CERMAT úlohy na téma „Aplikační úlohy netypicky zadané". Zadání a vyhodnocení zdarma; postup řešení ve zkušební verzi.
Po spuštění automatu začali dva roboti Jas a Dok plnit prázdnou nádobu míčky a třetí robot Pat začal míčky odebírat.
Jas dal do nádoby v každé sekundě 1 míček,
Dok dal do nádoby v každé druhé sekundě 2 míčky najednou a Pat v každé páté sekundě z nádoby 5 míčků najednou odebral.
16.1 Určete počet míčků v nádobě na konci 14. sekundy po spuštění automatu.
16.2 Určete, v kolikáté sekundě po spuštění počet míčků v nádobě poprvé překročil 30.
16.3 V některých sekundách se oproti předchozí sekundě změnil počet míčků v nádobě celkem o 3.
Určete počet míčků v nádobě v okamžiku, kdy k této změně došlo právě po třicáté.
V trojúhelníkovém diagramu se do prázdných kroužků doplní taková kladná celá čísla, aby byl součin tří čísel na každé straně trojúhelníku stejný.
Jaký je součet obou čísel doplněných do prázdných kroužků diagramu?
První obrazec je bílý čtverec. Druhý obrazec vznikne z prvního vložením menšího šedého čtverce, jehož vrcholy leží ve středech stran bílého čtverce.
Další obrazce vznikají střídavým vkládáním stále menších bílých a šedých čtverců, jejichž vrcholy vždy leží ve středech stran čtverce vloženého v předchozím obrazci (viz obrázek).
Druhý a každý další obrazec se potom skládá z bílých a šedých dílů. Např. třetí obrazec obsahuje 9 dílů – 1 bílý čtverec, 4 šedé trojúhelníky a 4 bílé trojúhelníky.
16.1 Určete, kolik šedých dílů obsahuje 10. obrazec.
16.2 Určete, kolikátý obrazec obsahuje 89 bílých dílů.
16.3 Vyjádřete zlomkem, jakou část obsahu 5. obrazce představuje obsah všech jeho šedých dílů dohromady.
První obrazec je čtverec.
Druhý obrazec má tvar obdélníku a vznikl z prvního obrazce přidáním dvou menších čtverců.
Každý další obrazec má opět tvar obdélníku a vznikne tak, že u kratší strany předchozího obrazce přidáme tolik menších čtverců, kolikátý obrazec vytváříme (viz obrázek).
Např. 3. obrazec vznikl z 2. obrazce přidáním tří menších čtverců.
Delší strana 4. obrazce měří 125 cm.
Vypočtěte,
16.1 kolik cm měří strana 1. obrazce,
16.2 o kolik cm² se liší obsah 4. obrazce a obsah 5. obrazce,
16.3 kolik cm měří obvod 6. obrazce.
Vědomostní hra má 10 kol. Hráč má na začátku hry celkem 10 žetonů a postupně může odpovědět na 5 lehčích a na 5 těžších otázek. V každém kole si může koupit pouze 1 otázku a zaplatí za ni 1 žeton. Pokud hráč kolo vynechá (otázku si nekoupí), žeton mu zůstane.
Za správnou odpověď na lehčí otázku získá hráč 2 žetony, za správnou odpověď na těžší otázku 3 žetony. Za chybnou odpověď žádný žeton nezíská.
(Např. hráč, který 3 kola vynechal a ze 7 zakoupených otázek správně odpověděl pouze na 1 lehčí, měl na konci hry celkem 5 žetonů.)
16.1 Určete, kolik nejvíce žetonů může mít hráč na konci hry.
16.2 Hráč vynechal pouze 1 kolo a ve zbývajících kolech získal za odpovědi na lehčí otázky o 3 žetony více než za odpovědi na těžší otázky.
Určete, kolik žetonů měl hráč na konci hry.
16.3 Hráč měl na konci hry 10 žetonů a přitom měl největší možný počet chybných odpovědí s tímto výsledkem.
Určete, kolikrát v této hře správně odpověděl na lehčí otázku.
Uveďte všechna řešení.
Vytváříme tmavé a světlé obrazce tvaru čtverce jako na obrázku.
Každý takový obrazec obsahuje jeden bílý čtverec obklopený pásem z několika shodných obdélníčků. Každý obdélníček má rozměry 2 cm a 3 cm.
Obdélníčky jsou buď tmavé (na obrázku vlevo), nebo světlé (na obrázku vpravo) a jsou natočeny tak, že pás z tmavých obdélníčků je vždy užší než pás ze světlých obdélníčků.
Obrazec se popisuje třemi čísly. První číslo udává počet obdélníčků v obrazci, další dvě čísla udávají v cm délku strany bílého čtverce v obrazci a délku strany celého obrazce.
16.1 Délka strany tmavého obrazce je 20 cm.
Určete počet obdélníčků v obrazci.
16.2 Délka strany tmavého i světlého obrazce je 23 cm.
Určete, o kolik se liší počet obdélníčků v těchto dvou obrazcích.
16.3 Tmavý i světlý obrazec mají stejný počet obdélníčků, ale délky stran bílých čtverců v těchto obrazcích se liší o 10 cm.
Určete počet obdélníčků v tmavém obrazci.
Mirek a Zuzka odříkávali čísla následujícím způsobem: Mirek postupně odříkával všechna po sobě jdoucí přirozená čísla od 1 do 1000. Za každým druhým číslem udělal krátkou pauzu, během níž Zuzka řekla součet posledních dvou čísel, které vyslovil Mirek.
Na začátku tedy zazněla čísla: 1, 2, 3, 3, 4, 7, 5, 6, 11, …
(Tučně zapsaná čísla vyslovila Zuzka, ostatní čísla Mirek.)
16.1 Určete číslo, které zaznělo mezi čísly 24 a 25.
16.2 Jako 90. v pořadí bylo vysloveno číslo , které později zaznělo ještě jednou.
Určete číslo, které bylo vysloveno bezprostředně předtím, než podruhé zaznělo číslo .
16.3 Určete největší číslo, které mezi prvními 150 vyslovenými čísly zaznělo dvakrát.
Vytváříme obrazce tvaru pravidelného šestiúhelníku složené z bílých a šedých shodných rovnostranných trojúhelníků.
První obrazec se skládá ze 3 bílých a 3 šedých trojúhelníků a každý další obrazec vznikne přidáním jednoho pásu trojúhelníků okolo předchozího obrazce (viz obrázek).
16.1 Vypočtěte, kolik trojúhelníků (bílých i šedých dohromady) obsahuje poslední přidaný pás 4. obrazce.
16.2 Vypočtěte, kolik šedých trojúhelníků obsahuje celý 6. obrazec.
16.3 Určete, kolikátý obrazec má v posledním přidaném pásu 225 šedých trojúhelníků.
Prvním obrazcem je bílý rovnostranný trojúhelník.
Každý další obrazec vznikne z předchozího obrazce dle následujících pravidel:
1. Nejprve každý bílý trojúhelník v obrazci rozdělíme na 4 shodné rovnostranné trojúhelníky.
2. Poté v každé takto vzniklé čtveřici bílých trojúhelníků obarvíme vnitřní trojúhelník na šedo.
16.1 Určete, kolik bílých trojúhelníků obsahuje pátý obrazec.
16.2 Šestý obrazec obsahuje 121 šedých trojúhelníků.
Určete, kolik šedých trojúhelníků obsahuje sedmý obrazec.
16.3 Počet šedých trojúhelníků v posledním a v předposledním obrazci se liší o 6 561.
Určete, kolik bílých trojúhelníků obsahuje poslední obrazec.
Vybarvováním některých prázdných polí čtvercové sítě postupně vytváříme obrazce.
Prvním obrazcem je jedno světle vybarvené pole čtvercové sítě.
Každý další obrazec vytvoříme z předchozího obrazce tak, že vybarvíme všechna prázdná pole, která mají s předchozím obrazcem společné pouze vrcholy. Tato nově vybarvená pole jsou u sudých obrazců tmavá a u lichých obrazců světlá.
Druhý obrazec jsme vytvořili z prvního obrazce vybarvením 4 dalších polí tmavou barvou.
Třetí obrazec má celkem 13 polí (9 světlých a 4 tmavé) a vytvořili jsme jej z druhého obrazce vybarvením 8 dalších polí světlou barvou.
Určete,
16.1 vybarvením kolika dalších polí jsme z 8. obrazce vytvořili 9. obrazec,
16.2 o kolik se liší počet tmavých a světlých polí v 10. obrazci,
16.3 kolik světlých polí může mít obrazec, který má 400 tmavých polí.
Najděte všechna řešení.
Každý obrazec tvaru obdélníku je složen z malých šedých čtverečků a větších bílých čtverečků. Všechny šedé čtverečky jsou stejné a jsou poskládány do spodní řady a do levého sloupce. Zbytek obrazce tvoří bílé čtverečky. Každý bílý čtvereček má dvakrát delší stranu než šedý. První obrazec má ve spodní řadě 5 šedých čtverečků a v levém sloupci 3 šedé čtverečky. Skládá se celkem z 9 čtverečků (bílých i šedých dohromady).
Každý další obrazec má oproti předchozímu vždy o 2 šedé čtverečky více jak ve spodní řadě, tak i v levém sloupci.
16.1 Obrazec má ve spodní řadě 41 šedých čtverečků.
Určete počet bílých čtverečků v obrazci.
16.2 V obrazci je 90 bílých čtverečků.
Určete počet šedých čtverečků v obrazci.
16.3 Počet všech čtverečků (bílých i šedých dohromady) v posledním a v předposledním obrazci se liší o 106.
Určete počet šedých čtverečků v posledním obrazci.
Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.
16.1 Určete počet úseček v obrazci, který má 5 pater.
16.2 Počet úseček v posledním a v předposledním obrazci se liší o 96.
Určete, o kolik se liší počet puntíků v posledním a předposledním obrazci.
16.3 V jednom obrazci je 300 puntíků.
Určete počet úseček v následujícím obrazci.
Tři děti v jednotlivých kolech hry přidávaly mince do klobouku, který byl na počátku prázdný.
Julie přidávala v každém kole 1 minci.
Čeněk přidával mince pouze v každém 4. kole, a to vždy 4 najednou.
Pavla přidávala mince pouze v každém 5. kole, a to vždy 5 najednou.
Např. po prvních 9 kolech bylo v klobouku celkem 22 mincí (9 od Julie, 8 od Čeňka a 5 od Pavly).
16.1 Určete celkový počet mincí v klobouku po prvních 35 kolech.
16.2 Čeněk přidal své 4 mince do klobouku zatím 14krát.
Určete, kolikrát již přidala do klobouku svou pětici mincí Pavla.
16.3 Určete, po kolika kolech od počátku bylo v klobouku přesně 183 mincí.
Ve čtvercové síti vytváříme různé obdélníky s vrcholy v mřížových bodech, obdobně jako na obrázku.
(Na obrázku je jeden z možných obdélníků, a to s rozměry 8 cm a 4 cm.)
Uvnitř obdélníku zakreslíme v každém mřížovém bodě hvězdičku.
Hvězdičky nejblíže hranici obdélníku budou tmavé a ostatní bílé.
16.1 Určete počet všech hvězdiček v obdélníku s rozměry 81 cm a 20 cm.
16.2 Obdélník, jehož jeden rozměr je 50 cm, obsahuje celkem 9 800 hvězdiček.
Určete v cm druhý rozměr tohoto obdélníku.
16.3 Vypočtěte, o kolik se liší počty bílých a tmavých hvězdiček v obdélníku s rozměry 41 cm a 23 cm.
Výsledný obrazec vytvoříme následujícím postupem:
1. Na vodorovné přímce sestrojíme několik stejně vzdálených bodů (černých puntíků).
2. Prvním černým puntíkem vedeme dvě různoběžné šikmé přímky. Druhým a každým dalším černým puntíkem vedeme rovnoběžky s oběma těmito přímkami.
3. Všechny nově vzniklé průsečíky označíme černými puntíky a těmi vedeme vodorovné přímky.
4. Na spodní vodorovné přímce označíme všechny nově vzniklé průsečíky bílými puntíky.
16.1 Výsledný obrazec obsahuje celkem 36 černých puntíků.
Určete počet všech vodorovných přímek v tomto obrazci.
16.2 Výsledný obrazec obsahuje celkem 49 vodorovných přímek.
Určete počet bílých puntíků na spodní vodorovné přímce tohoto obrazce.
16.3 Výsledný obrazec má na spodní vodorovné přímce celkem 64 bílých puntíků.
Určete počet všech černých puntíků v tomto obrazci.
Řada je vytvořena z celých čísel. První trojice čísel je 0, 1, 2.
Každou další trojici vytvoříme tak, že jednotlivá čísla z předchozí trojice zvětšíme o 1.
V řadě je na 1. až 18. místě následujících 18 čísel:
0, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 5, 6, 7, …
Určete,
16.1 na kolikátém místě řady je poprvé číslo 12,
16.2 na kolika místech řady je mezi prvními 125 čísly uvedeno liché číslo,
16.3 které číslo je na 152. místě řady.
Každý díl stavebnice se skládá ze tří stejných krychliček. Všechny díly jsou stejné.
Z dílů stavíme stále větší pyramidy jako na obrázku.
Nejmenší pyramidu tvoří jediný díl.
Druhá pyramida sestavená ze 3 dílů má 1 otvor, 4 řady a ve spodní řadě 4 krychličky.
Každá další pyramida bude o dvě řady vyšší než předchozí pyramida.
16.1 Pyramida má ve spodní řadě 50 krychliček.
Určete počet otvorů ve druhé řadě zdola.
16.2 Pyramida má celkem 10 otvorů.
Určete počet krychliček v celé pyramidě.
16.3 Pyramida je sestavena z 21 dílů.
Určete počet krychliček ve spodní řadě.
První čtverec má obvod 60 cm.
Každý další čtverec je sestaven z několika shodných obdélníků. Každý z těchto obdélníků má obvod 60 cm.
Druhý čtverec je sestaven ze dvou shodných obdélníků, třetí ze tří shodných (užších) obdélníků, čtvrtý ze čtyř shodných (ještě užších) obdélníků atd.
16.1 Vypočtěte v cm délku strany třetího čtverce.
16.2 Vypočtěte v cm obvod devátého čtverce.
16.3 Určete, kolikátý čtverec má stranu délky 28 cm.
Trojúhelníkové obrazce se podle vzoru sestavují z tmavých šestiúhelníků a bílých trojúhelníků. Šestiúhelník se skládá ze 6 shodných tmavých trojúhelníků.
Na obrázku jsou tři nejmenší trojúhelníkové obrazce. Jednotlivé řady obrazce jsou očíslovány vždy od nejkratší po nejdelší.
Obrazec má 19 řad.
Určete počet
16.1 bílých trojúhelníků v 9. řadě,
16.2 tmavých trojúhelníků v 16. řadě,
16.3 tmavých šestiúhelníků v celém obrazci.
Do řady po sobě jdoucích kladných celých čísel přidáme za každé číslo dělitelné třemi toto číslo ještě jednou. Nová řada tak všechna čísla dělitelná třemi obsahuje dvakrát.
V nové řadě je na 1. až 17. místě následujících 17 čísel:
1, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 12, 12, 13, …
Určete,
16.1 na kolikátém místě nové řady je číslo 100,
16.2 které číslo je na 100. místě nové řady,
16.3 na kolika místech nové řady je mezi čísly 1 až 101 uvedeno sudé číslo.
Čtvercová deska má v každé řadě i v každém sloupci 15 polí.
V prvním tahu se položí jeden žeton na prostřední pole desky.
Ve druhém a každém dalším tahu se položí po jednom žetonu na všechna neobsazená pole, která svou stranou sousedí s poli obsazenými žetony v předchozích tazích.
Teprve po posledním tahu bude ležet na každém poli desky jeden žeton.
Na obrázku je stav bezprostředně po třetím tahu. Číslo určuje, v kolikátém tahu se žeton položí na desku. (Není zobrazena celá deska.)
Určete,
16.1 kolik žetonů bude celkem na desce bezprostředně po pátém tahu,
16.2 kolik žetonů se na desku položí v posledním tahu,
16.3 kolik neobsazených polí bude na desce bezprostředně po 12. tahu.
V počítačové hře má každé čtvercové město následující vlastnosti:
– Čtverečky představují domy a ve všech řadách i sloupcích je jich stejný počet.
– Mezi každými dvěma sousedními domy prochází jedna ulice; je přímá a spojuje protější okraje města. Libovolné dvě ulice jsou buď rovnoběžné, nebo k sobě kolmé.
– Každé dvě navzájem kolmé ulice mají společnou křižovatku.
Na obrázku jsou dvě nejmenší čtvercová města.
Určete,
16.1 kolik křižovatek je ve městě se 36 domy,
16.2 kolik ulic je ve městě se 36 křižovatkami,
16.3 kolik domů je ve městě se 36 ulicemi.
Obdélníková mozaika z bílých a šedých čtverců se tvoří podle následujících pravidel:
– Počet sloupců v obdélníku je o 1 větší než počet řad.
– Šedý obdélník obklopují bílé čtverce pouze v jedné vrstvě.
Vypočtěte,
16.1 kolik šedých čtverců je v mozaice, která obsahuje celkem 12 řad,
16.2 kolik šedých čtverců je v mozaice, která má 70 bílých čtverců,
16.3 kolik bílých čtverců je v mozaice, která má celkem 380 čtverců (šedých i bílých).
Na čtvercovou desku s lichým počtem políček rozmístíme žetony obdobným způsobem jako na obrázku a rozmístění a počty žetonů zaznamenáme do tabulky.
Následující kroky popisují, jak rozmístíme žetony na čtvercovou desku.
První krok: Na každé políčko po obvodu desky položíme 1 žeton.
Následující kroky: Vybereme vždy všechna prázdná políčka, která bezprostředně sousedí s obsazenými políčky, a na každé z nich položíme o 1 žeton více, než jsme pokládali na jednotlivá políčka v předchozím kroku.
Největší počet žetonů tak bude na prostředním políčku desky.
16.1 Čtvercová deska má na prostředním políčku 9 žetonů.
Určete, kolik políček je v každé řadě této čtvercové desky.
16.2 Žetony rozmístíme na čtvercovou desku, která má 9 × 9 políček.
Určete počet všech políček, na nichž leží právě 2 žetony.
16.3 Žetony rozmístíme na dvě čtvercové desky, z nichž jedna má 9 × 9 políček, druhá 11 × 11 políček.
Určete, o kolik více žetonů je na větší desce než na menší desce.
Při spuštění programu je obrazovka monitoru prázdná. Při každém pípnutí se situace na obrazovce mění:
Při prvním, třetím a každém lichém pípnutí se objeví 2 nové čárky I.
Při druhém, čtvrtém a každém sudém pípnutí se objeví 2 nové pomlčky —.
Při každém čtvrtém pípnutí však jedna nová pomlčka překříží jednu čárku na obrazovce a místo nich vidíme plus +.
Na obrazovce tak mohou být tři různé symboly: „čárka", „pomlčka" a „plus".
Určete, jaký je na obrazovce počet
16.1 symbolů „pomlčka" — při 10. pípnutí,
16.2 všech symbolů při 60. pípnutí,
16.3 symbolů „čárka" I právě ve chvíli, kdy se objevil 7. symbol „plus" +.
V každém z následujících matematických výpočtů se žádná z číslic 0,1,2,3,4,5,6,7,8 a 9 nesmí vyskytnout více než jedenkrát.
Do každého prázdného rámečku doplňte takovou číslici, aby byl výpočet správný.
6.1
6.2 Další možnost:
6.3
Do odpovědi napište vždy celý příklad se všemi doplněnými číslicemi, např. 75 + 6 = 81.
Na kruhové autodráze jezdila v sousedních drahách dvě autíčka, první autíčko ve vnitřní dráze, druhé ve vnější dráze.
Obě autíčka startovala současně z jedné startovní čáry.
První autíčko ujelo každá 4 kola za stejnou dobu, za kterou ujelo druhé autíčko 3 kola.
Během jízdy autíčka neměnila svou rychlost.
16.1 Obě autíčka vystartovala stejným směrem. První autíčko ujelo prvních 10 kol.
Určete, kolikrát během této jízdy dostihlo druhé autíčko.
16.2 Obě autíčka vystartovala stejným směrem. Druhé autíčko ujelo prvních 50 kol.
Určete, kolikrát ho během této jízdy dostihlo první autíčko.
16.3 Druhé autíčko vystartovalo v opačném směru než první autíčko.
Druhé autíčko ujelo prvních 5 kol.
Určete, kolikrát se během této jízdy obě autíčka minula. (Poprvé se obě autíčka minula hned po startu.)
Shodné čtverce jsou podle jednotného pravidla rozděleny vždy na světlou a tmavou plochu.
Obě plochy se liší o 3, 4 nebo více čtverečků, které lze vyznačit po úhlopříčce.
Poměr velikostí světlé a tmavé plochy u prvního zobrazeného čtverce je 6 : 3 a v základním tvaru jej zapisujeme 2 : 1.
16.1 Zapište v základním tvaru poměr velikostí světlé a tmavé plochy čtverce, jestliže se obě plochy liší o 9 čtverečků vyznačených po úhlopříčce.
16.2 Zapište v základním tvaru poměr velikostí světlé a tmavé plochy čtverce, jestliže se obě plochy liší o 100 čtverečků vyznačených po úhlopříčce.
16.3 Určete počet čtverečků vyznačených po úhlopříčce, jestliže je poměr velikostí světlé a tmavé plochy 13 : 11.
Obdélník budeme opakovaně zvětšovat, tak, že stranu, která je v daném okamžiku kratší, prodloužíme o 3 cm a delší stranu jen o 1 cm.
Po třetím prodloužení se vytvoří obdélník s rozměry 11 cm a 12 cm.
Strana, která byla na počátku kratší, zůstane kratší po prvním, druhém i třetím prodloužení.
16.1 Určete rozměry původního obdélníku.
16.2 Určete rozměry obdélníku po pátém prodloužení.
16.3 Určete rozměry obdélníku po sto pátém prodloužení.
Dva nebo více shodných obdélníků poskládáme těsně vedle sebe do jedné řady.
Pokud se každé dva sousední obdélníky dotýkají kratší stranou, vznikne obrazec typu A, dotýkají-li se delší stranou, vznikne obrazec typu B.
Platí:
Obvody obrazců A a B složených ze dvou obdélníků se liší o 10 cm.
Přidáme-li k oběma obrazcům další obdélníky, rozdíl mezi obvody obou obrazců se změní.
16.1 Vypočtěte, o kolik cm se liší obvody obrazců A a B, obsahuje-li každý z nich tři obdélníky.
16.2 Vypočtěte, o kolik cm se liší obvody obrazců A a B, obsahuje-li každý z nich šest obdélníků.
16.3 Obvody obrazců A a B, které obsahují stejný počet obdélníků, se liší o 100 cm. Vypočtěte, z kolika obdélníků je složen jeden z těchto obrazců.
Hradba z kostek splňuje následující pravidla:
I. Pravidelně se střídají věže postavené ze tří a čtyř kostek.
II. Každé dvě věže jsou odděleny jednou tmavou kostkou.
III. V každé věži jsou dvě kostky tmavé.
IV. Vlevo hradba začíná nižší věží a vpravo končí jednou tmavou kostkou.
16.1 Vypočtěte, kolik bílých kostek obsahuje hradba se 12 věžemi.
16.2 Vypočtěte, kolik tmavých kostek obsahuje hradba se 12 věžemi.
16.3 Vypočtěte, kolik věží obsahuje hradba postavená ze 180 kostek.