Procenta u přijímaček na střední školu: jak je počítat a kde se nejčastěji chybuje
Procenta patří k tématům, která se v matematice u přijímacích zkoušek mohou objevit samostatně i jako součást slovní úlohy. Samotný výpočet přitom často není to nejtěžší. Mnohem důležitější je správně poznat, co v dané úloze představuje 100 % - tedy základ, ze kterého procenta počítáme.
Když správně určíš základ, můžeš procenta vypočítat několika způsoby. Pro přijímačky je dobré používat především postup, kterému opravdu rozumíš a který dokážeš spolehlivě použít i ve složitější slovní úloze.
- Základ = 100 %. Nejdřív vždy zjisti, co v úloze představuje celý celek nebo výchozí hodnotu.
- Procentová část = část základu vyjádřená v procentech.
- U více kroků znovu urči, co je právě teď 100 % - základ se může změnit.
- Způsob výpočtu si můžeš zvolit. U složitějších slovních úloh bývá trojčlenka přehledná, protože drží vztah mezi procenty a hodnotami před očima.
Co musíš u procent umět
U přijímaček nestačí umět vypočítat například 20 % z 500. Procenta mohou být ve slovní úloze schovaná a nejdřív musíš poznat, která hodnota je základ, která část a kolik procent představuje.
- vypočítat určité procento ze základu,
- určit základ, když znáš procentovou část,
- zjistit, kolik procent tvoří jedna hodnota z druhé,
- vypočítat zvýšení nebo snížení o určitý počet procent,
- správně určit základ ve slovní úloze,
- pracovat s procenty v úloze, která má více kroků.
Právě poslední dva body bývají důležitější než naučený vzorec.
Nejdřív najdi 100 %
Než začneš počítat, polož si jednu otázku:
Například: Ve třídě je 30 žáků. 40 % z nich jsou chlapci. Celá třída představuje 100 %.
Teprve potom má smysl počítat 40 %. U jednoduchého příkladu je základ většinou zřejmý. Ve složitějších slovních úlohách už ale nemusí být.
Pozor na slovo „než"
Při porovnávání dvou hodnot často napoví samotná věta. Například Petr má o 20 % více knih než Jana - procenta se vztahují k počtu knih Jany.
Podobně Nová cena je o 15 % nižší než původní cena - základem je původní cena.
Není to ale mechanické pravidlo, které můžeš použít bez přemýšlení. Vždy si ověř, vzhledem k čemu se procentní změna počítá.
Proč nestačí hledat číslo s procenty
Ve větě Cena 800 Kč se zvýšila o 15 % je 800 Kč základ. Ale ve větě Po zdražení o 15 % stojí výrobek 920 Kč už 920 Kč není původní základ - je to cena po zvýšení. Proto je důležité nejdřív pochopit vztah mezi údaji a až potom počítat.
Jak procenta počítat
Existuje několik správných způsobů. Ve škole se můžeš setkat například se vzorci, výpočtem přes 1 % nebo s trojčlenkou. Není nutné používat způsob, který ti nevyhovuje. U přijímaček je důležité dojít správně a dostatečně rychle k výsledku.
Výpočet přes 1 %
U jednoduchých úloh může být velmi pohodlný. Například 20 % z 300:
Výsledek je 60. U jednoduchých čísel je tento způsob přehledný. Ve složitějších úlohách ale může přibývat mezikroků a roste riziko, že se v nich ztratíš nebo začneš procenta počítat z nesprávného základu.
Trojčlenka
Trojčlenka má jednu velkou výhodu: nutí tě hned na začátku napsat, co představuje 100 %. Například Kolik je 15 % z 800 Kč?
Z tohoto vztahu vypočítáš hledanou hodnotu. Trojčlenka je proto velmi dobře použitelná nejen u jednoduchých procent, ale i ve slovních úlohách. Pokud v ní správně určíš základ, máš vztah mezi procenty a hodnotami stále před očima.
A co vzorce?
Procenta lze samozřejmě počítat také pomocí vzorců. Pokud je umíš a rozumíš jim, není důvod je nepoužívat. Pro přijímačky ale není cílem vzorec pouze znát zpaměti. Důležité je především správně pochopit zadání a určit, které číslo je základ, které představuje procentovou část a co vlastně hledáš. Proto může být pro řadu žáků praktičtější trojčlenka nebo výpočet přes 1 %.
U složené úlohy se může základ změnit
Tady vzniká jedna z nejčastějších chyb. Představ si, že se nějaká hodnota nejprve změní o určité procento a potom se nová hodnota změní ještě jednou. Druhých několik procent už zpravidla nepočítáš z původní hodnoty - po prvním výpočtu vznikla nová hodnota a právě ta může být základem pro druhý výpočet.
Například: Cena výrobku byla 1 000 Kč. Nejprve se zvýšila o 20 % a potom se nová cena snížila o 10 %. Při prvním kroku je 100 % = 1 000 Kč. Po prvním zdražení získáš novou cenu - a právě tato nová cena se stává základem pro druhý krok.
Nespoléhej na to, že základ, který platil na začátku úlohy, bude automaticky základem až do konce.
Zvýšení o 20 % a snížení o 20 % se navzájem nevyruší
Se změnou základu souvisí ještě jedna častá chyba. Když nějakou hodnotu zvýšíš o 20 % a potom novou hodnotu snížíš o 20 %, nevrátíš se obecně na původní hodnotu. Proč? Protože první a druhých 20 % počítáš pokaždé z jiného základu.
Například u 1 000 Kč: při zvýšení o 20 % počítáš procenta z 1 000 Kč, po zvýšení už máš jinou částku a při následném snížení o 20 % proto počítáš 20 % z této nové částky. Stejné procento tedy neznamená stejnou částku.
Nemusíš si pamatovat zvláštní pravidlo. Stačí znovu použít hlavní otázku: Co je v tomto kroku 100 %?
„O kolik procent více" není totéž jako „kolikrát více"
Také tady je důležité přesně číst zadání. Pokud má někdo o 50 % více, znamená to, že k původním 100 % přidáváme dalších 50 %. Nová hodnota tedy představuje 150 % původní hodnoty. To není totéž jako říct, že má někdo dvakrát tolik.
U slovních úloh proto nehledej jen čísla. Všímej si také slov, která popisují jejich vzájemný vztah: o kolik procent více, o kolik procent méně, z původní ceny, po zdražení, po slevě, než, z celkového počtu. Právě tato slova často rozhodují o tom, jaký základ máš použít.
Nejčastější chyby u procent
- Špatně určený základ. Žák začne správně počítat, ale procenta počítá z nesprávného čísla.
- Automaticky považuje první číslo v zadání za 100 %. Pořadí údajů ve větě nerozhoduje - rozhoduje jejich význam.
- Přehlédne, ke které hodnotě se vztahuje „více než" nebo „méně než". Pomůže otázka: více nebo méně vzhledem k čemu?
- Ve vícekolové úloze používá stále původní základ. Po každé změně zkontroluj, zda pro další výpočet nevznikl nový základ.
- Zamění procentní část a výslednou hodnotu. Například 15 % z ceny není totéž jako cena po zvýšení o 15 %.
- Začne počítat dřív, než pochopí zadání. U procent se vyplatí věnovat několik sekund tomu, abys nejprve určil/a 100 %.
Jednoduchý postup, který pomáhá
- Přečti celé zadání. Nezačínej počítat po první větě.
- Zeptej se: Co je 100 %? Tím určíš základ.
- Zjisti, co hledáš. Procentovou část? Základ? Počet procent? Novou hodnotu po zvýšení nebo snížení?
- Vyber si způsob výpočtu. Trojčlenku, výpočet přes 1 % nebo jiný postup, kterému rozumíš.
- Pokud má úloha další krok, začni znovu otázkou: Co je teď 100 %?
- Zkontroluj, jestli výsledek dává smysl. Když něco zlevní o 20 %, výsledná cena musí být nižší. Když hledáš 10 % z kladného množství, výsledek musí být menší než celý základ.
Co doporučujeme u přijímaček
Pokud ti procenta dělají problémy, nesnaž se především naučit co nejvíce vzorců. Nejdřív se nauč bezpečně poznat základ - tedy 100 %.
Potom si vyber jeden způsob výpočtu, který ti funguje spolehlivě. Pro mnoho žáků je praktická trojčlenka, protože je v ní dobře vidět, která hodnota odpovídá 100 % a která hledanému počtu procent. Výpočet přes 1 % může být naopak velmi rychlý u jednoduchých čísel; ve složitější úloze ale dávej pozor, abys mezi jednotlivými kroky neztratil/a správný základ.
Nejde tedy o to, že existuje jen jeden správný způsob počítání procent. Nejlepší způsob je ten, při kterém rozumíš vztahu mezi hodnotami a dokážeš ho správně použít i tehdy, když je úloha složitější.
Procenta u CERMAT přijímaček
U přijímacího testu nemusí být předem napsáno „teď použij procenta". Procenta mohou být součástí slovní úlohy, ve které musíš sám/sama rozpoznat potřebný matematický vztah. Proto je při přípravě důležité neprocvičovat pouze jednoduché příklady typu „vypočítej 25 % z 800", ale také slovní a vícekolové úlohy.
U některých otevřených úloh CERMAT navíc nestačí pouze správný výsledek - zadání může požadovat také uvedení postupu řešení. Proto je výhodné mít postup, který dokážeš nejen použít, ale také přehledně zapsat.
Zapamatuj si hlavně toto
Kdybys měl/a z celého článku zapamatovat jedinou věc, je to tato:
A pokud má úloha několik kroků:
Právě správné určení základu často rozhoduje o tom, jestli vyjde správně celá úloha.
Časté dotazy
Co je základ u procent?
Základ je hodnota, která představuje 100 %. Procenta vždy počítáš z tohoto základu, proto ho hledej jako první.
Jak poznám základ u procent ve slovní úloze?
Zeptej se, co v úloze tvoří celý celek nebo výchozí hodnotu. Často pomáhají slova jako „z", „než", „z původní ceny" nebo „z celkového počtu" - označují hodnotu, ke které se procenta vztahují.
Je lepší počítat procenta trojčlenkou, nebo přes 1 %?
Obě metody jsou správné. Přes 1 % bývá rychlé u jednoduchých čísel, trojčlenka je přehledná ve slovních a vícekrokových úlohách, protože drží vztah mezi procenty a hodnotami před očima. Vyber si tu, kterou spolehlivě zvládneš.
Proč zvýšení o 20 % a snížení o 20 % nedá původní hodnotu?
Protože každých 20 % počítáš z jiného základu. Po zvýšení má hodnota jinou velikost a snížení o 20 % se pak počítá z této nové, větší částky. Výsledek je proto nižší než původní hodnota.