celkem 6 desek použijeme k vytvoření co největšího počtu kusů ohrady.
Určete, které nepoužité díly nám zbudou a v jakém počtu.
14.3 Máme k dispozici 19 desek.
Určete, kolik nejvíce kusů ohrady můžeme vytvořit.
První obrazec je čtverec.
Druhý obrazec má tvar obdélníku a vznikl z prvního obrazce přidáním dvou menších čtverců.
Každý další obrazec má opět tvar obdélníku a vznikne tak, že u kratší strany předchozího obrazce přidáme tolik menších čtverců, kolikátý obrazec vytváříme (viz obrázek).
Např. 3. obrazec vznikl z 2. obrazce přidáním tří menších čtverců.
Obvod 2. obrazce měří 300 cm.
Vypočtěte,
14.1 kolik cm měří strana 1. obrazce,
14.2 o kolik cm se liší obvod 4. obrazce a obvod 5. obrazce,
14.3 kolik cm měří obvod 6. obrazce.
Vědomostní hra má 10 kol. Hráč má na začátku hry celkem 10 žetonů a postupně může odpovědět na 5 lehčích a na 5 těžších otázek. V každém kole si může koupit pouze 1 otázku a zaplatí za ni 1 žeton. Pokud hráč kolo vynechá (otázku si nekoupí), žeton mu zůstane.
Za správnou odpověď na lehčí otázku získá hráč 2 žetony, za správnou odpověď na těžší otázku 3 žetony. Za chybnou odpověď žádný žeton nezíská.
(Např. hráč, který 3 kola vynechal a ze 7 zakoupených otázek správně odpověděl pouze na 1 lehčí, měl na konci hry celkem 5 žetonů.)
14.1 Určete, kolik nejvíce žetonů může mít hráč na konci hry.
14.2 Hráč vynechal pouze 1 kolo a ve zbývajících kolech získal za odpovědi na lehčí otázky o 3 žetony více než za odpovědi na těžší otázky.
Určete, kolik žetonů měl hráč na konci hry.
14.3 Hráč měl na konci hry 10 žetonů a přitom měl největší možný počet chybných odpovědí s tímto výsledkem.
Určete, kolikrát v této hře správně odpověděl na lehčí otázku.
Uveďte všechna řešení.
Poutník měl u sebe 54 dukátů, stejně jako kouzelník.
Kouzelník mu prozradil kouzlo:
„Když mi dáš právě tolik dukátů, abys měl polovinu toho, co budu mít i s darovanými dukáty já, zbytek tvých dukátů se zdvojnásobí a budeme mít opět stejně. Pokud to však zkusíš, ale nedokážeš, o všechny dukáty přijdeš.“
14.1 Poutník dal kouzelníkovi správný počet dukátů a zbytek dukátů se mu zdvojnásobil.
Určete, kolik dukátů dal poutník kouzelníkovi.
14.2 Protože kouzlo poprvé fungovalo, poutník jej použil ještě jednou.
Vypočtěte, kolik dukátů měl poutník, když se kouzlo vyplnilo podruhé.
14.3 Poutník kouzla několikrát využil. Když si správně spočítal, že už pomocí kouzla nemůže další dukáty získat a že by při dalším pokusu určitě o všechny přišel, dál nepokračoval.
Kouzelníkovi poděkoval a rozloučil se s ním.
Vypočtěte, kolik dukátů měl poutník, když se s kouzelníkem rozloučil.
Připojováním čtverečků k velkému bílému čtverci vytváříme obrazce (viz obrázek).
První obrazec má tvar čtverce a vznikl připojením 7 menších tmavých čtverečků.
Postupným připojením dalších 20 čtverečků dvou různých velikostí byl z prvního obrazce vytvořen druhý, který má také tvar čtverce.
Třetí obrazec vznikl z druhého připojením dalších 11 čtverečků a má tvar obdélníku.
První obrazec má obvod 80 cm.
14.1 Vypočtěte v cm obvod druhého obrazce.
14.2 Vypočtěte, o kolik cm se liší délky sousedních stran třetího obrazce.
14.3 Na obrázku dole je silně vyznačena uzavřená lomená čára, která kopíruje strany čtverečků ve třetím obrazci.
Určete v cm celkovou délku této lomené čáry.
Vytváříme obrazce tvaru šestiúhelníku složené ze stejně velkých bílých a šedých rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).
14.1 Vypočtěte, kolik trojúhelníků (bílých i šedých dohromady) obsahuje poslední přidaný pás 4. obrazce.
14.2 Vypočtěte, kolik šedých trojúhelníků obsahuje celý 6. obrazec.
14.3 Určete, kolikátý obrazec má v posledním přidaném pásu 225 šedých trojúhelníků.
Který z uvedených obrázků (A–E) logicky nepatří mezi ostatní?
Pyramida postavená z kostek stavebnice může mít libovolný počet pater. Každé patro pyramidy má stejnou výšku. Do prvního, druhého a každého dalšího patra vede vždy stejný počet schodů. Zdola do prvního patra vedou vždy černé schody, do druhého patra bílé schody a takto se rovněž ve vyšších patrech obě tyto barvy schodů pravidelně střídají.
Např.: na obr. 1 má pyramida 6 černých schodů a 4 bílé schody, na obr. 2 má pyramida 6 černých schodů a 3 bílé schody. Další pyramidy vytváříme v souladu s výchozím textem.
14.1 Pyramida s 8 patry má celkem 48 černých schodů.
Kolik schodů vede do prvního patra?
14.2 Pyramida se 7 patry má celkem 84 bílých schodů.
Jaký je celkový počet schodů v pyramidě?
14.3 V pyramidě s 90 schody má 27. schod stejnou barvu jako 30. schod, ale jinou barvu než 33. schod.
Jaký je největší možný počet pater v této pyramidě?
V pohádkovém království žil král. Když král slavil své 20. narozeniny, narodili se víla a skřítek. Víla i skřítek stárli pomaleji než král. Král stárnul 6krát rychleji než víla a 8krát rychleji než skřítek. Své první narozeniny tak víla oslavila v den, kdy od jejího narození král zestárl přesně o 6 let. Skřítek pak slavil své první narozeniny až o dva roky později. Uvažujte, že den oslavy narozenin vždy odpovídá příslušnému dni narození.
14.1 O kolik let zestárl král v období mezi oslavou 3. narozenin víly a 4. narozenin skřítka?
14.2 Kolikrát od svého narození oslavil skřítek své narozeniny do doby, než víla oslavila své desáté narozeniny?
14.3 Jednou za určité období oslavila víla i skřítek narozeniny v jeden den. Král předal království svému synovi právě v den, kdy víla a skřítek slavili v jeden den narozeniny už potřetí.
Kolik let bylo v ten den králi?
Tereza a Pepa šli hrát kuličky. Tereza si přinesla jen červené kuličky, měla jich 40. Pepa si přinesl jen modré kuličky. První hru vyhrál Pepa a od Terezy vyhrál jednu čtvrtinu jejích červených kuliček. Druhou hru vyhrála Tereza a získala tak od Pepy 16 modrých kuliček. Po těchto dvou hrách měli Pepa i Tereza stejný počet kuliček.
14.1 Kolik modrých kuliček měla Tereza po těchto dvou hrách?
14.2 Kolik kuliček měli Tereza a Pepa dohromady?
14.3 Kolik modrých kuliček si na začátku přinesl Pepa?
Který z uvedených obrázků (A–E) logicky nepatří mezi ostatní?
Standa se rozhodl, že bude prodávat domácí vajíčka. Proto si koupil 99 slepic, za které zaplatil 12 000 Kč. Standovy slepice snášely vajíčka následujícím způsobem: každá třetí slepice snášela vajíčko každý den ráno, každá druhá slepice ze zbývajících slepic snášela vajíčko každý druhý den ráno a zbylé slepice snášely vajíčko každý třetí den ráno. Standa sesbíral každé odpoledne všechna snesená vajíčka a prodával jedno za 3 Kč.
14.1 Kolik vajíček sesbíral Standa za prvních šest dní?
14.2 Kolik peněz Standa utržil za vajíčka, pokud prodal všechna vajíčka snesená za prvních 30 dní?
14.3 Po čtyřiceti dvou dnech musel Standa slepice prodat. Prodal je dohromady za 6 000 Kč.
Kolik peněz Standa utržil za slepice a vajíčka za celou dobu, po kterou choval slepice, pokud předpokládáme, že prodal všechna vajíčka, která slepice za 42 dní snesly?
Ze stejně velkých světlých a tmavých čtverečků tvoříme obrazce tvaru čtverce nebo obdélníku. Základní obrazec je tvořen jednou nebo více řadami světlých čtverečků.
Z každého základního obrazce vytvoříme rozšířený obrazec tak, že přidáme nahoru jednu řadu tmavých čtverečků a pak vlevo i vpravo po jednom sloupci tmavých čtverečků.
14.1 Ze základního obrazce, který má 5 řad, vytvoříme rozšířený obrazec přidáním 30 tmavých čtverečků.
Určete počet sloupců v základním obrazci.
14.2 Rozšířený obrazec má 3 řady a tvoří jej stejný počet tmavých a světlých čtverečků.
Určete počet sloupců v rozšířeném obrazci.
14.3 Můžeme najít mnoho rozšířených obrazců s 50 tmavými čtverečky.
Určete počet všech těchto rozšířených obrazců.
Základním dílkem je 1. obdélník, který je rozdělený na bílý čtvereček a šest stejně velkých trojúhelníků – bílé přiléhají ke kratším stranám obdélníku a šedé k delším stranám.
Spojováním základních dílků vytváříme větší obdélníky podle následujících pravidel:
- Přiléhají k sobě pouze trojúhelníky téže barvy, a jejich spojením tak vznikají další čtverečky.
- Delší strana obdélníku je vždy dvakrát delší než kratší strana obdélníku.
- V prvním obdélníku přiléhá ke kratší straně jeden bílý trojúhelník a v každém dalším obdélníku vždy o jeden bílý trojúhelník více než v předchozím obdélníku.
14.1 Určete, kolik čtverečků (bílých i šedých dohromady) obsahuje 4. obdélník.
14.2 Určete, kolik šedých čtverečků obsahuje obdélník se 45 bílými čtverečky.
14.3 Určete, kolik bílých čtverečků obsahuje obdélník, ve kterém je bílých čtverečků o 7 více než šedých.
Každý obrazec tvaru obdélníku je složen z malých šedých čtverečků a větších bílých čtverečků.
Všechny šedé čtverečky jsou stejné a jsou poskládány do spodní řady a do levého sloupce.
Zbytek obrazce tvoří bílé čtverečky. Každý bílý čtvereček má dvakrát delší stranu než šedý.
První obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky.
Skládá se celkem z 9 čtverečků (bílých i šedých dohromady).
Každý další obrazec má oproti předchozímu vždy o 2 šedé čtverečky více jak ve spodní řadě, tak i v levém sloupci.
14.1 Obrazec má ve spodní řadě 41 šedých čtverečků.
Určete počet bílých čtverečků v obrazci.
14.2 V obrazci je 90 bílých čtverečků.
Určete počet šedých čtverečků v obrazci.
14.3 Počet všech čtverečků (bílých i šedých dohromady) v posledním a v předposledním obrazci se liší o 106.
Určete počet šedých čtverečků v posledním obrazci.
Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek).
Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky.
V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.
14.1 Určete počet úseček v obrazci, který má 5 pater.
14.2 Počet úseček v posledním a v předposledním obrazci se liší o 96.
Určete, o kolik se liší počet puntíků v posledním a předposledním obrazci.
14.3 V jednom obrazci je 300 puntíků.
Určete počet úseček v následujícím obrazci.
Pyramida se skládá ze shodných čtverců. Horní řadu tvoří vždy jeden tmavý čtverec.
V pyramidě, která má více než 1 čtverec, se pravidelně střídají řady s tmavými a řady s bílými čtverci.
Každá další řada má vždy o 1 čtverec více než řada nad ní.
14.1 Pyramida má 10 řad.
Určete, o kolik se liší počet tmavých a bílých čtverců v pyramidě.
14.2 Pyramida má 73 řad.
Určete, o kolik se liší počet tmavých a bílých čtverců v pyramidě.
14.3 V pyramidě je o 101 bílých čtverců méně než tmavých čtverců.
Určete, kolik řad má pyramida.
Amélka, Viktorka a Zuzanka vytvářely stavby z kostek podle následujících pravidel:
První sloupec stavby tvoří 1 tmavá kostka a dalších 5 sloupců je postaveno postupně ze 2, 3, 4, 3 a 2 bílých kostek.
Poté se sloupce opakují ve stejném pořadí, ale po dostavění kteréhokoliv sloupce lze stavbu ukončit.
Např. stavba na obrázku má celkem 23 sloupců, z nichž je 19 sloupců bílých a 4 tmavé.
14.1 Amélčina stavba má celkem 42 sloupců.
Vypočtěte, kolik kostek (bílých i tmavých dohromady) obsahuje Amélčina stavba.
14.2 Viktorčina stavba má 58 bílých sloupců.
Vypočtěte, kolik tmavých kostek obsahuje Viktorčina stavba.
14.3 Zuzančina stavba obsahuje celkem 156 kostek (bílých i tmavých dohromady).
Vypočtěte, kolik sloupců má Zuzančina stavba.
Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.
14.1 Výsledný obrazec obsahuje celkem 36 černých puntíků.
Určete počet všech vodorovných přímek v tomto obrazci.
14.2 Výsledný obrazec obsahuje celkem 49 vodorovných přímek.
Určete počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce tohoto obrazce.
14.3 Výsledný obrazec má na spodní vodorovné přímce celkem 64 bílých puntíků.
Určete počet všech černých puntíků v tomto obrazci.
Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.
V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …
Určete,
14.1 na kolikátém místě řady je poprvé číslo 12,
14.2 na kolika místech řady je mezi prvními 125 čísly uvedeno liché číslo,
14.3 které číslo je na 152. místě řady.
První obrazec tvoří jediný puntík.
V dalších obrazcích jsou puntíky uspořádány ve čtvercích.
Strana hraničního čtverce u druhého obrazce obsahuje 3 puntíky a u každého následujícího obrazce má vždy o 2 puntíky více
(např. strana hraničního čtverce 5. obrazce obsahuje 9 puntíků).
Počínaje třetím obrazcem vidíme uvnitř hraničního čtverce vždy celý obrazec, který má pořadové číslo o 2 menší
(např. uvnitř hraničního čtverce 5. obrazce vidíme celý 3. obrazec).
(Následují další obrazce.)
Určete,
14.1 kolik puntíků obsahuje jedna strana hraničního čtverce 10. obrazce,
14.2 o kolik se liší počty puntíků v 9. a 11. obrazci,
14.3 u kolikátého obrazce se počty puntíků v okolních dvou obrazcích liší o 120
(okolními rozumíme obrazec těsně před a těsně za hledaným obrazcem).
Ve výloze obchodu jsou dvě reklamní lišty se žárovkami.
Na kratší liště jsou 4 žárovky a na delší liště je 6 žárovek. Na počátku žádná žárovka nesvítí.
Na kratší i delší liště se v 1. sekundě rozsvítí první žárovka zleva, ve 2. sekundě ještě druhá žárovka, ve 3. sekundě ještě třetí žárovka atd.
Jakmile jsou na některé liště rozsvíceny všechny žárovky, od další sekundy začínají žárovky na této liště postupně zhasínat, a to ve stejném pořadí, v němž se rozsvěcovaly.
Jakmile na liště zhasnou všechny žárovky, od další sekundy se začnou žárovky na této liště opět rozsvěcovat. Celý cyklus se u každé lišty opakuje stále dokola.
Určete,
14.1 v kolikáté sekundě bude poprvé na kratší liště rozsvíceno více žárovek než na delší liště,
14.2 kolik žárovek bude rozsvíceno na delší liště v 57. sekundě,
14.3 kolik žárovek bude dohromady rozsvíceno na obou lištách v 91. sekundě.
Trojúhelníkové obrazce se podle vzoru sestavují z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků.
Šestiúhelník se skládá ze 6 shodných tmavých trojúhelníků.
Na obrázku jsou tři nejmenší trojúhelníkové obrazce. Jednotlivé řady obrazce jsou očíslovány vždy od nejkratší po nejdelší.
Obrazec má 19 řad.
Určete počet
14.1 bílých trojúhelníků v 9. řadě,
14.2 tmavých trojúhelníků v 16. řadě,
14.3 tmavých šestiúhelníků v celém obrazci.
Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou.
Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …
Určete,
14.1 na kolikátém místě nové řady je číslo 100,
14.2 které číslo je na 100. místě nové řady,
14.3 na kolika místech nové řady je mezi čísly 1 až 101 uvedeno sudé číslo.
Čtvercová deska má v každé řadě i v každém sloupci 15 polí.
V prvním tahu se položí jeden žeton na prostřední pole desky.
Ve druhém a každém dalším tahu se položí po jednom žetonu na všechna neobsazená pole, která svou stranou sousedí s poli obsazenými žetony v předchozích tazích.
Teprve po posledním tahu bude ležet na každém poli desky jeden žeton.
Na obrázku je stav bezprostředně po třetím tahu. Číslo určuje, v kolikátém tahu se žeton položí na desku. (Není zobrazena celá deska.)
Určete,
14.1 kolik žetonů bude celkem na desce bezprostředně po pátém tahu,
14.2 kolik žetonů se na desku položí v posledním tahu,
14.3 kolik neobsazených polí bude na desce bezprostředně po 12. tahu.
První obrazec je sestaven z 9 sirek, druhý obrazec je sestaven ze 13 sirek a třetí i všechny následující obrazce se postupně zvětšují podle téhož pravidla.
Určete,
14.1 o kolik sirek má 5. obrazec více než 3. obrazec,
14.2 z kolika sirek je sestaven 20. obrazec,
14.3 kolikátý obrazec je sestaven ze 129 sirek.
Obdélníková mozaika z bílých a šedých čtverců se tvoří podle následujících pravidel:
– Počet sloupců v obdélníku je o 1 větší než počet řad.
– Bílé čtverce obklopují šedý obdélník pouze v jedné vrstvě.
Vypočtěte,
14.1 kolik šedých čtverců je v mozaice, která obsahuje celkem 12 řad,
14.2 kolik šedých čtverců je v mozaice, která má 70 bílých čtverců,
14.3 kolik bílých čtverců je v mozaice, která má celkem 380 čtverců (šedých i bílých).
Na čtvercové síti vytváříme ze sirek čtvercové labyrinty podle jednotných pravidel:
– Každá sirka odděluje vždy dvě pole čtvercové sítě.
– Sirky na sebe navazují, začínají ve středu čtvercového labyrintu a končí v jeho levém dolním rohu.
– Nejmenší labyrint je složen z 8 sirek a obsahuje 4 pole čtvercové sítě.
– Při sestavování následujícího labyrintu se přidá k předchozímu labyrintu nejmenší možný počet sirek.
Na obrázku jsou tři nejmenší labyrinty.
Vypočtěte,
14.1 kolik polí čtvercové sítě obsahuje 4. labyrint,
14.2 o kolik polí čtvercové sítě je 7. labyrint větší než 6. labyrint,
14.3 kolik sirek musíme přidat, chceme-li zvětšit 9. labyrint na 10. labyrint.
Obkladač vytváří obdélníkovou mozaiku z šedých a bílých čtvercových dlaždic stejné velikosti.
V 1. kroku položil vedle sebe dvě šedé dlaždice.
Ve 2. kroku dlaždice obklopil zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
Ve 3. kroku sestavenou část obklopil zleva a shora jednou vrstvou šedých dlaždic a ve 4. kroku zleva a shora jednou vrstvou bílých dlaždic.
(Každá přidaná vrstva má tvar L a poslední z nich je vždy vyznačena čárkovaně.)
V následujících krocích se stejným způsobem přidává střídavě vrstva šedých a vrstva bílých dlaždic. V dokončené mozaice bude 20 řad dlaždic.
Určete,
14.1 v kolikátém kroku přidá obkladač k mozaice 18 dlaždic,
14.2 kolik dlaždic dohromady bude obsahovat dokončená mozaika (s 20 řadami),
14.3 kolik šedých dlaždic bude v dokončené mozaice (s 20 řadami) v 11. řadě zdola.
Na obrazovce počítače jsou dvě čísla – jedno v modrém a druhé v červeném poli.
Na počátku jsou obě čísla stejná.
Při každém pípnutí se obě čísla zvětší – v modrém poli o 1 a v červeném o 3.
V jednu chvíli se na obrazovce objeví v modrém poli číslo 49 a současně v červeném poli číslo 129.
14.1 Určete, jaké číslo je v modrém poli na počátku.
14.2 Určete číslo v modrém poli v okamžiku, kdy je o 30 menší než číslo v červeném poli.
14.3 Určete číslo v červeném poli v okamžiku, kdy je součet čísel v obou polích 2 018.
Ze stejně velkých čtverečků se podle jednotného pravidla sestavují obdélníky.
První obdélník obsahuje 2 čtverečky.
Každý další obdélník vznikne tak, že se k předchozímu obdélníku přidá nejprve dole jedna řada tmavých čtverečků a poté vpravo jeden sloupec bílých čtverečků.
Číslo nahoře nad obdélníkem vždy uvádí počet všech čtverečků v obdélníku, číslo vpravo uvádí počet bílých čtverečků v nejdelším z přidaných sloupců.
U každého z následujících obdélníků je chybějící počet nahrazen otazníkem.
14.1 Obdélník obsahuje celkem 110 čtverečků.
Určete počet bílých čtverečků v nejdelším z přidaných sloupců.
14.2 Nejdelší z přidaných sloupců obsahuje 20 bílých čtverečků.
Určete počet všech čtverečků v obdélníku.
14.3 Počet čtverečků v obdélníku je větší než 900, ale menší než 1 000.
Určete přesný počet čtverečků v obdélníku. Najděte všechna možná řešení.
Obdélník budeme opakovaně zvětšovat tak, že stranu, která je v daném okamžiku kratší, prodloužíme o 3 cm a delší stranu jen o 1 cm.
Po třetím prodloužení se vytvoří obdélník s rozměry 11 cm a 12 cm.
Strana, která byla na počátku kratší, zůstane kratší po prvním, druhém i třetím prodloužení.
14.1 Určete rozměry původního obdélníku.
14.2 Určete rozměry obdélníku po pátém prodloužení.
14.3 Určete rozměry obdélníku po sto pátém prodloužení.
Obrazovka monitoru je prázdná. Po zaznění zvukového signálu se každou sedmou sekundu objeví na obrazovce 4 nová kolečka.
Každou jedenáctou sekundu naopak 3 kolečka z obrazovky zmizí. Pokud by měly obě akce proběhnout ve stejném okamžiku, počet koleček na obrazovce se nezmění.
14.1 Určete počet koleček na obrazovce 1 minutu po zaznění zvukového signálu.
14.2 Určete počet koleček na obrazovce 5 minut po zaznění zvukového signálu.
Uvnitř šedého čtverce je umístěn bílý čtverec. Vrcholy bílého čtverce rozdělují každou stranu šedého čtverce na dva úseky dlouhé 1 cm a 2 cm.
Obdobným způsobem se umístí větší počet stejných bílých čtverců v řadě do šedého obdélníku.
S přibývajícím počtem bílých čtverců se mění i délky stran šedého obdélníku.
Rozměry v obrázcích jsou v cm.
14.1 Určete délky stran šedého obdélníku se dvěma bílými čtverci.
14.2 Určete délky stran šedého obdélníku s pěti bílými čtverci.
14.3 Delší strana šedého obdélníku měří 85 cm. Určete délku kratší strany tohoto obdélníku.
Hradba z kostek splňuje následující pravidla:
I. Pravidelně se střídají věže postavené ze tří a čtyř kostek.
II. Každé dvě věže jsou odděleny jednou tmavou kostkou.
III. V každé věži jsou dvě kostky tmavé.
IV. Vlevo hradba začíná nižší věží a vpravo končí jednou tmavou kostkou.
15.1 Vypočtěte, kolik bílých kostek obsahuje hradba s 10 věžemi.
15.2 Vypočtěte, kolik tmavých kostek obsahuje hradba s 10 věžemi.
15.3 Vypočtěte, kolik věží obsahuje hradba postavená ze 171 kostek.
Ve čtverci jsou obě úhlopříčky překryty tmavými čtverečky s délkou strany 4 cm podobně jako na obrázku. Zbytek plochy čtverce je bílý.
16.1 Vypočtěte délku strany čtverce, který má celkem 9 tmavých čtverečků.
16.2 Vypočtěte délku strany čtverce, který má celkem 29 tmavých čtverečků.
16.3 Vypočtěte celkový počet tmavých čtverečků, je-li délka strany čtverce 140 cm.
Každý řádek tabulky (3 × 3 pole) obsahuje tutéž trojici po sobě jdoucích čísel zapsaných v pořadí od nejmenšího k největšímu.
První tabulka je určena trojicí čísel 8, 9, 10.
16.1 V první tabulce sečtěte všechna čísla zapsaná v bílých polích.
16.2 Pro druhou tabulku najděte takovou trojici čísel, aby součet všech čísel doplněných do tmavých polí byl 280.
V odpovědi v úloze 16.2 uveďte všechny výpočty.