Geometrie v rovině (výpočty) - 7. ročník

Na obrázku jsou dva rovnoramenné trojúhelníky ABC a EFG.
Jejich základny AB a EF jsou vyznačeny čárkovaně.
Strany AB a FG jsou navzájem rovnoběžné, stejně jako strany BC a EG.
Velikosti některých úhlů jsou uvedeny v obrázku.

Matěj měl červené, modré, zelené a žluté samolepicí čtverečky o straně délky 1 cm.
Všemi těmito čtverečky přesně zaplnil celý obdélník o rozměrech 20 cm a 30 cm.
(Nalepené čtverečky se nepřekrývají a nejsou mezi nimi žádné mezery.)
Ze všech nalepených čtverečků je pětina čtverečků červených a ze zbývajících čtverečků je třetina modrých. Zelených čtverečků je o 20 méně než žlutých.

Tvrdý papír tvaru obdélníku má obsah 198 cm².
Z rohů tohoto papíru odstřihneme čtyři shodné čtverce, čímž se jeho obsah zmenší o 16 cm².
Potom z papíru složíme krabičku tvaru kvádru, jehož nejdelší hrana měří 14 cm (viz obrázek).

Tloušťku papíru neuvažujte.

Záhon ve tvaru písmene L tvoří obrazec ABCDEF. Obrazec je rozdělen na 6 stejných čtverců, mezi nimiž jsou mezery tvaru obdélníku (viz obrázek). Všechny tyto obdélníky jsou stejné.

Lomená čára DEF, která se skládá z úseček DE a EF, má délku 550 cm.
Lomená čára ABC, která se skládá z úseček AB a BC, má délku 710 cm.

Podlaha komory má tvar obdélníku o rozměrech 1,25 m a 2 m.
Celá podlaha je vydlážděna dlaždičkami tvaru čtverce o obsahu 25 cm².

Mezery mezi dlaždičkami neuvažujte.

První šestiúhelník se skládá ze dvou shodných bílých rovnostranných trojúhelníků a dvou šedých trojúhelníků. Oba šedé trojúhelníky jsou shodné.
Trojúhelníky přeskládáme do druhého šestiúhelníku (viz obrázek).

Nejdelší strana šedého trojúhelníku měří 10 cm.
Obvod prvního šestiúhelníku je 40 cm a obvod druhého šestiúhelníku je 46 cm.

Pozemek má tvar obdélníku, jehož jedna strana je o třetinu delší než sousední strana.
Bára obešla celý pozemek po jeho obvodu stejně dlouhými kroky, přitom delší stranu pozemku přešla 120 kroky.

Čtyřúhelník BCDE je složen z pravoúhlého lichoběžníku ACDE a pravoúhlého trojúhelníku ABC.
Lichoběžník ACDE a trojúhelník ABC mají stejný obsah.
V lichoběžníku ACDE má základna AC délku 6 cm a základna DE délku 3 cm.
Délka úsečky BE je 15 cm.

Osově souměrný pětiúhelník ve tvaru domečku se skládá ze dvou čtverců a rovnoramenného trojúhelníku.
Obvod pětiúhelníku je 46 cm.
V rovnoramenném trojúhelníku je rameno o 3 cm delší než základna a výška na základnu je o 1 cm kratší než rameno.

Velký rovnostranný trojúhelník, jehož obvod je 60 cm, byl rozdělen úsečkou na dva nové obrazce – lichoběžník a malý trojúhelník. Oba tyto nové obrazce mají stejný obvod.

V rovině leží pravoúhlý trojúhelník ABC.
Na odvěsně AC leží střed S kružnice k o poloměru r.
Kružnice k prochází vrcholy A, C trojúhelníku ABC a protíná přeponu BC v bodě K.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Ve čtvercové síti, jejíž každé pole má obsah 25 cm², je umístěn osmiúhelník s vrcholy v mřížových bodech. Středy čtyř jeho stran jsou vrcholy čtverce ABCD (viz obrázek).

Šestiúhelník na obrázku je rozdělen dvěma úhlopříčkami na dva bílé čtverce a dva shodné tmavé trojúhelníky.
Poměr délek stran velkého a malého čtverce je 4 : 3 a obvody obou čtverců se liší o 12 cm.
Obvod jednoho tmavého trojúhelníku je stejný jako obvod malého čtverce.

V obdélníku ABCD leží na straně CD bod X.
Přímka o₁ je osa úhlu BAX a přímka o₂ je osa úhlu AXB.
Velikosti některých úhlů jsou vyznačeny v obrázku.

Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L.
Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.

Ze čtverce o straně délky 14 cm odstřihneme čtyři pravoúhlé trojúhelníky (viz obrázek). Vznikne tak šestiúhelník, který se skládá ze dvou různých rovnoramenných lichoběžníků.
Oba tyto lichoběžníky mají kratší základnu délky 6 cm.

Podlaha chodby má tvar obdélníku, šířka chodby je 3 m.
Celá podlaha chodby je vydlážděna celkem 216 stejnými čtvercovými dlaždicemi.
Délka strany dlaždice v cm je vyjádřena celým číslem.
(Dlaždice jsou položeny těsně vedle sebe, šířku spár zanedbáváme.)

Přímky m, n jsou rovnoběžné.

Ve čtvercové síti jsou umístěny dva obrazce. Jejich vrcholy leží v mřížových bodech. Síť je tvořena čtverečky s obsahem 16 cm².

Jsou dány rovnoběžky a a b a přímky c a d.

Rodina Novotných si koupila pozemek ve tvaru obdélníku na stavbu domu. Plocha pozemku je 988 m² a kratší strana měří 26 m. Pozemek chtějí oplotit tak, aby spotřebovali co nejméně sloupků a mezi dvěma sousedními sloupky po celém obvodu byla vždy stejná mezera, kterou lze změřit v celých metrech.

Adam se rozhodl, že si vyrobí originální šachový stolek. Koupil si černou a bílou samolepící folii a šedý stůl o rozměrech 80 cm a 56 cm polepil tak, jak je znázorněno na obrázku. Šachovnice je tvořena čtverci o straně 4 cm, pruh je tvořený kosodélníky a trojúhelníky a má šířku 4 cm.

Přímky m, n jsou rovnoběžné. Přímky k, n a p se protínají v bodě B.

Klára vystříhá z papíru 3 shodné obdélníky, 4 shodné čtverce a 5 shodných rovnoramenných trojúhelníků. Sestavila z nich tři obrazce. Obvod 1. obrazce je 40 cm.
(V žádném obrazci se útvary nepřekrývají.)

Jsou dány rovnoběžky a a b a přímky c, d a e, které se protínají s přímkou b v bodě B.

V rovině leží rovnoběžník ABCD a polopřímky BA a BD.

Sedmiúhelník na obrázku se skládá ze tří shodných čtverců, jednoho obdélníku a tří shodných šedých trojúhelníků.
Délka strany čtverce je 1 cm.
Nejdelší strana sedmiúhelníku měří 5 cm.

Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, C, E a tmavé obrazce B, D, F.
Vrcholy všech obrazců leží v mřížových bodech čtvercové sítě.

Pravoúhlý trojúhelník ABC je dvěma úsečkami CD a DE rozdělen na tři trojúhelníky, z nichž dva jsou také pravoúhlé (viz obrázek).

Šestiúhelník na obrázku se skládá z rovnoramenného trojúhelníku, obdélníku a čtverce.
Základna rovnoramenného trojúhelníku splývá s delší stranou obdélníku a rameno tohoto trojúhelníku je o 1 cm delší než strana čtverce.
Obvod čtverce je stejný jako obvod trojúhelníku, ale o 8 cm menší než obvod obdélníku.

Pětiúhelník ABCDE se skládá z rovnoramenného, rovnostranného a pravoúhlého trojúhelníku.
Základnou rovnoramenného trojúhelníku je strana AB.
Strany BC a AE pětiúhelníku jsou rovnoběžné.

Velký obdélník lze rozdělit na dva shodné menší obdélníky nebo na dva čtverce.
Obvod jednoho z menších obdélníků je 30 cm.

Přímka p prochází vrcholy A, B trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti $\alpha$, $\beta$, $\gamma$.
Bodem B prochází rovnoběžka se stranou AC.

V rovině leží dva rovnoramenné trojúhelníky, které mají jednu stranu společnou.

Čtyřúhelník se skládá ze 4 trojúhelníků.

Domeček tvaru pětiúhelníku se skládá z trojúhelníku a čtyř shodných čtverců.
Čtyři čtverce mají dohromady stejný obsah jako trojúhelník.
Délka strany čtverce je 6 cm.

Obdélník je rozdělen na 12 čtverců čtyř různých velikostí (S, M, L a XL).
Delší strana obdélníku měří 260 cm.

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami. Tloušťku desek zanedbáváme.
Bílý trojúhelník má obsah 50 cm², je pravoúhlý a rovnoramenný.
Rameno trojúhelníku má stejnou délku jako kratší strana obdélníku.
Delší strana tmavého obdélníku měří 36 cm.

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné a zbývající dvě jsou na sebe kolmé.

Ve čtvercové síti sestrojíme dva obdélníky s vrcholy v mřížových bodech podle vzoru na obrázku.
Kratší strana obdélníku má vždy délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů.

Ve čtvercové síti sestrojíme dva obdélníky s vrcholy v mřížových bodech podle vzoru na obrázku.
Kratší strana obdélníku má vždy délku 9 cm a obsahuje 10 mřížových bodů.

Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků. (S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru.)
Tmavý čtverec má stranu délky 12 cm a jeho obsah je polovinou obsahu celého obrazce.
Jeden trojúhelník má obsah 30 cm².
Délka kratší základny lichoběžníku je 9 cm.

Čtyřúhelník je rozdělen na dva tmavé rovnostranné trojúhelníky, jeden bílý čtyřúhelník a jeden bílý trojúhelník.

Na vytvoření každého obrazce použijeme beze zbytku dva čtverce o straně délky 6 cm. Čtverce rozstříháme a ze všech získaných dílů sestavíme obrazec, jehož strany (úsečky po obvodu) mají pouze dvě různé délky.

V rovině leží rovnoběžník ABCD a rovnoramenný trojúhelník BEC se základnou BE.
Body A, B, E leží na jedné přímce.

Dva shodné obdélníky mají rozměry 2 cm a 6 cm.
Jeden z obdélníků byl rozstřižen na dva nestejné obdélníkové díly. Poměr obsahů většího a menšího dílu je 3 : 1.
K sestavení nového obrazce se použil jeden celý obdélník a větší díl druhého obdélníku.

Lichoběžník ABCD má základny AB, CD, vnitřní úhly při vrcholech A, C mají velikosti $\alpha$, $\gamma$.
Úhly označené v obrázku stejnými písmeny mají stejnou velikost.

Z celých dlaždic tvaru obdélníku o rozměrech 18 cm a 8 cm je sestaven nejmenší možný čtverec. Z každého ze čtyř rohů tohoto čtverce odebereme po jedné dlaždici a dostaneme nový útvar.

(Jedna strana čtverce je rovnoběžná s delšími stranami všech dlaždic.)

Na vytvoření obrazce můžeme použít velké a malé čtverce a trojúhelníky.
Malý čtverec má stranu délky 2 cm. Velký čtverec lze složit z 9 malých čtverců.
Malý (velký) trojúhelník získáme rozstřižením malého (velkého) čtverce na dvě poloviny.

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD s pravým úhlem při vrcholu A má základna AB délku 15 cm.
Poměr délky strany AB ku délce strany CD je 3 : 2, poměr délky strany AD ku délce strany CD je 6 : 5.
V lichoběžníku ABCD tedy platí:
$|AB| = 15 \text{ cm}, |\sphericalangle BAD| = 90^\circ$,
$|AB| : |CD| = 3 : 2, |AD| : |CD| = 6 : 5$

Obdélník ABCD má stranu AB délky 12 cm. Na straně CD leží bod E.
Obdélník je rozdělen úsečkami BE a BD na tři trojúhelníky.
Obsahy trojúhelníků BCE a BED jsou stejné, a to 24 cm².

V rovnoramenném trojúhelníku ABC má vnitřní úhel při základně AB velikost 70°.
Na straně AC leží vrchol D rovnoramenného trojúhelníku ABD se základnou AD.
Uvnitř trojúhelníku je vyznačen úhel $\varphi$ s rameny BC a BD.

Ve čtvercové síti jsou zakresleny dva tmavé obrazce A, B.
Vrcholy obou obrazců leží v mřížových bodech.

Každý čtvereček čtvercové sítě má stranu délky 1 cm.

Na úsečce AB leží bod D, na polopřímce AE bod C.
Úsečky AC, CD a BD mají stejnou délku $d$.

Tři obrazce byly složeny z 9 shodných čtverců a 3 shodných rovnoramenných trojúhelníků.
Obvod 1. obrazce je 32 cm.
(V 1. a 2. obrazci mají sousední čtverce a trojúhelníky společné vrcholy a nikde nepřečnívají.)

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm.
Ve čtvercové síti je zakreslen obdélník, který je rozdělen na 5 trojúhelníků a tmavý obrazec. Trojúhelníky jsou označeny písmeny A až E.

Vrcholy všech útvarů leží v mřížových bodech.

První obrazec je tvořen dvěma bílými čtverci a jedním tmavým čtvercem.
Obvod bílého čtverce je dvakrát menší než obvod tmavého čtverce. Obvod celého prvního obrazce je 96 cm.
Druhý i třetí obrazec se skládá ze dvou prvních obrazců.

Přímky a, b, c se protínají v jednom bodě, přímka d tímto bodem neprochází.

Papírový obdélník je možné beze zbytku rozstříhat na čtverce se stranou délky 17 cm.
Jedna strana tohoto obdélníku měří 68 cm, druhá strana měří méně než 100 cm.

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s obsahem 4 cm².
Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Čtvercová síť je tvořena čtverečky s délkou strany 1 cm.
Ve čtvercové síti jsou zakresleny bílé obrazce A, B s vrcholy v mřížových bodech.

Obdélník ABCD lze rozdělit na šest shodných pravoúhlých trojúhelníků. Přemístěním jednoho trojúhelníku vytvoříme lichoběžník EFGH.
Strana trojúhelníku délky 16 cm je současně výškou lichoběžníku. Rameno lichoběžníku měří 20 cm. Obvod obdélníku ABCD je 104 cm.

Čtverec je rozdělen na tmavé a světlé díly. Všechny díly mají stejný obsah. Podíl tmavé (světlé) části ve čtverci lze vyjádřit zlomkem nebo desetinným číslem.

Obrazec se skládá z trojúhelníku a obdélníku. Obrazec je osově souměrný podle osy souměrnosti o.

Rovinný obrazec ABCD je lichoběžník.

Z jednoho ze dvou shodných čtverců s délkou strany 6 cm se odstřihl obdélník a přemístil se ke druhému čtverci. Rozměry obdélníku jsou 4 cm a 2 cm.

Tmavý obrazec ve čtvercové síti se skládá ze dvou trojúhelníků.

Čtyřúhelník ABCD se skládá z rovnostranného trojúhelníku ABC a rovnoramenného trojúhelníku ACD.

Nakreslený domeček je složen ze čtverce a trojúhelníku.
Obsah čtverce je 64 cm², výška nakresleného domečku 13 cm.

Ve čtvercové síti je obdélník ABCD rozdělen na tři útvary – rovnoběžník a dva lichoběžníky. Všechny tři útvary mají vrcholy v mřížových bodech.

Čtyřúhelník ABCD je rovnoběžník. Úhel $\alpha$ je jeho vnitřní úhel při vrcholu A.

Oddělením dvou trojúhelníků AFD a BCE z obdélníku ABCD vznikne bílý obrazec ABEF.
Obsah trojúhelníku BCE je 3 cm².

Všechny uvedené body jsou v mřížových bodech čtvercové sítě.

Trojúhelník ABC je rozdělen na dva rovnoramenné trojúhelníky.

Papír je potištěn čarami, které celou plochu rozdělují na malé obdélníky s rozměry 20 mm a 14 mm.
Přesně po vytištěných čarách se z papíru vystřihují čtverce.

Papír je potištěn čarami, které celou plochu rozdělují na malé obdélníky s rozměry 20 mm a 14 mm.
Přesně po vytištěných čarách se z papíru vystřihují čtverce.

V obdélníku ABCD s obsahem 48 cm² je vybarveno jedno pole čtvercové sítě.
Obdélník je částečně zakryt trojúhelníkem CDE.

Čtverečkovaný papír tvaru obdélníku je potištěn čarami, které rozdělují plochu na malé čtverečky se stranou délky 0,4 cm. Rozměry papíru jsou 48 cm a 32 cm.

Čtverečkovaný papír tvaru obdélníku je potištěn čarami, které rozdělují plochu na malé čtverečky se stranou délky 0,4 cm. Rozměry papíru jsou 48 cm a 32 cm.

Čtverec ABCD je dvěma úsečkami rozdělen na čtyři části: čtverec s obvodem 8 cm, čtverec s obvodem 24 cm a dva tmavé obdélníky.

Čtverec s obvodem $o = 20\text{ cm}$ je úhlopříčkou rozdělen na dva trojúhelníky. Oddálením obou trojúhelníků vznikl obdélník s obvodem 24 cm.

Vnitřní úhly trojúhelníku ABC jsou $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, kde $\gamma = 94°$.
Vnější úhel při vrcholu A je $\alpha' = 144°$.