Přijat.com - procvičování matematiky

Zapamatuj si:

Kolmice

svírá s přímkou pravý úhel (90°)
rýsuje se trojúhelníkem s ryskou: ryska leží na přímce, kreslí se podél svislé hrany
pata kolmice je bod, kde se kolmice protíná s přímkou nebo úsečkou

Zadání: Je dána přímka p a bod A, který na ní leží. Sestrojte kolmici k k přímce p, která prochází bodem A.

Zadání: Je dána přímka p a bod M, který na ní neleží. Sestrojte kolmici bodem M a označte její patu P.

Zapamatuj si:

Osová souměrnost

obraz bodu leží na kolmici vedené vzorem k ose
je stejně daleko od osy jako vzor, ale na druhé straně
osa je osou úsečky, která spojuje vzor a obraz
body na ose se zobrazí samy na sebe - jsou samodružné
útvar zobrazíme po vrcholech a obrazy spojíme

Zadání: Je dána osa o a bod A. Sestrojte obraz A′ bodu A v osové souměrnosti podle osy o.

Zadání: Je dána osa o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz trojúhelníku v osové souměrnosti podle osy o.

Zapamatuj si:

Osa úsečky

prochází středem úsečky
je kolmá k úsečce
bod S dělí úsečku na dvě stejně dlouhé úsečky: |AS| = |SB|
rýsuje se čerchovaně a značí se o

Zadání: Je dána úsečka AB, narýsujte osu úsečky o a označte střed úsečky S.

Zadání: Je dána osa úsečky AB o a bod A, sestrojte úsečku AB.

Zapamatuj si:

Osa úhlu

prochází vrcholem úhlu
dělí úhel na dva stejně velké úhly
rýsuje se čerchovaně a značí se o

Zadání: Je dán úhel ABC, narýsujte osu úhlu.

Zadání: Je dána polopřímka AB a osa úhlu o, která prochází bodem A. Narýsuj druhé rameno úhlu a na něm bod C.

Zapamatuj si:

Čtverec

má čtyři stejně dlouhé strany
všechny jeho úhly jsou pravé (90°)
protější strany jsou rovnoběžné
úhlopříčky jsou stejně dlouhé, půlí se a jsou na sebe kolmé
všechny vrcholy leží na jedné kružnici se středem S v průsečíku úhlopříček
úhlopříčka je průměrem kružnice - je to Thaletova kružnice, proto jsou úhly u vrcholů pravé
střed S je střed souměrnosti - vrchol C je obraz vrcholu A, vrchol D je obraz vrcholu B
od každé strany je střed S vzdálený polovinu strany
úhlopříčka půlí pravý úhel u vrcholu - se stranou svírá 45°
má čtyři osy souměrnosti - dvě spojnice středů protějších stran a obě úhlopříčky

Zadání: Je dána přímka AB. Sestrojte čtverec ABCD.

Zadání: Je dána úsečka AC. Sestrojte čtverec ABCD.

Zadání: Je dána přímka e a bod S. Sestrojte čtverec EFGH, který má střed v bodě S, vrcholy E a F jsou na přímce e.

Zadání: Je dána přímka n a bod S. Sestrojte čtverec KLMN, který má střed v bodě S, vrchol L je na přímce n a úhlopříčka KM je rovnoběžná s přímkou n.

Zadání: Jsou dány vrcholy A, C a D čtverce ABCD. Sestrojte chybějící vrchol B.

Zadání: Je dána kružnice k se středem S a bod A, který leží na této kružnici. Sestrojte čtverec ABCD vepsaný do kružnice k.

Zadání: Je dán čtverec ABCD. Sestrojte jeho střed S a obě osy souměrnosti, které procházejí středy stran.

Zadání: Na přímce a leží strana AB čtverce ABCD. Bod P leží uvnitř strany AD, bod Q uvnitř strany DC. Sestrojte čtverec ABCD.

Zadání: Je dán střed S čtverce KLMN a přímka m, na které leží strana LM. Sestrojte čtverec KLMN.

Zadání: Je dán vrchol B čtverce ABCD a přímka q, která je kolmá ke straně BC a protíná ji v jejím středu S. Sestrojte čtverec. Najděte všechna řešení.

Zadání: Je dán vrchol K čtverce KLMN, strana KL leží na přímce m a jeden ze zbývajících vrcholů leží na přímce n. Sestrojte čtverec. Najděte všechna řešení.

Zapamatuj si:

Obdélník

protější strany jsou stejně dlouhé a rovnoběžné
všechny jeho úhly jsou pravé (90°)
úhlopříčky jsou stejně dlouhé a půlí se, ale nejsou na sebe kolmé
všechny vrcholy leží na jedné kružnici se středem S v průsečíku úhlopříček
úhlopříčka je průměrem kružnice - je to Thaletova kružnice, proto jsou úhly u vrcholů pravé
střed S je střed souměrnosti - vrchol C je obraz vrcholu A, vrchol D je obraz vrcholu B
má dvě osy souměrnosti - spojnice středů protějších stran; úhlopříčky osy souměrnosti nejsou

Zadání: Je dána přímka AB. Sestrojte obdélník ABCD, jehož strana AD má délku 5 cm.

Zadání: Je dána přímka b a bod B. Sestrojte obdélník ABCD, jehož strana AB leží na přímce b a má délku 8 cm, úhlopříčka BD má délku 10 cm.

Zadání: Je dána kružnice k se středem S a bod A na kružnici. Sestrojte obdélník ABCD vepsaný do této kružnice, jehož strana AB má délku 8 cm.

Zadání: Je dána úsečka OP, která je kratší stranou obdélníku OPQR. Strana PQ je dvakrát delší než strana OP. Sestrojte obdélník OPQR.

Zadání: Je dán obdélník ABCD. Sestrojte obě jeho osy souměrnosti.

Zadání: Jsou dány vrcholy R, S, T obdélníku RSTU. Sestrojte vrchol U a obdélník narýsujte.

Zadání: Je dán vrchol K obdélníku KLMN a jeho střed S. Vrchol N leží na přímce x. Sestrojte obdélník KLMN. Najděte všechna řešení.

Zadání: Je dána úhlopříčka BD obdélníku ABCD. Strana BC leží na přímce c, která prochází bodem B. Sestrojte obdélník ABCD.

Zadání: Je dán vrchol A obdélníku ABCD a střed S strany CD. Strana AD leží na přímce p, která prochází bodem A. Sestrojte obdélník ABCD.

Zadání: Je dán vrchol A obdélníku ABCD, bod X uvnitř strany AB a vrchol C. Sestrojte obdélník ABCD.

Zadání: Je dána strana KL obdélníku KLMN a bod R, který leží na kružnici opsané tomuto obdélníku. Sestrojte střed S kružnice i obdélník KLMN.

Zadání: Je dán obdélník KLMN a body U, V, které jsou vnitřními body stran KN a MN. Sestrojte kružnici, která prochází body N, U a V.

Zapamatuj si:

Obecný trojúhelník

má tři vrcholy A, B, C a tři strany a, b, c
strana a leží proti vrcholu A (proti úhlu α), stejně tak b proti B a c proti C
součet vnitřních úhlů je vždy 180°: α + β + γ = 180°
součet dvou stran je vždy větší než třetí strana (trojúhelníková nerovnost)

Zadání (věta sss): Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 4 cm a b = 5 cm.

Zadání (věta sus): Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 5 cm a β = 60°.

Zadání (věta usu): Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li α = 45° a β = 60°.

Zadání (věta Ssu): Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 7 cm a α = 75°.

Zadání: Je dána úsečka PQ a přímka r. Vrchol R trojúhelníku PQR leží na přímce r a strana PR měří 5 cm. Sestrojte trojúhelník PQR. Najděte všechna řešení.

Zadání: Je dána úsečka KL, přímka p a bod M. Vrchol N trojúhelníku KLN leží na přímce p, strana KN měří 4 cm a bod M leží uvnitř trojúhelníku KLN. Sestrojte trojúhelník KLN.

Zadání: Je dán vrchol D trojúhelníku DEF a různoběžky m, n. Vrchol E leží na přímce m, vrchol F na přímce n. Strana DE je kolmá k přímce m, strana DF je s přímkou m rovnoběžná. Sestrojte trojúhelník DEF.

Zadání: Je dána úsečka XY a polopřímka YV. Vrchol Z trojúhelníku XYZ leží na polopřímce YV a strana XZ je o 2 cm delší než strana XY. Sestrojte trojúhelník XYZ.

Zadání: Jsou dány vrcholy R, S trojúhelníku RST a bod U, kterým procházejí osy vnitřních úhlů při vrcholech R a S. Sestrojte trojúhelník RST.

Zadání: Je dán vrchol K trojúhelníku KLM a body P, Q, které jsou středy dvou jeho stran. Sestrojte trojúhelník KLM. Najděte všechna řešení.

Zadání: Je dána úsečka TU, která je stranou trojúhelníku TUV, a bod W. Strana TV měří 5 cm a strana UV prochází bodem W. Sestrojte trojúhelník TUV. Najděte všechna řešení.

Zapamatuj si:

Rovnoramenný trojúhelník

dvě strany jsou stejně dlouhé - říká se jim ramena (r)
třetí strana je základna (z)
úhly při základně jsou stejně velké (α)
osa základny je osou souměrnosti - prochází vrcholem C

Zadání: Je dána úsečka AB (základna). Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC s rameny AC = BC = 5 cm.

Zadání: Je dána úsečka AB, která je ramenem rovnoramenného trojúhelníku ABC. Základna BC má délku 4 cm. Sestrojte trojúhelník ABC.

Zadání: Je dáno rameno AC rovnoramenného trojúhelníku ABC a bod S, který je středem jeho základny AB. Sestrojte trojúhelník ABC.

Zadání: Je dána základna KL rovnoramenného trojúhelníku KLM a přímka p, na které leží vrchol M. Sestrojte trojúhelník KLM.

Zadání: Je dán vrchol A rovnoramenného trojúhelníku ABC se základnou AB, přímka o, která je osou souměrnosti tohoto trojúhelníku, a přímka c, na které leží vrchol C. Sestrojte trojúhelník ABC.

Zadání: Je dán vrchol D rovnoramenného trojúhelníku DEF se základnou DE, bod S, který je středem ramene DF, a polopřímka DX, na které leží vrchol E. Sestrojte trojúhelník DEF.

Zadání: Je dána základna GH rovnoramenného trojúhelníku GHJ. Každé rameno je dvakrát delší než základna. Sestrojte trojúhelník GHJ a najděte všechna řešení.

Zapamatuj si:

Výšky trojúhelníku

výška = kolmice z vrcholu na protější stranu
značí se podle strany, na kterou je kolmá: v_a, v_b, v_c
v_a vede z vrcholu A na stranu a, v_b z B na b, v_c z C na c

u pravoúhlého trojúhelníku jsou dvě výšky přímo odvěsny - třetí výška (v_c) vede z vrcholu pravého úhlu na přeponu

Zapamatuj si:

Těžnice a těžiště

těžnice = spojnice vrcholu se středem protější strany
značí se podle strany, ke které míří: t_a, t_b, t_c
všechny tři těžnice se protnou v těžišti T
těžiště dělí každou těžnici v poměru 2 : 1 od vrcholu

Zadání: Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte všechny jeho výšky a označte je.

Zadání: Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte všechny tři těžnice a označte těžiště T.

Zadání: Je dána strana MN trojúhelníku MNO a polopřímka MZ. Vrchol O leží na polopřímce MZ a výška na stranu MN měří 5 cm. Sestrojte trojúhelník MNO.

Zadání: Je dána úsečka DE, která je stranou trojúhelníku DEF, a jeho těžiště T. Sestrojte vrchol F a trojúhelník DEF narýsujte.

Zadání: Je dána strana UV trojúhelníku UVW a přímka q. Vrchol W leží na přímce q a těžnice na stranu UV měří 4 cm. Sestrojte trojúhelník UVW. Najděte všechna řešení.

Zadání: Je dána úsečka AB, která je stranou trojúhelníku ABC, a bod O, který je průsečíkem jeho výšek. Sestrojte vrchol C a trojúhelník ABC narýsujte.

Zapamatuj si:

Rovnoramenný lichoběžník

lichoběžník má dvě rovnoběžné strany - základny (a, c); zbylé dvě strany jsou ramena
ramena jsou stejně dlouhá (r)
úhly při základnách jsou stejně velké (α, β)
je osově souměrný - osa prochází středy obou základen
úhlopříčky jsou stejně dlouhé a protínají se v bodě S: |AS| = |BS|, |DS| = |CS|
všechny čtyři vrcholy leží na jedné kružnici - rovnoramennému lichoběžníku lze opsat kružnici

Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB, jestliže úhly při základně AB mají velikost 60° a ramena délku 3 cm.

Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB, je-li |CD| = 3 cm a výška v = 3 cm. Využijeme osu souměrnosti - prochází středy obou základen.

Zadání: Je dán vrchol E rovnoramenného lichoběžníku EFGH se základnou EF, bod M, který je středem ramene FG, a přímka o, která je osou souměrnosti lichoběžníku. Sestrojte lichoběžník EFGH.

Zadání: Je dána základna PQ rovnoramenného lichoběžníku PQRS a bod T, který je středem ramene QR. Sestrojte lichoběžník PQRS.

Zadání: Je dána kružnice k se středem S a tětiva AB, která je delší základnou rovnoramenného lichoběžníku ABCD vepsaného do kružnice k. Výška lichoběžníku je rovna poloměru kružnice. Sestrojte lichoběžník ABCD.

Zapamatuj si:

Rovnoběžník

protější strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé (a, b)
protější úhly jsou stejně velké (α, β)
součet sousedních úhlů je 180°: α + β = 180°
úhlopříčky se navzájem půlí - jejich průsečík S je střed souměrnosti
čtverec, obdélník i kosočtverec jsou zvláštní případy rovnoběžníku

Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li |AD| = 3 cm a α = 60°.

Zadání: Je dána úsečka AB a bod S, který je středem rovnoběžníku ABCD (průsečíkem úhlopříček). Sestrojte rovnoběžník ABCD.

Zadání: Jsou dány vrcholy T, U, V rovnoběžníku TUVW. Sestrojte vrchol W a rovnoběžník narýsujte.

Zadání: Je dán vrchol K rovnoběžníku KLMN, jeho střed S a přímka r procházející bodem K, na které leží vrchol L. Úhel KSL má velikost 120°. Sestrojte rovnoběžník KLMN.

Zadání: Na přímce r leží bod E a mimo ni bod G. Body E, G jsou protější vrcholy rovnoběžníku EFGH, jehož úhlopříčka FH je dvakrát delší než úhlopříčka EG. Vrchol F leží na přímce r. Sestrojte rovnoběžník EFGH. Najděte všechna řešení.

Zapamatuj si:

Pravidelný šestiúhelník

má šest stejně dlouhých stran (a) a šest stejných vnitřních úhlů (120°)
skládá se ze šesti rovnostranných trojúhelníků se společným vrcholem ve středu S
vrcholy leží na kružnici opsané - její poloměr je stejný jako strana: r = a
proto ho snadno narýsuješ: kružnice + nanášení strany a kružítkem po obvodu

Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se stranou AB.

Zadání: Je dána kružnice k se středem S a bod A na kružnici. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF vepsaný do kružnice k.

Zadání: Je dána úhlopříčka AD. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF.

Zadání: Je dán vrchol A a osa o strany AB. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF.

Zapamatuj si:

Hledáme všechna řešení

kružnice (i její část - oblouk), která protíná přímku, ji protne ve dvou bodech - a obě místa jsou řešení
dva oblouky se také protínají ve dvou bodech
jakmile průsečíky vzniknou, hned oba označ a popiš indexy: X₁, X₂
pak dokonči celé první řešení (s bodem X₁) a teprve potom celé druhé (s bodem X₂)
obě řešení musíš narýsovat - klíč dává plné body jen za obě, za jediné správné řešení je bodů méně; pozor, útvary navíc (chybná „řešení") body ubírají
signál v zadání: věta „Najděte všechna řešení." (výjimečně „Nalezněte/Narýsujte všechna řešení") - když tam je, řešení je vždy víc než jedno

Zapamatuj si:

Kde se řešení větví

oblouk × přímka - hledaný bod leží na přímce a zároveň v dané vzdálenosti od nějakého bodu → dva průsečíky (nejčastější případ)
oblouk × oblouk - bod je určený dvěma vzdálenostmi → dva průsečíky
dvě strany přímky - útvar jde sestrojit nad i pod danou přímkou (zrcadlová řešení); stejně tak úhel se dá nanést na obě strany polopřímky
zadání nechává volbu - „na přímce leží jeden ze zbývajících vrcholů", „bod je středem některé strany", „bod leží na některé z úhlopříček": každá možnost = jedno řešení; tak vznikají i tři řešení

Zapamatuj si:

Kdy se řešení neuvažuje

zadání někdy přidá podmínku navíc: bod leží uvnitř trojúhelníku, bod leží na polopřímce, bod neleží uvnitř…
taková věta tam není náhodou - vyřazuje část řešení
vyřazuj hned, jak to jde: když podmínku porušuje už samotný průsečík (třeba X₁ leží na opačné polopřímce), vyřaď ho rovnou a řešení z něj vůbec nerýsuj
pozor: i po vyřazení můžou zůstat dvě řešení - podmínka počet často jen zúží, nezruší
když zadání všechna řešení nežádá, bývá řešení jedno

Trojčlenka je postup, jak ze tří známých čísel vypočítat čtvrté, které neznáme.

1) Přímá úměrnost - „čím více, tím více".Dvakrát víc rohlíků → dvakrát vyšší cena.

Příklad: 3 rohlíky stojí 12 Kč. Kolik zaplatíme za 5 rohlíků?

12 Kč3 rohlíky x Kč5 rohlíků

čím více, tím více → přímá úměrnost → šipky stejným směrem

Odpověď: 5 rohlíků stojí 20 Kč.

Trojčlenka

2) Nepřímá úměrnost - „čím více, tím méně".Dvakrát víc dělníků → poloviční čas.

Příklad: 4 dělníci postaví zeď za 6 dnů. Za jak dlouho ji postaví 8 dělníků?

6 dnů4 dělníci x dnů8 dělníků

čím více, tím méně → nepřímá úměrnost → šipky opačným směrem

Odpověď: 8 dělníků zeď postaví za 3 dny.

Trojčlenka

Jak poznám, která úměrnost to je?

Zeptej se: když jedné veličiny přidám, druhé přibude, nebo ubude?

• Přibude → přímá úměrnost.

• Ubude → nepřímá úměrnost.

Postup krok za krokem

Zapiš údaje do dvou řádků - stejné veličiny pod sebe a neznámou x dej doleva dolů.
Rozhodni, jestli je úměrnost přímá (víc↔víc), nebo nepřímá (víc↔míň).
Nakresli šipky: přímá → stejný směr, nepřímá → opačný směr.
Postav rovnici.
Napiš odpověď i s jednotkou (Kč, dny, …).

Vyber si, jakým způsobem budeš procenta počítat:

Procenta trojčlenkou

Příklad 1 (v příkladu vidíme tři čísla): Kuba spoří na hru. Už má 300 Kč, což je 15 % ceny. Kolik procent ceny bude mít, až naspoří 900 Kč?

15 %300 Kč x %900 Kč

Procenta jsou vždy přímá úměrnost → šipky stejným směrem

Odpověď: 900 Kč je 45 % ceny.

Další krok - když musíš zjistit, co je celek a že se rovná 100 %:

Příklad 2 (v příkladu vidíme jen dvě čísla): Kolo stojí 4000 Kč. Ve slevě je zlevněné o 15 %. Kolik korun ušetříme?

4000 Kč100 % x Kč15 %

Procenta jsou vždy přímá úměrnost → šipky stejným směrem

Odpověď: Ušetříme 600 Kč.

Procenta pomocí vzorců

Příklad 1: Kuba spoří na hru. Už má 300 Kč, což je 15 % ceny. Kolik procent ceny bude mít, až naspoří 900 Kč?

Zápis: c = 300 Kč, p = 15 % c = 900 Kč → hledáme p = ? z (základ) neznáme → nejdřív ho dopočítáme

1) Nejdřív základ (celek):

2) Pak počet procent:

Odpověď: 900 Kč je 45 % ceny.

Další krok - když musíš zjistit, co je celek a že se rovná 100 %:

Příklad 2: Kolo stojí 4000 Kč. Ve slevě je zlevněné o 15 %. Kolik korun ušetříme?

Zápis: z = 4000 Kč (základ - celá cena = 100 %) p = 15 % (sleva) c = ? (kolik korun ušetříme)

Procentová část:

Odpověď: Ušetříme 600 Kč.

Co je poměr

Poměr porovnává dvě čísla - udává kolikrát je jedna hodnota větší nebo menší než druhá.
Píše se s dvojtečkou a : b. Poměr můžeme krátit (dělit obě čísla stejným číslem) jako zlomek.

Příklad: Ve třídě je 12 chlapců a 18 dívek. V jakém poměru jsou chlapci a dívky?

Poměr:

12:18 2:3

/ zkrátíme šesti

Počty dětí

12 : 18

Výsledný poměr

2 : 3

Oba grafy jsou stejné.
Poměr 2 : 3 je stejné rozdělení jako 12 : 18, jen menšími čísly.

Odpověď: Chlapci a dívky jsou v poměru 2 : 3.

Rozdělení v poměru

Celek rozdělíme na díly. Sečteme čísla poměru = počet dílů, spočítáme jeden díl a pak dopočítáme části.

Příklad: Rozděl 600 Kč v poměru 2 : 3.

Počet dílů2 + 3 = 5

Jeden díl600 : 5 = 120 Kč

1. část má dva díly2 · 120 = 240 Kč

2. část má tři díly3 · 120 = 360 Kč

Kontrola: 240 + 360 = 600 ✓

5 dílů

2 : 3

Celek rozdělíme na 5 dílů (2 + 3). Každý díl = 120 Kč.
2 díly = 240 Kč, 3 díly = 360 Kč.

Odpověď: 600 Kč se v poměru 2 : 3 rozdělí na 240 Kč a 360 Kč.

Měřítko mapy

Měřítko 1 : 5 000 znamená, že 1 cm na mapě = 5 000 cm ve skutečnosti (= 50 m).
Z mapy do skutečnosti násobíme, ze skutečnosti na mapu dělíme.

Z mapy do skutečnosti (násobíme):

Příklad 1: Na mapě 1 : 5 000 jsou dvě místa vzdálená 4 cm. Jaká je skutečná vzdálenost?

4 cm · 5 000 cm = 20 000 cm = 200 m

Odpověď: 200 m.

Ze skutečnosti na mapu (dělíme):

Příklad 2: Skutečná vzdálenost je 300 m. Kolik cm bude na mapě 1 : 5 000?

300 m = 30 000 cm

30 000 cm : 5 000 cm = 6 cm

Odpověď: 6 cm.

Sčítání a odčítání mnohočlenů

Spojíme členy se stejnou proměnnou a stejnou mocninou: všechna x², všechna x a samotná čísla. Každou barvu sečteme zvlášť.

Příklad 1:

Odpověď:

Když jsou v příkladu závorky: nejdřív je odstraníme:

Před závorkou plus → znaménka uvnitř zůstanou.
Před závorkou minus → všem členům uvnitř znaménko obrátíme.
Spojíme členy se stejnou proměnnou a stejnou mocninou.

Příklad 2:

Odpověď:

Příklady na vzorce

Druhá mocnina součtu: (a+b)² = a²+2ab+b²

Příklad 1: Umocněte podle vzorce

Odpověď:

Druhá mocnina součtu: a²+2ab+b² = (a+b)²

Příklad 4: Rozložte na součin podle vzorce

Odpověď:

Druhá mocnina rozdílu: (a−b)² = a²−2ab+b²

Příklad 2: Umocněte podle vzorce

Odpověď:

Druhá mocnina rozdílu: a²−2ab+b² = (a−b)²

Příklad 5: Rozložte na součin podle vzorce

Odpověď:

Rozdíl druhých mocnin: a²−b² = (a−b)(a+b)

Příklad 3: Rozložte podle vzorce

Odpověď:

Rozdíl druhých mocnin: a²−b² = (a−b)(a+b)

Příklad 6: Rozložte na součin podle vzorce

Odpověď:

Speciální případy

Oba členy záporné: (a+b)² = a²+2ab+b²

Příklad 7: Umocněte podle vzorce

Stejný výsledek jako

Odpověď:

Členy prohodíme: (a−b)² = a²−2ab+b²

Příklad 8: Umocněte podle vzorce

Stejný výsledek jako

Odpověď:

Členy prohodíme: a²−b² = (a−b)(a+b)

Příklad 9: Rozložte na součin podle vzorce

Odpověď:

Počítání se zlomky

Zlomek v základním tvaru je zlomek, který už nejde více zkrátit - čitatel a jmenovatel nemají žádného společného dělitele kromě jedničky.

Hodnota zlomku se nezmění, když čitatele i jmenovatele vynásobíme nebo vydělíme stejným číslem.
Krácení a rozšiřování jsou opačné postupy - na stejném zlomku:

Krácení:
čitatele i jmenovatele vydělíme stejným číslem (společným dělitelem):

Příklad 1: Zkraťte zlomek

Odpověď:

Rozšiřování:
čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem:

Příklad 2: Rozšiřte zlomek šesti

Odpověď:

Sčítání a odčítání: zlomky musí mít stejný jmenovatel - nejdřív je rozšíříme na společný jmenovatel:

Sčítání:
sečteme jen čitatele, jmenovatel opíšeme:

Příklad 3: Vypočtěte

Odpověď:

Odčítání:
odečteme jen čitatele, jmenovatel opíšeme:

Příklad 4: Vypočtěte

Odpověď:

Násobení a dělení: společný jmenovatel nepotřebujeme:

Násobení:
vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou:

Příklad 5: Vypočtěte

Odpověď:

Dělení:
druhý zlomek obrátíme (převrácená hodnota) a místo dělení násobíme:

Příklad 6: Vypočtěte

Odpověď:

Smíšená čísla: nejdřív je převedeme na zlomek - celou část vynásobíme jmenovatelem a přičteme čitatele:

Příklad 7: Vypočtěte

Smíšené číslo -> zlomek

celou část vynásobíme jmenovatelem a přičteme čitatele; jmenovatel opíšeme

Zlomek -> smíšené číslo

čitatele vydělíme jmenovatelem: podíl je celá část, zbytek je nový čitatel, jmenovatel opíšeme

Odpověď:

Zapamatuj si

Součin pod odmocninou rozdělit LZE:

Součet pod odmocninou rozdělit NELZE!

Počítání s odmocninami

Co je druhá odmocnina: je to opak druhé mocniny - hledáme kladné číslo, které umocněné na druhou dá číslo pod odmocninou.

Příklad 1: Vypočtěte

Odpověď:

Odmocnina podílu: odmocninu zlomku rozdělíme na čitatele a jmenovatele - a stejně tak obráceně:

Rozdělíme:
odmocníme čitatele i jmenovatele zvlášť:

Příklad 2: Vypočtěte

Odpověď:

Spojíme:
dvě odmocniny pod jednu a čísla vydělíme:

Příklad 3: Vypočtěte

Odpověď:

Odmocnina součinu: součin pod odmocninou rozložíme na dvě odmocniny - a stejně tak obráceně:

Rozložíme:
součin pod odmocninou na dvě odmocniny:

Příklad 4: Vypočtěte a rozložte

Odpověď:

Spojíme:
dvě odmocniny pod jednu a čísla vynásobíme:

Příklad 5: Vypočtěte

Odpověď:

Součet pod odmocninou: nejdřív spočítáme, co je pod odmocninou, teprve pak odmocňujeme. Sčítání a odčítání pod odmocninu rozdělit NELZE - :

Příklad 6: Vypočtěte

Odpověď:

Odmocnina desetinného čísla: převedeme ho na zlomek a odmocníme čitatele i jmenovatele:

Příklad 7: Vypočtěte

Odpověď:

Odmocnina záporného čísla neexistuje - žádné číslo umocněné na druhou nedá záporný výsledek.

Co je zlomek

Zlomek říká, jakou část celku máme. Celek nejdřív rozdělíme na stejné díly.

Čitatel (nahoře) = kolik dílů vezmeme.
Jmenovatel (dole) = na kolik stejných dílů je celek rozdělený.

3 = obarvené díly
4 = všechny díly

Obrázek je rozdělený na 4 stejné díly a 3 jsou obarvené → 3 čtvrtiny, píšeme 3/4.

Slovní názvy zlomků

Zlomek	Říkáme	Zlomek	Říkáme
1/2	polovina	1/6	šestina
1/3	třetina	1/8	osmina
1/4	čtvrtina	1/10	desetina
1/5	pětina	3/4	tři čtvrtiny

Řešené příklady

Příklad 1: Jakou část tvoří obarvené čtverečky?

Odpověď: Obarvené jsou 3 z 8 dílů → 3/8 (tři osminy).

Příklad 2: Jakou část tvoří obarvené čtverečky?

Odpověď: Obarvené jsou 2 z 5 dílů → 2/5 (dvě pětiny).

Názvy operací

Operace	Členy (jak se čísla jmenují)	Výsledek
sčítání (+)	sčítanec + sčítanec	součet
odčítání (−)	menšenec − menšitel	rozdíl
násobení (·)	činitel · činitel	součin
dělení (:)	dělenec : dělitel	podíl
umocňování	základ a exponent (mocnitel)	mocnina
odmocňování	odmocnitel a odmocněnec	odmocnina

Slovní obraty - pozor na záměnu!

Nejčastější chyba: „o kolik" je vždy odčítání, „kolikrát" vždy dělení - a je jedno, jestli je to více, nebo méně.

Slovní obrat	Co udělat	Příklad
o kolik více nebo méně	odčítání (−)
kolikrát více nebo méně	dělení (:)
dvojnásobek, trojnásobek, n-krát víc	násobení (·)
polovina, třetina, pětina, n-tina	dělení (:)

Řešené příklady

Příklad 1: Vypočtěte, kolikrát je součet čísel 0,1 a 0,5 větší než jejich součin.

součet čísel 0,1 a 0,5 → sčítání:

součin čísel 0,1 a 0,5 → násobení:

„kolikrát větší" → dělení (větší : menší):

Odpověď: Součet je 12krát větší než součin.

Příklad 2: Vypočtěte, kolikrát je pětinásobek čísla 6 menší než číslo 240.

pětinásobek čísla 6 → násobení pěti:

„kolikrát menší" → dělení (větší : menší):

Odpověď: Pětinásobek 6 je 8krát menší než 240.

Příklad 3: Vypočtěte, o kolik je polovina čísla 4,6 větší než číslo 0,3.

polovina čísla 4,6 → dělení dvěma:

„o kolik větší" → odčítání (pozor, ne dělení!):

Odpověď: Polovina 4,6 je o 2 větší než 0,3.

Znaky dělitelnosti

Číslo nemusíš pracně dělit. U některých dělitelů dělitelnost poznáš na první pohled. Existují čtyři způsoby - podle toho, o který dělitel jde (barva ho pak provází i v tabulce):

Poslední číslice (2, 5, 10) - stačí se podívat na poslední číslici čísla. Podle ní poznáš dělitelnost 2, 5 a 10.
Ciferný součet (3, 9) - sečteš všechny číslice. Když je jejich součet dělitelný 3 (nebo 9), je dělitelné i celé číslo.
Poslední dvojčíslí (4) - podíváš se na poslední dvě číslice. Když je to dvojčíslí dělitelné 4, je dělitelné i celé číslo.
Kombinace (6 = 2 a 3) - pokud je číslo dělitelné 2 (sudé) a 3 (ciferný součet je dělitelný třemi), pak je číslo dělitelné i 6.

Dělitel	Poznáš podle	Příklad
2	poslední číslice je sudá (0, 2, 4, 6, 8)
3	ciferný součet je dělitelný 3
4	poslední dvojčíslí je dělitelné 4
5	poslední číslice je 0 nebo 5
6	dělitelné 2 i 3 zároveň
9	ciferný součet je dělitelný 9
10	poslední číslice je 0

Ciferný součet (3, 9) a dělitelnost 6

Ciferný součet = sečteš všechny číslice čísla. Používá se u dělitelnosti 3 a 9:

Číslo 342 má ciferný součet 9 → je dělitelné 3 i 9. Pozor: kdyby vyšel součet třeba 12, je číslo dělitelné jen 3 (12 není dělitelné 9).

Dělitelnost 6: musí platit obě podmínky - dělitelnost 2 (číslo je sudé) i 3 (ciferný součet).

Řešené příklady

Příklad 1: Rozhodni, kterými z dělitelů 2, 3, 4, 5, 9 je dělitelné číslo 810.

Poslední číslice je 0 (sudá) → dělitelné 2 a 5.

Ciferný součet → rozhodne o dělitelnosti 3 a 9:

9 je dělitelné 3 i 9 → dělitelné 3 a 9.

Poslední dvojčíslí 10 není dělitelné 4 → není dělitelné 4.

Odpověď: Číslo 810 je dělitelné 2, 3, 5 a 9. Číslem 4 dělitelné není.

Příklad 2: Je číslo 5 154 dělitelné 3? A devíti?

Ciferný součet čísla 5 154:

15 je dělitelné 3 (15 : 3 = 5) → ano, dělitelné 3.

15 není dělitelné 9 (9, 18, 27…) → ne, dělitelné 9 není.

Odpověď: Číslo 5 154 je dělitelné 3, ale devíti ne.

Příklad 3: Jakou číslici doplníš místo ★, aby bylo číslo 47★ dělitelné 6?

Dělitelné 6 = dělitelné 2 i 3 zároveň.

Musí být sudé → poslední číslice 0, 2, 4, 6 nebo 8.

A ciferný součet dělitelný 3: 4 + 7 + ★ = 11 + ★. Sudá číslice, pro kterou to vyjde, je jen 4:

Číslo 474 je sudé ✓ a ciferný součet 15 je dělitelný 3 ✓.

Odpověď: Doplníš číslici 4 → číslo 474.

Dělitel a násobek

Jsou to dva pohledy na totéž dělení beze zbytku. Ukažme si to na příkladu 12 : 3 = 4:

Dělitel = číslo, kterým jiné číslo vydělíš beze zbytku. Číslo 3 je dělitel čísla 12, protože 12 : 3 = 4 (nic nezbude).
Násobek = číslo, které vznikne násobením. Číslo 12 je násobek čísla 3, protože 3 · 4 = 12.

Je to jedno a totéž dělení, jen z druhé strany: když je 3 dělitel čísla 12, je zároveň 12 násobek čísla 3.

Každé číslo má vždy dělitele 1 a samo sebe. Násobků má číslo nekonečně mnoho (1×, 2×, 3× …), dělitelů jen konečně.

Jak najít všechny dělitele

Piš si dvojice: zkus číslo vydělit postupně od 1 výše. Když vyjde celé číslo, našel jsi dvojici (dělitel a výsledek).
Kdy přestat: postupuj dál (2, 3, 4 …), dokud se čísla nezačnou opakovat.

Příklad: najdi všechny dělitele čísla 12:

→ dvojice 1 a 12
→ dvojice 2 a 6
→ dvojice 3 a 4
Číslo 4 už dá dvojici 4 a 3, kterou máme → dvojice se opakuje, končíme.

Vypíšeme obě čísla z každé dvojice → dělitelé čísla 12 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Řešené příklady

Příklad 1: Vypiš všechny dělitele čísla 24.

Hledáme dvojice čísel, jejichž součin je 24:

Číslo 24 není dělitelné 5, číslo 6 už máme ve dvojici 4 · 6, není dělitelné ani 7. Další dvojice nepřidají už nic nového.

Odpověď: Dělitelé čísla 24 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (celkem 8).

Příklad 2: Napiš prvních pět násobků čísla 6.

Číslo 6 postupně vynásobíme 1, 2, 3, 4, 5:

Odpověď: Prvních pět násobků čísla 6 je 6, 12, 18, 24, 30.

Příklad 3: Je 8 dělitelem čísla 56? A je 56 násobkem 8?

Stačí jedno dělení - vyjde-li beze zbytku, platí obojí:

56 : 8 = 7 a nic nezbude, takže 8 je dělitel 56 a zároveň 56 je násobek 8.

Odpověď: Ano - obojí platí (je to totéž dělení z druhé strany).

Prvočíslo a složené číslo

Podle počtu dělitelů dělíme čísla na dvě skupiny:

Prvočíslo = má právě dva dělitele: 1 a samo sebe. Nejde rozložit na menší činitele. Např. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …
Složené číslo = má víc než dva dělitele - dá se rozložit na součin menších čísel. Např. 4, 6, 8, 9, 10, 12, …

Pozor: číslo 1 není ani prvočíslo, ani složené (má jen jednoho dělitele - samo sebe). Číslo 2 je jediné sudé prvočíslo (každé jiné sudé číslo je dělitelné dvěma).

Rozklad na prvočísla

Každé složené číslo jde zapsat jako součin prvočísel - a jen jediným způsobem. Postup:

Vytáhni nejmenší prvočíslo: rozděl číslo na prvočíslo × zbytek (třešnička doleva, zbytek doprava).
Zbytek rozkládej dál stejně, dokud na koncích nezůstanou jen prvočísla (zelené třešničky).
Číslo je součin všech prvočísel na koncích. Stejná zapiš jako mocninu.

Příklad: rozlož číslo 60:

Sesbíraná prvočísla vynásobíme:

Řešené příklady

Příklad 1: Rozlož číslo 36 na součin prvočísel.

Rozkládáme stromečkem:

Odpověď:

Příklad 2: Rozlož číslo 84 na součin prvočísel.

Stejně stromečkem:

Odpověď:

Příklad 3: Je číslo 51 prvočíslo?

51 je liché, ale ciferný součet 5 + 1 = 6 je dělitelný 3 → 51 je dělitelné 3:

51 se rozdělí na 3 a 17 - má tedy i jiné dělitele než 1 a samo sebe (1, 3, 17, 51).

Odpověď: Ne - 51 je složené číslo (51 = 3 · 17).

Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek

Dvě čísla mají společné dělitele i společné násobky. Nás zajímají dva z nich:

Největší společný dělitel - největší číslo, kterým jde vydělit obě čísla beze zbytku. Zkráceně NSD, značka D(a, b).
Nejmenší společný násobek - nejmenší číslo, které je násobkem obou čísel. Zkráceně NSN, značka n(a, b).

Jak je najít (přes rozklad na prvočísla)

1. Nejdřív obě čísla rozlož na prvočísla - napiš je jako součin (viz předchozí záložka).

Rozložíme čísla 12 a 18 na prvočísla (stromečkem, červeně):

Máme tedy 12 = 2 · 2 · 3 a 18 = 2 · 3 · 3. Napíšeme je pod sebe a stejná prvočísla dáme do sloupečků.

2. Největší společný dělitel = vynásob jen ta prvočísla, která mají obě čísla společná (zelené sloupečky):

3. Nejmenší společný násobek = vynásob všechna prvočísla - společná vezmeš jen jednou a přidáš, co v každém čísle zbyde. Z každého sloupečku tak vezmeš jen jedno číslo (modře):

Kontrola: vždy platí D(a, b) · n(a, b) = součin obou čísel:

Kdy použít Největší společný dělitel a kdy Nejmenší společný násobek

Největší společný dělitel - když rozděluješ na co NEJVĚTŠÍ stejné části (největší dlaždice, nejvíc stejných skupin, co nejvíc dětí…). Hledáš největší číslo → dělitel.
Nejmenší společný násobek - když hledáš, kdy se něco POPRVÉ potká nebo zopakuje (dvě světla bliknou spolu, dva autobusy odjedou spolu…). Hledáš nejmenší společný počet → násobek.

Řešené příklady

Příklad 1: Najdi největší společný dělitel čísel 24 a 36.

Rozložíme obě čísla na prvočísla a stejná dáme do sloupečků (zelené = společné):

NSD = prvočísla, která mají obě čísla společná (dvě dvojky a jedna trojka):

Odpověď: D(24, 36) = 12.

Příklad 2: Najdi nejmenší společný násobek čísel 8 a 12.

Rozložíme do sloupečků a z každého vezmeme jedno (modře):

NSN = všechna prvočísla dohromady (dvojku vezmeme tolikrát, kolikrát je jí v jednom čísle nejvíc - třikrát z 8):

Odpověď: n(8, 12) = 24.

Příklad 3: Dva majáky blikají - první každých 6 sekund, druhý každých 10 sekund. Za kolik sekund bliknou poprvé současně?

„Poprvé současně" = hledáme Nejmenší společný násobek čísel 6 a 10. Rozložíme a z každého sloupečku vezmeme jedno (modře):

NSN = všechna prvočísla dohromady (společnou dvojku jen jednou, plus 3 a 5):

Odpověď: Bliknou spolu poprvé za 30 sekund.

Převody jednotek délky

km · 1000 : 1000 m · 10 : 10 dm · 10 : 10 cm · 10 : 10 mm

Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme

Kontrola: po převodu na menší jednotku musí být číslo větší než původní, po převodu na větší jednotku menší. Když to tak není, spletli jste si násobení a dělení.

Na menší jednotku: menších jednotek se do stejné délky vejde více - číslo proto roste, tedy násobíme.
Vynásobíme všemi kroky, přes které jsme na nákresu přeskočili:

Příklad 1: Převeďte na metry

Odpověď:

Na větší jednotku: větších jednotek je potřeba méně - číslo se zmenšuje, tedy dělíme. Z cm na m jsou dva kroky po deseti, dělíme tedy stem:

Příklad 2: Převeďte na metry

Odpověď:

Složený zápis: každou část převedeme zvlášť na požadovanou jednotku a nakonec je sečteme:

Příklad 3: Převeďte na centimetry

Odpověď:

Počítání s různými jednotkami: sčítat a odčítat lze jen stejné jednotky - nejdřív vše převedeme na jednu z nich, teprve pak počítáme:

Příklad 4: Vypočtěte v metrech

Odpověď:

Převody jednotek obsahu: mezi sousedy je vždy 100

km² · 100 : 100 ha · 100 : 100 a · 100 : 100 m² · 100 : 100 dm² · 100 : 100 cm² · 100 : 100 mm²

Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme

Proč se násobí stem, a ne deseti?
Čtverec o straně 1 dm má stranu dlouhou 10 cm. Vejde se do něj 10 řad po 10 čtverečcích o straně 1 cm - dohromady 10 · 10 = 100 čtverečků (oranžový je jeden z nich).
1 dm² = 100 cm².
Proto u obsahu za každý krok přidáš (nebo ubereš) 2× tolik nul co u obyčejné délky: u délky · 10 (jedna nula), u obsahu · 100 (dvě nuly).
Nejčastější chyba: počítat obsah jako délku - tedy převádět desítkou místo stovkou. Vždy si vzpomeňte na obrázek: čtverec má dva rozměry, proto se každý krok počítá dvakrát.

Na menší jednotku: za každý krok nákresu násobíme stem. Z m² na cm² jsou kroky dva, tedy · 100 · 100 = · 10 000:

Příklad 1: Převeďte na centimetry čtvereční

Odpověď:

Na větší jednotku: opačně - za každý krok dělíme stem. Z mm² na cm² je krok jeden:

Příklad 2: Převeďte na centimetry čtvereční

Odpověď:

Ary a hektary: patří na stejný nákres - jsou to jednotky obsahu pro pozemky. Mezi ha, a a m² je také stovka:

Příklad 3: Převeďte na metry čtvereční

Odpověď:

Obsah ze stran: strany nejdřív převedeme na stejnou jednotku, teprve pak násobíme - jinak výsledek nedává smysl:

Příklad 4: Vypočtěte obsah obdélníku se stranami

Odpověď:

Převody jednotek objemu

Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme

m³ · 1000 : 1000 dm³ · 1000 : 1000 cm³ · 1000 : 1000 mm³

hl · 100 : 100 l · 10 : 10 dl · 10 : 10 cl · 10 : 10 ml

Dutá míra: Stačí si zapamatovat 1 l = 1 dm³ a 1 ml = 1 cm³ - pak se dá mezi nákresy přeskočit.

Proč se násobí tisícem?
Krychle o hraně 1 dm má hranu dlouhou 10 cm. Vejde se do ní 10 vrstev po 10 · 10 = 100 krychličkách o hraně 1 cm
- dohromady 10 · 10 · 10 = 1000 krychliček.
1 dm³ = 1000 cm³.
Proto u objemu za každý krok přidáš (nebo ubereš) 3× tolik nul co u obyčejné délky: u délky · 10 (jedna nula), u objemu · 1000 (tři nuly).
Nejčastější chyba: počítat objem jako délku - tedy převádět desítkou místo tisícem. Vždy si vzpomeňte na obrázek: krychle má tři rozměry, proto se každý krok počítá třikrát.

Na menší jednotku: za každý krok nákresu násobíme tisícem. Z dm³ na cm³ je krok jeden:

Příklad 1: Převeďte na centimetry krychlové

Odpověď:

Objem přes litry: na litry se dostaneme přes most 1 dm³ = 1 l - nejdřív jdeme po nákresu objemu k dm³, pak přepíšeme na litry:

Příklad 2: Převeďte na litry

Odpověď:

Z duté míry zpět na objem: mililitry přepíšeme na cm³ (je to totéž) a pak jdeme po nákresu objemu:

Příklad 3: Převeďte na decimetry krychlové

Odpověď:

Přes dva kroky: z m³ na cm³ jsou kroky dva - násobíme tedy · 1000 · 1000 = · 1 000 000:

Příklad 4: Převeďte na centimetry krychlové

Odpověď:

Objem ze stran: strany nejdřív sjednotíme, teprve pak násobíme. Výsledek v dm³ můžeme rovnou přečíst jako litry:

Příklad 5: Vypočtěte objem kvádru s hranami

Nejdříve převedeme všechny strany na dm:

Odpověď:

Zapamatuj si tři mosty: 1 l = 1 dm³, 1 ml = 1 cm³ a 1 m³ = 1000 l (protože 1 m³ = 1000 dm³). Přes ně se dostanete z každého nákresu na druhý.

Převody jednotek hmotnosti

t · 1000 : 1000 kg · 100 : 100 dkg · 10 : 10 g · 1000 : 1000 mg

Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme

Pozor na velikost kroku: u délky byl každý krok deset. U hmotnosti je krok pokaždé jiný - mezi t a kg je 1000, mezi kg a dkg 100, mezi dkg a g jen 10.

Zapamatuj si: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g a 1 g = 1000 mg - tisícovka je tu nejčastější. Výjimkou je jen dkg, který kilogram a gram rozděluje na 100 a 10.

Na menší jednotku: násobíme - z t na kg je krok jeden, tedy · 1000:

Příklad 1: Převeďte na kilogramy

Odpověď:

Na větší jednotku: z gramů na kilogramy jdeme doleva přes dva kroky - · 10 a · 100 dohromady dá 1000, takže dělíme tisícem:

Příklad 2: Převeďte na kilogramy

Odpověď:

Dekagramy: dkg je „deset gramů" - jediný krok z kilogramů, ale stovkový:

Příklad 3: Převeďte na dekagramy

Odpověď:

Složený zápis: každou část převedeme zvlášť na požadovanou jednotku a sečteme:

Příklad 4: Převeďte na gramy

Odpověď:

Jak vyřešit rovnici

Rovnice je rovnost dvou stran - jako váhy v rovnováze.
Řešíme ji ekvivalentními úpravami: s oběma stranami uděláme totéž, aby rovnováha zůstala.
Buď k oběma stranám přičteme nebo odečteme stejné číslo, nebo obě strany vynásobíme či vydělíme stejným nenulovým číslem.

Ekvivalentní úpravy

Na obě strany totéž

Co uděláme vlevo, musíme udělat i vpravo.
K oběma stranám přičteme stejné číslo (tady +4).
Vlevo se −4 a +4 vyruší, vpravo vznikne 11 + 4.

To samé při dělení

Obě strany vydělíme stejným číslem (tady 3).
Vlevo se 3 vykrátí (3x : 3 = x), vpravo zůstane 15 : 3.

Základní rovnice: číslo přesuneme na druhou stranu (přičteme nebo odečteme totéž) a nakonec vydělíme koeficientem u neznámé:

Příklad 1: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Neznámá na obou stranách: všechny členy s neznámou dáme na jednu stranu, čísla na druhou:

Příklad 2: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Rovnice se závorkou: nejdřív roznásobíme závorku, teprve pak přesouváme členy:

Příklad 3: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Rovnice se zlomkem: celou rovnici vynásobíme jmenovatelem - zlomek zmizí a dál počítáme s celými čísly:

Příklad 4: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Dva zlomky s různým jmenovatelem: celou rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (nejmenším společným násobkem obou jmenovatelů) - zlomky zmizí:

Příklad 5: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Zlomek před i uvnitř závorky: nejdřív roznásobíme závorku, teprve pak vynásobíme rovnici a zbavíme se zlomků - tady se často chybuje:

Příklad 6: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Rovnice s desetinnými čísly: celou rovnici vynásobíme deseti (nebo 100, 1000...) - desetinná čárka zmizí a dál počítáme s celými čísly:

Příklad 7: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Desetinná čísla se závorkou: nejdřív roznásobíme závorku, teprve pak vynásobíme rovnici deseti a zbavíme se desetinných čísel - tady se často chybuje:

Příklad 8: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Desetinná čísla i zlomky dohromady: desetinné číslo nejdřív převedeme na zlomek (0,5 = ¹⁄₂), pak počítáme jako s běžnými zlomky:

Příklad 9: Vyřešte rovnici

Odpověď:

Jak řešit x-ové úlohy

V těchto úlohách ti zadání samo řekne, co znamená proměnná x (například „počet samolepek označíme x").

Zjisti ze zadání, co je x.
Vyjádři každou další veličinu výrazem s x:

„čtvrtina z x" →

„o polovinu více" →

„o 8 více" →

„dvakrát více" →
Sestav rovnici z podmínky v zadání (co se čemu rovná, co dává dohromady celek).
Vyřeš rovnici a napiš odpověď na otázku.

Jak postavit rovnici

Najdi ve větě „rovná se". Prozradí ho slova jako celkem, je nebo NEŽ - na jejich místo přijde znaménko =.
Rozděl větu na dvě strany. Co je ve větě před tímto slovem, napiš vlevo od =; co je za ním, napiš vpravo.
Dorovnání dej na opačnou stranu. Údaj jako dvakrát více nebo o polovinu méně se počítá u veličiny na druhé straně, než u které je ve větě napsaný.

Zkusme to na větě z příkladu:

„Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek NEŽ Bára."

Adam + Cyril = 2 · Bára

NEŽ ukazuje, kam patří =

nejdříve zapiš =

Adama a Cyrila

dej na levou stranu

Báru

dej na pravou stranu

„dvakrát více"

vyrovnáme rovnici - „dvakrát více" je u Adama a Cyrila, takže ho musíme přidat na druhou stranu k Báře

Příklad 1: Adam, Bára a Cyril sbírají samolepky. Adam jich má nejméně. Bára má o polovinu více samolepek než Adam a Cyril má o 8 samolepek více než Adam. Počet Adamových samolepek označíme x.

1. Vyjádříme počty samolepek pomocí x

Adam:

Bára: o polovinu více než Adam

Cyril: o 8 více než Adam

Kdy je u čísla x?

„o polovinu více" je polovina z x, proto ½·x (ne jen ½).

8 je konkrétní počet kusů, ne část x, proto se přičte bez x.

2. Sestavíme rovnici

Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek než Bára:

Adam + Cyril = 2 · Bára

Jak z věty vznikne tahle rovnice? Koukni do vysvětlení „Jak postavit rovnici" nad příkladem.

Za jména dosadíme výrazy s x:

3. Vyřešíme rovnici

Odpověď: Adam má 8 samolepek (Bára 12, Cyril 16).

Těžší varianta: když je x před slovem NEŽ

Příklad 2: Máme tři stuhy. Délku první stuhy označíme x. Druhá stuha je dvakrát delší než první. První stuha je o třetinu kratší než třetí. Všechny tři stuhy měří dohromady 90 cm. Jak dlouhá je první stuha?

1. Vyjádříme délky pomocí x

1. stuha:

2. stuha: dvakrát delší než první

3. stuha: obrácený vztah - viz níže

Přímo, nebo obrátit?

Pozor u 3. stuhy: První stuha je o třetinu kratší než třetí.
Za než je 3. stuha, kterou také neznáme, ne první! Použijeme pomocnou neznámou y:

Třetí stuha je tedy 3/2 x - o polovinu delší než první (ne kratší!). Takový zápis přes y funguje vždy, i pro „o něco víc", nejen pro zlomky.

2. Sestavíme rovnici

Všechny tři stuhy měří dohromady 90 cm:

1. stuha + 2. stuha + 3. stuha = 90

Dosadíme výrazy s x:

3. Vyřešíme rovnici

Rovnici vynásobíme 2, aby zmizel zlomek:

Odpověď: První stuha měří 20 cm (druhá 40 cm, třetí 30 cm).

Další varianta: celek rozdělený na dvě části

Příklad 3: Do cirkusu přišlo 250 diváků - dospělí a děti. Dospělý zaplatil za vstupenku 120 Kč, dítě 80 Kč. Celkem se vybralo 24 000 Kč. Počet dospělých diváků označte x. Kolik bylo dospělých?

1. Vyjádříme počty pomocí x

dospělí:

děti: zbytek do 250

Celek na dvě části

Mezi diváky jsou jen dvě skupiny: dospělí a děti, dohromady 250. Když je dospělých x, děti jsou zbytek do 250:

dospělí = x

děti = 250 − x

← dohromady 250 →

Sedí to: ✓

2. Sestavíme rovnici

Vstupné dospělých (120 Kč každý) a dětí (80 Kč každé) je dohromady 24 000 Kč:

120 · dospělí + 80 · děti = 24 000

Dosadíme (dospělí = x, děti = 250 − x):

3. Vyřešíme rovnici

Odpověď: Dospělých bylo 100 (dětí 150).

Stejná úloha - řešená soustavou dvou rovnic

Příklad 4: Do cirkusu přišlo 250 diváků - dospělí a děti. Dospělý zaplatil za vstupenku 120 Kč, dítě 80 Kč. Celkem se vybralo 24 000 Kč. Kolik bylo dospělých?

Je to úplně stejné zadání jako výše. Tentokrát ale zvolíme dvě neznámé - nemusíme pak vymýšlet „zbytek 250 − x".

1. Zvolíme dvě neznámé

x = počet dospělých

y = počet dětí

2. Sestavíme dvě rovnice

Diváků je dohromady 250:

dospělí + děti = 250

Za vstupné se vybralo 24 000 Kč:

120 · dospělí + 80 · děti = 24 000

Označíme x = dospělí, y = děti - vznikne soustava:

3. Vyřešíme soustavu

Vynásobíme 1. rovnici −80, aby se u y vyrušilo (80 a −80), a rovnice sečteme:

Dosadíme x = 100 do 1. rovnice a dopočítáme y:

Odpověď: Dospělých bylo 100 (dětí 150) - stejný výsledek jako první metodou.

Zrádná varianta: zlomek se bere ze zbytku

Příklad 5: Klára nasbírala kaštany. Počet kaštanů označte x. První den použila třetinu z nich na zvířátka. Druhý den darovala tři čtvrtiny ze zbývajících kaštanů kamarádovi. Zůstalo jí 20 kaštanů. Kolik kaštanů nasbírala?

1. Vyjádříme počty pomocí x

1. den použila: třetina z celku

zbylo: celek − třetina

2. den darovala: tři čtvrtiny ZE ZBYTKU - viz karta

zůstalo: 20 kaštanů

Ze zbytku, ne z celku!

Druhý den bere Klára tři čtvrtiny z toho, co zbylo (⅔ x), ne z celého x. Právě tady se skoro vždy chybuje:

✗ takhle ne: (to jsou tři čtvrtiny z celku)

✓ správně: (tři čtvrtiny ze zbytku ⅔ x)

2. Sestavíme rovnici

Celek − použité − darované = zůstatek:

3. Vyřešíme rovnici

Odpověď: Klára nasbírala 120 kaštanů.

Jak řešit slovní úlohu rovnicí

Tady zadání neřekne, co je x - neznámou si musíš zvolit sám.

Zvol si neznámou x - označ jí veličinu, ke které se ostatní vztahují (často tu nejmenší nebo základní).
Vyjádři každou další veličinu výrazem s x:

„čtvrtina z x" →

„o polovinu více" →

„o 8 více" →

„dvakrát více" →
Sestav rovnici - nejčastěji z toho, co dává dohromady celek (třeba „dohromady 60 kg").
Vyřeš rovnici a napiš odpověď na otázku.

Když se všechny veličiny nedají vyjádřit jednou neznámou, zvolíme dvě (x a y) a sestavíme soustavu dvou rovnic.

Jak zvolit neznámou

Základní veličinu najdeš hned ZA slovem NEŽ. Ostatní se k ní vztahují („dvakrát těžší nebo o 4 kg těžší než ona").
Obvykle je to ta nejmenší nebo základní veličina.
Tuto veličinu označ x - ostatní z ní pak snadno vyjádříš.

Zkusme to na větě:

„Druhý pytel je dvakrát těžší NEŽ první, třetí o 4 kg těžší NEŽ první."

za „NEŽ" stojí první pytel

to je základní veličina, k ní se ostatní vztahují

první pytel je základ

zvolíme x = hmotnost prvního pytle

Nejchytřejší volba: zvol za x rovnou to, na co se úloha ptá - na konci pak nic nedopočítáváš a hned odpovíš.

Jak postavit rovnici

Najdi ve větě „rovná se". Prozradí ho slova jako celkem, je nebo NEŽ - na jejich místo přijde znaménko =.
Rozděl větu na dvě strany. Co je ve větě před tímto slovem, napiš vlevo od =; co je za ním, napiš vpravo.
Dorovnání dej na opačnou stranu. Údaj jako dvakrát více nebo o polovinu méně se počítá u veličiny na druhé straně, než u které je ve větě napsaný.

Ukažme si to na větě:

„Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek NEŽ Bára."

Adam + Cyril = 2 · Bára

NEŽ ukazuje, kam patří =

nejdříve zapiš =

Adama a Cyrila

dej na levou stranu

Báru

dej na pravou stranu

„dvakrát více"

vyrovnáme rovnici - „dvakrát více" je u Adama a Cyrila, takže ho musíme přidat na druhou stranu k Báře

Příklad 1: Adam, Bára a Cyril sbírají samolepky. Adam jich má nejméně. Bára má o polovinu více samolepek než Adam a Cyril o 8 více než Adam. Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více než Bára. Kolik samolepek má Adam?

Volba neznámé: zvol si rozumně neznámou, my zvolíme třeba x = počet Adamových samolepek - Adam má nejméně a ostatní se k němu vztahují („než Adam").

Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.

Příklad 2: Máme tři stuhy. Druhá je dvakrát delší než první. První je o třetinu kratší než třetí. Dohromady měří 90 cm. Jak dlouhá je první stuha?

Volba neznámé: zvol si rozumně neznámou, my zvolíme třeba x = délku první stuhy - ostatní se k ní vztahují. (Pozor: u třetí stuhy je vztah obrácený.)

Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.

Příklad 3: Do cirkusu přišlo 250 diváků - dospělí a děti. Dospělý zaplatil 120 Kč, dítě 80 Kč. Celkem se vybralo 24 000 Kč. Kolik bylo dospělých?

Volba neznámé: zvol si rozumně neznámou, my zvolíme třeba x = počet dospělých; děti jsou pak zbytek (250 − x). (Klidně můžeš zvolit i x = počet dětí - vyjde totéž.)

Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.

Příklad 4: Tatáž úloha s cirkusem z předešlého příkladu (250 diváků, vstupné 120/80 Kč, celkem 24 000 Kč) jde vyřešit i dvěma neznámými.

Volba neznámých: když nechceš počítat „zbytek 250 − x", zvol rovnou dvě neznámé: x = počet dospělých a y = počet dětí - a sestav soustavu dvou rovnic.

I tady jsme za neznámou x vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá (dospělí) → na konci hned odpovíš.

Příklad 5: Klára nasbírala kaštany. První den použila třetinu z nich, druhý den darovala tři čtvrtiny ze zbývajících kaštanů. Zůstalo jí 20 kaštanů. Kolik kaštanů nasbírala?

Volba neznámé: zvol si rozumně neznámou, my zvolíme třeba x = počet nasbíraných kaštanů (celek) - z něj vyjádříš, kolik postupně ubylo.

Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.

Jak zvolit neznámou

Základní veličinu najdeš hned ZA slovem NEŽ. Ostatní se k ní vztahují („dvakrát těžší nebo o 4 kg těžší než ona").
Obvykle je to ta nejmenší nebo základní veličina.
Tuto veličinu označ x - ostatní z ní pak snadno vyjádříš.

Zkusme to na větě:

„Druhý pytel je dvakrát těžší NEŽ první, třetí o 4 kg těžší NEŽ první."

za „NEŽ" stojí první pytel

to je základní veličina, k ní se ostatní vztahují

první pytel je základ

zvolíme x = hmotnost prvního pytle

Nejchytřejší volba: zvol za x rovnou to, na co se úloha ptá - na konci pak nic nedopočítáváš a hned odpovíš.

Jak řešit slovní úlohu rovnicí

Zvol si neznámou x - označ jí veličinu, ke které se ostatní vztahují (často tu nejmenší nebo základní).
Vyjádři každou další veličinu na základě x:

„čtvrtina z x" →

„o polovinu více" →

„o 8 více" →

„dvakrát více" →
Sestav rovnici - nejčastěji z toho, co dává dohromady celek (třeba „dohromady 60 kg").
Vyřeš rovnici a napiš odpověď na otázku.

Jak postavit rovnici

Najdi ve větě „rovná se". Prozradí ho slova jako celkem, je nebo NEŽ - na jejich místo přijde znaménko =.
Rozděl větu na dvě strany. Co je ve větě před tímto slovem, napiš vlevo od =; co je za ním, napiš vpravo.
Dorovnání dej na opačnou stranu. Údaj jako dvakrát více nebo o polovinu méně se počítá u veličiny na druhé straně, než u které je ve větě napsaný.

Ukažme si to na větě:

„Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek NEŽ Bára."

Adam + Cyril = 2 · Bára

NEŽ ukazuje, kam patří =

nejdříve zapiš =

Adama a Cyrila

dej na levou stranu

Báru

dej na pravou stranu

„dvakrát více"

vyrovnáme rovnici - „dvakrát více" je u Adama a Cyrila, takže ho musíme přidat na druhou stranu k Báře

Příklad 1: Adam, Bára a Cyril sbírají samolepky. Adam jich má nejméně. Bára má o polovinu více samolepek než Adam a Cyril má o 8 samolepek více než Adam. Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více než Bára. Kolik samolepek má Adam?

1. Volba neznámé

Zvol si rozumně neznámou, my zvolíme x = počet Adamových samolepek - Adam má nejméně a ostatní se k němu vztahují („než Adam").

Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.

2. Vyjádříme počty samolepek pomocí x

Adam:

Bára: o polovinu více než Adam

Cyril: o 8 více než Adam

Kdy je u čísla x?

„o polovinu více" je polovina z x, proto ½·x (ne jen ½).

8 je konkrétní počet kusů, ne část x, proto se přičte bez x.

3. Sestavíme rovnici

Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek než Bára:

Adam + Cyril = 2 · Bára

Jak z věty vznikne tahle rovnice? Koukni do vysvětlení „Jak postavit rovnici" nad příkladem.

Za jména dosadíme výrazy s x:

4. Vyřešíme rovnici

Odpověď: Adam má 8 samolepek (Bára 12, Cyril 16).

Těžší varianta: obrácený vztah „kratší než"

Příklad 2: Tři svíčky hořely různě dlouho. První svíčka hořela 60 minut. Druhá hořela o třetinu kratší dobu než první. První svíčka hořela o třetinu kratší dobu než třetí. Jak dlouho hořela druhá a třetí svíčka?

Tady neznámou volit nemusíme - první svíčku už známe (60 min), zbylé dvě jen dopočítáme.

Přímo, nebo obrátit?

Rozhoduje, co stojí za slovem než, co je základ:

Druhá svíčka je o třetinu kratší než první. Za „než" je první svíčka (60 min) - tu už známe, počítáme přímo: druhá jsou dvě třetiny z 60 min.

20

20

20

první = 60 min (3 třetiny), druhá = 2 třetiny = 40 min
První svíčka je o třetinu kratší než třetí. Za „než" je třetí, kterou teprve hledáme - vztah je obrácený. První svíčka (60 min) je známé číslo. První jsou dvě třetiny třetí, takže třetí je tři poloviny první.

30

30

30

první = 2 třetiny (60 min) → 1 třetina = 30 min → třetí = 90 min

Druhá svíčka (dvě třetiny z 60)

Třetí svíčka (tři poloviny z 60 - obrácený vztah)

Odpověď: Druhá svíčka hořela 40 minut, třetí 90 minut.

Další varianta: celek rozdělený na dvě části

Příklad 3: Do cirkusu přišlo 250 diváků - dospělí a děti. Dospělý zaplatil za vstupenku 120 Kč, dítě 80 Kč. Celkem se vybralo 24 000 Kč. Kolik bylo dospělých?

1. Volba neznámé

Zvol si rozumně neznámou, my zvolíme x = počet dospělých; děti jsou pak zbytek (250 − x). (Klidně můžeš zvolit i x = počet dětí - vyjde totéž.)

Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.

2. Vyjádříme počty pomocí x

dospělí:

děti: zbytek do 250

Celek na dvě části

Mezi diváky jsou jen dvě skupiny: dospělí a děti, dohromady 250. Když je dospělých x, děti jsou zbytek do 250:

dospělí = x

děti = 250 − x

← dohromady 250 →

Sedí to: ✓

3. Sestavíme rovnici

Vstupné dospělých (120 Kč každý) a dětí (80 Kč každé) je dohromady 24 000 Kč:

120 · dospělí + 80 · děti = 24 000

Dosadíme (dospělí = x, děti = 250 − x):

4. Vyřešíme rovnici

Odpověď: Dospělých bylo 100 (dětí 150).

Další varianta: dvě věci - jednu vyjádříme na základě druhé

Příklad 4: Ve stánku prodávají malé a velké perníčky. Velkých prodali třikrát více než malých. Malý perníček stojí 20 Kč, velký 30 Kč. Dohromady utržili 660 Kč. Kolik malých perníčků prodali?

1. Volba neznámé

Zvol si rozumně neznámou, my zvolíme x = počet malých perníčků - velkých je „třikrát více než malých", takže se vztahují k malým.

Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.

2. Vyjádříme počty pomocí x

malé: 20 Kč za kus

velké: 30 Kč za kus třikrát více než malých, takže 3x

3. Sestavíme rovnici

Tržba za malé (20 Kč každý) a za velké (30 Kč každý) je dohromady 660 Kč:

20 Kč · malé + 30 Kč · velké = 660

Dosadíme (malé = x, velké = 3x):

4. Vyřešíme rovnici

Odpověď: Malých perníčků prodali 6 (velkých 18).

Zrádná varianta: zlomek se bere ze zbytku

Příklad 5: Klára nasbírala kaštany. První den použila třetinu z nich na zvířátka. Druhý den darovala tři čtvrtiny ze zbývajících kaštanů kamarádovi. Zůstalo jí 20 kaštanů. Kolik kaštanů nasbírala?

1. Volba neznámé

Zvol si rozumně neznámou, my zvolíme x = počet nasbíraných kaštanů (celek) - z něj vyjádříš, kolik postupně ubylo.

Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.

2. Vyjádříme počty pomocí x

1. den použila: třetina z celku

zbylo: celek − třetina

2. den darovala: tři čtvrtiny ZE ZBYTKU - viz karta

zůstalo: 20 kaštanů

Ze zbytku, ne z celku!

Druhý den bere Klára tři čtvrtiny z toho, co zbylo (⅔ x), ne z celého x. Právě tady se skoro vždy chybuje:

✗ takhle ne: (to jsou tři čtvrtiny z celku)

✓ správně: (tři čtvrtiny ze zbytku ⅔ x)

3. Sestavíme rovnici

Celek − použité − darované = zůstatek:

4. Vyřešíme rovnici

Odpověď: Klára nasbírala 120 kaštanů.

Jak vyřešit slovní úlohu

Postup

Přečti si úlohu pozorně - klidně dvakrát. Musíš rozumět každému slovu.
Zapiš si, co víš a co hledáš. Uděláš si přehledný zápis (viz záložka Zápis úlohy).
Vyber si cestu k výsledku - pokus-omyl (tipuj a kontroluj), nebo chytrou úvahu.
Spočítej to.
Odpověz celou větou.

Pozor na pasti: slovo „méně" nemusí vždy znamenat odčítání a „více" ne vždy sčítání - vždy si to promysli. A někdy je v úloze číslo navíc, které vůbec nepotřebuješ.

Dvě cesty k výsledku

Pokus-omyl

Tipuješ jedno číslo a zkontroluješ, jestli zapadá do všech vztahů a čísel v příkladu. Pokud čísla neodpovídají příkladu, tipované číslo zvětšíš nebo zmenšíš a znovu ověříš. Tento postup opakuješ tak dlouho, dokud tvoje číslo nezapadne do všech čísel a vztahů v příkladu. Zvládne ho každý.

Úvaha - chytré řešení

Chytře domyslíš výsledek rovnou, bez tipování. Je rychlejší, ale těžší - chce to cvik. Musíš to vymyslet.

Obě cesty vedou ke stejnému výsledku. Klidně začni pokusem-omylem - a časem zkoušej i úvahu.

Příklad 1: V půjčovně jsou jen koloběžky a tříkolky, dohromady 20 dopravních prostředků. Koloběžka má 2 kolečka, tříkolka má 3 kolečka.
Všechny dopravní prostředky mají dohromady 47 koleček. Kolik je koloběžek a kolik tříkolek?

Zápis

dopravních prostředků celkem20

koleček celkem47

koloběžka2 kolečka

tříkolka3 kolečka

Co hledáme:

kolik je koloběžek a kolik tříkolek

Řešení

Pokus-omyl - tipuji tříkolky - třeba 10

tříkolky	koloběžky	koleček celkem	je jich 47?
počet tříkolek	počet koloběžek	počet tříkolek · 3 kolečka + počet koloběžek · 2 kolečka = celkem koleček
10	10		50 ≠ 47 moc – o 3 ↓ uber tříkolky
5	15		45 ≠ 47 málo – o 2 ↑ přidej tříkolky
7	13		47 = 47 to je ono ✓

Úvaha - chytré řešení

Kdyby všech 20 dopravních prostředků byly koloběžky, měly by dohromady koleček.

Jenže jich je 47 - to je koleček navíc.

Každá tříkolka má o 1 kolečko víc než koloběžka, takže těch 7 koleček navíc udělalo 7 tříkolek.

Zbytek jsou koloběžky: .

Odpověď: V půjčovně je 7 tříkolek a 13 koloběžek.

Příklad 2: Kuba a Lucka si rozdělili 300 korun. Kuba dostal o 60 korun víc než Lucka.
Kolik korun dostal každý?

Zápis

dohromady300 Kč

Kuba má víc o60 Kč

Co hledáme:

kolik korun má Kuba a kolik Lucka

Řešení

Úsečkový nákres

Lucka

Kuba

stejně jako Lucka

o 60 víc

obě úsečky dohromady = 300 Kč

Kdyby Kuba dostal stejně jako Lucka, bylo by to o 60 korun míň: Kč.

To jsou dvě stejné modré části, jednu dostaneme dělením dvěma: Kč - to má Lucka.

Kuba má o 60 víc: Kč.

Pokus-omyl - tipuji, kolik má Lucka, třeba 100 Kč

Lucka	Kuba	dohromady	je to 300?
Lucka	Kuba	Lucka + Kuba = dohromady
100	160		260 ≠ 300 málo – o 40 ↑ přidej Lucce
150	210		360 ≠ 300 moc – o 60 ↓ uber Lucce
120	180		300 = 300 to je ono ✓

Odpověď: Lucka dostala 120 Kč a Kuba 180 Kč.

Příklad 3: Adéla měla nálepky. Dvě pětiny nálepek dala Báře, jednu pětinu Kubovi a zůstalo jí 12 nálepek.
Kolik nálepek měla Adéla na začátku?

Zápis

dala Báře nálepek

dala Kubovi nálepek

zůstalo12 nálepek

Co hledáme:

kolik nálepek měla Adéla na začátku

Řešení

Rozdělení na části

Celek rozdělíme na 5 stejných částí - pětin. Pětiny, které známe, vyškrtneme - a na ty, co zbudou, přiřadíme počet.

nálepky

Báře

Kubovi

zůstalo

rozdáno (vyškrtnuto) · zůstaly = 12 nálepek

Rozdané pětiny vyškrtneme: rozdáno nálepek.

Zůstaly - a to je těch 12 nálepek.

Na jednu pětinu tedy připadá nálepek.

Celek je 5 pětin: nálepek.

Pokus-omyl - tipuji celkový počet, třeba 20

celkem	rozdáno	zůstalo	je to 12?
celkem	tři pětiny z celku	celkem − rozdáno = zůstalo
20			8 ≠ 12 málo – o 4 ↑ přidej
40			16 ≠ 12 moc – o 4 ↓ uber
30			12 = 12 to je ono ✓

Odpověď: Adéla měla na začátku 30 nálepek.

Krychle

Krychle je těleso ohraničené 6 shodnými čtvercovými stěnami. Všech 12 hran je stejně dlouhých (délku hrany značíme a) a má 8 vrcholů.

Povrch

Součet obsahů všech 6 stěn (kolik papíru na obalení). Každá stěna je čtverec o obsahu a · a = a² a stěn je 6:

Rozložená síť

Když krychli rozstřihneme podél hran a rozložíme, dostaneme síť ze 6 shodných čtverců. Povrch = obsah celé této sítě.

Objem

Kolik se do krychle vejde uvnitř - počítáme krychličky 1×1×1. V jedné vrstvě je a · a krychliček a vrstev nad sebou je a:

Povrch je plocha POVRCHU tělesa (cm²) - můžeme si na něj sáhnout, objem je prostor UVNITŘ (cm³) - nepleť si je.

Krychle

Povrch - součet obsahů všech 6 čtvercových stěn: S = 6 · a².

Příklad 1: Vypočítej povrch krychle s hranou a = 5 cm.

6 stejných stěn a×a

Jiný postup - spočítej obsah jedné stěny S₁ a vynásob 6 (všech 6 stěn je stejných):

Síť - 6× stěna S₁

Odpověď: Povrch krychle je 150 cm².

Objem - kolik se do krychle vejde: V = a · a · a = a³. Je to počet krychliček 1×1×1, které krychli vyplní.

Příklad 2: Vypočítej objem krychle s hranou a = 5 cm.

krychličky 1×1×1

Jiný postup - nejdřív spočítej obsah podstavy S, pak vynásob výškou v (V = S · v):

podstava S a výška v

Odpověď: Objem krychle je 125 cm³.

Kvádr

Kvádr má 6 stěn tvaru obdélníku, protější stěny jsou vždy shodné. Rozměry značíme a (délka), b (šířka) a c (výška). Má 8 vrcholů a 12 hran.

Povrch

Součet obsahů všech 6 stěn. Stěny tvoří 3 dvojice shodných obdélníků - a·b, b·c a a·c - každou 2×:

Rozložená síť

Rozložením kvádru vznikne síť ze 3 dvojic shodných obdélníků - a·b, b·c a a·c. Povrch = obsah celé sítě.

Objem

Kolik se do kvádru vejde uvnitř. Spočítáme obsah podstavy (a · b) a vynásobíme výškou c:

Krychle je zvláštní kvádr, který má všechny hrany stejné (a = b = c).

Kvádr

Povrch - součet obsahů 3 dvojic stěn: S = 2 · (a·b + b·c + a·c).

Příklad 1: Vypočítej povrch kvádru s rozměry a = 6 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.

3 dvojice stěn

Jiný postup - spočítej obsah tří různých stěn S₁, S₂, S₃ zvlášť a pak je sečti (každá stěna je v kvádru 2×):

Síť - stěny S₁, S₂, S₃

Odpověď: Povrch kvádru je 148 cm².

Objem - obsah podstavy krát výška: V = a · b · c.

Příklad 2: Vypočítej objem kvádru s rozměry a = 6 cm, b = 4 cm, c = 5 cm.

podstava × výška

Jiný postup - nejdřív spočítej obsah podstavy S (= a · b), pak vynásob výškou v (V = S · v):

podstava S a výška v

Odpověď: Objem kvádru je 120 cm³.

Válec

Válec má dvě shodné kruhové podstavy (poloměr r) spojené zakřiveným pláštěm. Výška v je vzdálenost obou podstav. Počítáme s π ≐ 3,14.

Povrch

Součet dvou podstav a pláště. Podstavy jsou kruhy (2πr²). Plášť je po rozvinutí obdélník o rozměrech obvod podstavy (2πr) × výška v:

Rozložená síť

Rozložením válce vznikne síť: dvě kruhové podstavy a obdélníkový plášť. Delší strana obdélníku = obvod podstavy (2πr). Povrch = obsah celé sítě.

Objem

Kolik se do válce vejde uvnitř. Spočítáme obsah kruhové podstavy (πr²) a vynásobíme výškou v:

Poloměr a výšku dosazuj ve stejných jednotkách (cm). Průměr d = 2 · r.

Válec

Povrch - dvě podstavy a plášť: S = 2·π·r² + 2·π·r·v (počítáme s π ≐ 3,14).

Příklad 1: Vypočítej povrch válce s poloměrem r = 5 cm a výškou v = 10 cm.

2 podstavy + plášť

Jiný postup - spočítej ze sítě zvlášť podstavu S₁ a plášť S₂, pak sečti (podstavy jsou 2×): S = 2 · S₁ + S₂:

Síť - podstavy S₁, plášť S₂

Odpověď: Povrch válce je přibližně 471 cm².

Objem - obsah podstavy krát výška: V = π · r² · v (počítáme s π ≐ 3,14).

Příklad 2: Vypočítej objem válce s poloměrem r = 5 cm a výškou v = 10 cm.

podstava × výška

Jiný postup - nejdřív spočítej obsah podstavy S (= π · r²), pak vynásob výškou v (V = S · v):

podstava S a výška v

Odpověď: Objem válce je přibližně 785 cm³.

Kolmý hranol

Kolmý hranol má dvě shodné podstavy (mnohoúhelníky) spojené kolmými bočními stěnami (jsou kolmé na podstavu). Výška v je vzdálenost podstav. Objem i povrch počítáme přes obsah podstavy S_p. (Krychle i kvádr jsou taky kolmé hranoly.)

Podstava

Podstava našeho hranolu je obdélník s vyříznutým rohem. Její obsah spočítáme jako velký obdélník mínus malý výřez:

Objem

Objem = obsah podstavy krát výška:

Povrch

Povrch = dvě podstavy (dole a nahoře) + plášť. Plášť = všechny boční stěny sečtené (každá je obdélník: hrana podstavy krát výška):

Postup je vždy stejný: 1. spočítej obsah podstavy, 2. objem = podstava · výška, povrch = 2 podstavy + plášť.

Kolmý hranol

Povrch - dvě podstavy + plášť (všechny boční stěny): S = 2·S_p + S_pl.

Příklad 1: Kolmý hranol má podstavu ve tvaru obdélníku 6 × 5 cm s výřezem 2 × 3 cm v rohu a výšku v = 4 cm. Vypočítej jeho povrch.

podstavy + plášť

Odpověď: Povrch hranolu je 136 cm².

Objem - obsah podstavy krát výška: V = S_p · v.

Příklad 2: Stejný hranol (podstava obdélník 6 × 5 cm s výřezem 2 × 3 cm, výška v = 4 cm). Vypočítej jeho objem.

podstava · výška

Odpověď: Objem hranolu je 96 cm³.

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

Zapamatuj si:

1) Přímá úměrnost - „čím více, tím více".Dvakrát víc rohlíků → dvakrát vyšší cena.

2) Nepřímá úměrnost - „čím více, tím méně".Dvakrát víc dělníků → poloviční čas.

Jak poznám, která úměrnost to je?

Postup krok za krokem

Procenta trojčlenkou

Sleva dvakrát za sebou

Procenta přes 1 %

Sleva dvakrát za sebou - přes 1 %

Procenta pomocí vzorců

Sleva dvakrát za sebou - vzorcem

Co je poměr

Rozdělení v poměru

Měřítko mapy

Měřítko trojčlenkou

Sčítání a odčítání mnohočlenů

Násobení a dělení mnohočlenů

Roznásobování

Vytýkání před závorku: Rozložte na součin vytýkáním

Příklady na vzorce

Speciální případy

Počítání se zlomky

Počítání s desetinnými čísly

Počítání s mocninami: pozor na závorku u záporných čísel

Počítání s odmocninami

Co je zlomek

Slovní názvy zlomků

Řešené příklady

Kolik je zlomek z počtu

Řešené příklady

Zlomky v grafu a diagramu

Řešený příklad

Názvy operací

Slovní obraty - pozor na záměnu!

Řešené příklady

Znaky dělitelnosti

Ciferný součet (3, 9) a dělitelnost 6

Řešené příklady

Dělitel a násobek

Jak najít všechny dělitele

Řešené příklady

Prvočíslo a složené číslo

Rozklad na prvočísla

Řešené příklady

Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek

Jak je najít (přes rozklad na prvočísla)

Kdy použít Největší společný dělitel a kdy Nejmenší společný násobek

Řešené příklady

Převody jednotek délky

Převody jednotek obsahu: mezi sousedy je vždy 100

Převody jednotek objemu