Geometrie v rovině (výpočty) - 9. ročník

Na obrázku je trojúhelník ABC.

Přímka o je osou jeho vnitřního úhlu při vrcholu B.

Přímka q prochází vrcholem C a je kolmá ke straně AB tohoto trojúhelníku.

Na straně AB leží střed S kružnice k opsané trojúhelníku ABC.

Velikosti některých úhlů jsou uvedeny v obrázku.

Rovnoramenný trojúhelník KLM se základnou LM délky 16 cm má obvod 50 cm.

Kruh o poloměru 10 cm je rozdělen na tři shodné bílé části a tři shodné šedé části jako na obrázku.

Délky dvou stran trojúhelníku ABC jsou a = 7 cm, b = 30 cm. Obvod trojúhelníku ABC v cm je vyjádřen celým číslem.

První šestiúhelník se skládá ze dvou shodných bílých rovnostranných trojúhelníků a dvou šedých trojúhelníků. Oba šedé trojúhelníky jsou shodné.

Trojúhelníky přeskládáme do druhého šestiúhelníku (viz obrázek).

Nejdelší strana šedého trojúhelníku měří 10 cm.

Obvod prvního šestiúhelníku je 40 cm a obvod druhého šestiúhelníku je 46 cm.

V náčrtku pravidelného pětiúhelníku ABCDE jsou vyznačeny dvě z jeho os souměrnosti o₁, o₂, jejich průsečík S, úsečka AD a velikosti některých úhlů (viz obrázek).

Obdélník ABCD je složen z bílého a šedého obdélníku jako na obrázku.

Obvod obdélníku ABCD je 68 cm a délka strany BC je 10 cm.

Obvod šedého obdélníku je o 12 cm větší než obvod bílého obdélníku.

Na obrázku je plánek pozemku, na kterém se nachází dům a rybníček.

Pozemek má tvar čtverce s délkou strany c = 30 m.

Světle šedý obdélník představuje půdorys domu a tmavší obrazec představuje rybníček.

Půdorys domu má pětkrát menší obsah, než je celková rozloha pozemku.

V rovině leží přímky p, q, r, které se protínají v bodě R, a přímky s, t, pro které platí: s ∥ r, s ⊥ t.

Záhon v parku má tvar čtyřúhelníku, jehož tři strany jsou stejně dlouhé. Každá z těchto tří stran je o čtvrtinu kratší, než je čtvrtá strana čtyřúhelníku.

Po obvodu záhonu je ve stejných rozestupech vysázeno celkem 65 rostlin, z nichž je po jedné rostlině i v každém rohu záhonu. Rozestupy mezi rostlinami měří 40 cm.

Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).

Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.

V rovině leží dva shodné rovnoramenné trojúhelníky a přímka p rovnoběžná se základnou jednoho z nich.

Druhý trojúhelník má právě jedno rameno rovnoběžné s ramenem prvního trojúhelníku.

Celá podlaha chodby je vydlážděna stejnými dlaždicemi tvaru čtverce se stranou délky 20 cm.

Každá dlaždice je ozdobena čtvrtkruhem a malým kruhem jako na obrázku vlevo. Dlaždice se pokládaly pravidelně ve čtveřicích jako na obrázku vpravo, přičemž se začalo v rohu chodby celou touto čtveřicí.

Na hřišti je podle plánku vymezen uzavřený okruh, v němž na sebe navazuje 5 rovných úseků. Některé sousední úseky jsou na sebe kolmé (viz obrázek).

Jirka prošel celý okruh stejně dlouhými kroky a do plánku si zaznamenal jejich počet na prvních čtyřech úsecích.

V obdélníku ABCD leží na straně CD bod X.

Přímka o₁ je osa úhlu BAX a přímka o₂ je osa úhlu AXB.

Velikosti některých úhlů jsou vyznačeny v obrázku.

Ze čtverce o straně délky 12 cm odstřihneme dva shodné trojúhelníky (viz obrázek vlevo).

Vznikne tak rovnoramenný lichoběžník, jehož kratší základna má délku 2 cm.

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD má pravý úhel při vrcholu B.

Základna AB má délku 40 cm, základna CD délku 28 cm a úhlopříčka AC délku 41 cm.

Šedý obrazec je ohraničen úsečkou délky 20 cm a dvěma shodnými čtvrtkružnicemi.

V rovině leží přímky p, q a r, jejichž průsečíky tvoří vrcholy trojúhelníku ABC.

Jsou dány úhly β = 23° a δ = 107°.

Obrazec je možné rozstříhat na 7 shodných rovnoramenných trojúhelníků.

Obvod jednoho takového trojúhelníku je 30 cm.

Máme shodné čtverce A a B. Čtverec A je rozdělen na dva shodné obdélníky, čtverec B na pět shodných obdélníků.

Obvod jednoho ze dvou obdélníků ve čtverci A je o 6 cm větší než obvod jednoho z pěti obdélníků ve čtverci B.

Adam a Ota jdou z místa A do místa C. Každý jde jinou cestou tak, jak je vyznačeno na obrázku. Adam jde z místa A do místa C po rovných silnicích přes místo B. Ota jde zkratkou přímo z A do C.

Čtyřúhelník ABCD je takový lichoběžník se základnami AB a CD, že úsečka BD je jeho výška.

Pro délky stran platí: |AD| = 17 cm, |BD| = 8 cm, obsah trojúhelníku BCD je $S_{BCD}$ = 24 cm².

V rovině leží přímky k, l, m a n. Průsečíky přímek k, l a m tvoří vrcholy trojúhelníku ABC.

Bodem B prochází také přímka n.

Ve čtvercové síti je zakreslen šedý obrazec – půlkruh s průměrem AB. Body A a B leží v mřížových bodech. Délka strany čtverce ve čtvercové síti je 2 cm.

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD a s pravým úhlem při vrcholu D je úhlopříčkou AC rozdělen na dva trojúhelníky ABC a ACD.

Pro délky stran platí: |AB| = 16 cm, |CD| = 6 cm. Obsah trojúhelníku ABC je 64 cm².

V parku jsou 3 okrasné záhony. První a třetí záhon o stejné velikosti mají tvar čtvrtkruhu, druhý záhon má tvar kruhu. Každý ze tří záhonů má obsah 314 dm².

Trojúhelník ABC je vymezen třemi různoběžkami a, b, c. Přímky a a c svírají úhel 130° a velikosti úhlů α a γ jsou v poměru 2:3.

Přímky p, r a s se protínají v jednom bodě.

Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB, CD má pravý úhel při vrcholu C.
Některé rozměry lichoběžníku jsou uvedeny v obrázku.

Čtvercový pozemek má stejný obvod jako obdélníkový pozemek.

Obdélníkový pozemek má jednu stranu o 25 % kratší než čtvercový pozemek a druhou stranu o 10 m delší než čtvercový pozemek.

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.

Obdélník se stranami délek 8 cm a 3 cm se skládá ze čtyř shodných trojúhelníků (viz obrázek).

Přemístěním trojúhelníků vznikl kosočtverec.

V rovině leží rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB.

Bod S je střed základny AB a prochází jím rovnoběžka s přímkou AC.

Pětiúhelník ABCDE se skládá z rovnoramenného, rovnostranného a pravoúhlého trojúhelníku.

Základnou rovnoramenného trojúhelníku je strana AB.

Strany BC a AE pětiúhelníku jsou rovnoběžné.

Velký obdélník lze rozdělit na dva shodné menší obdélníky nebo na dva čtverce.

Obvod jednoho z menších obdélníků je 30 cm.

Přímka p prochází vrcholy A, B trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ.

Bodem B prochází rovnoběžka se stranou AC.

V rovině leží čtyři vzájemně různoběžné přímky.

Tři z nich procházejí bodem A.

Papír tvaru kruhu se středem S a poloměrem 10 cm byl rozstříhán na 5 shodných výsečí dle obrázku.

Bílý čtverec má obsah 9 cm²,

černá plocha uvnitř čtverce KLMN má obsah 16 cm²

a šedá plocha uvnitř čtverce ABCD má obsah 56 cm².

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.

Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami.

Tloušťku desek zanedbáváme.

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné a zbývající dvě jsou na sebe kolmé.

Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků. (S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru.)

Tmavý čtverec má obsah 144 cm², což je polovina obsahu celého obrazce.

Jeden trojúhelník má obsah 30 cm². Délka kratší základny lichoběžníku je 9 cm.

Čtyřúhelník je rozdělen na dva tmavé rovnostranné trojúhelníky,

jeden bílý čtyřúhelník a jeden bílý trojúhelník.

V rovině leží přímka AB a rovnoběžník ABCD.

Rovnoběžník má vnitřní úhly o velikostech α, δ.

Pravoúhlý lichoběžník ABCD je úsečkou DP délky 12 cm rozdělen na čtverec PBCD

a trojúhelník APD. Obsah trojúhelníku APD je 6krát menší než obsah čtverce PBCD.

Z lichoběžníku ABCD oddělíme šedý trojúhelník ABC.

V rovině leží rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB, rovnostranný trojúhelník BEC a polopřímky AB, CD.

Z celých dlaždic tvaru obdélníku o rozměrech 18 cm a 8 cm je sestaven nejmenší možný čtverec. Z každého ze čtyř rohů tohoto čtverce odebereme po jedné dlaždici a dostaneme nový útvar.

(Jedna strana čtverce je rovnoběžná s delšími stranami všech dlaždic.)

V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.

V pravoúhlém lichoběžníku ABCD se základnou AB platí: |AB| = 15 cm, |CD| = 10 cm, |AD| = 12 cm, |∠BAD| = 90°.

Obdélník ABCD má stranu BC délky 8 cm. Na straně CD leží bod E.

Obdélník je rozdělen úsečkami BE a BD na tři trojúhelníky.

Obsahy trojúhelníků BCE a BED jsou stejné, a to 24 cm².

V rovnoramenném trojúhelníku ABC má vnitřní úhel při základně AB velikost 70°.

Na straně AC leží vrchol D rovnoramenného trojúhelníku ABD se základnou AD.

Uvnitř trojúhelníku je vyznačen úhel φ s rameny BC a BD.

Obdélník ABCD je možné rozdělit na čtyři shodné čtverce v jedné řadě.

V každém čtverci je tmavý kruh, který se dotýká všech stran tohoto čtverce.

Obvod jednoho tmavého kruhu je o = π · 9 cm.

Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 12 cm a 6 cm je dvěma úsečkami rovnoběžnými s kratší odvěsnou rozdělen na tři rovinné útvary.

Úsečky rozdělily delší odvěsnu na tři úseky délek 6 cm, 4 cm a 2 cm.

Na úsečce AB leží bod D, na polopřímce AE bod C.

Úsečky AC, CD a BD mají stejnou délku d.

Obsah pravoúhlého trojúhelníku ABC je 96 cm².

Délka odvěsny BC je 12 cm.

Z místa A do místa B šla Iva přímou cestou dlouhou 2 km. Dan šel z místa A do místa B vycházkovou trasou, která má tvar půlkružnice.

Čtverec se stranou délky 17 cm je rozdělen na šedý šestiúhelník a dva shodné bílé trojúhelníky.

Nejdelší strana bílého trojúhelníku má délku 17 cm.

Nejkratší strana šedého šestiúhelníku měří 2 cm.

Nájezdová rampa sestavená ze čtyř dřevotřískových desek je přistavena ke schodu.

Nakloněnou čtvercovou desku rampy podpírají tři stejné trojúhelníkové desky.

Hloubka rampy je 12 dm a výška rampy je 5 dm.

Čtverec je rozdělen čtyřmi svislými úsečkami a jednou vodorovnou úsečkou na 10 shodných malých obdélníků. Každý z malých obdélníků má obvod 42 cm.

Cesty v bludišti jsou složeny z rovných úseků zakreslených silnými čarami, všechny křižovatky jsou pravoúhlé. Přímá vzdálenost bodů A, B je 13 m.

Čísla představují délky úseků v metrech.

První obrazec je tvořen dvěma bílými čtverci a jedním tmavým čtvercem.

Obvod bílého čtverce je dvakrát menší než obvod tmavého čtverce. Obvod celého prvního obrazce je 96 cm.

Druhý i třetí obrazec se skládá ze dvou prvních obrazců.

Přímky a, b, c se protínají v jednom bodě, přímka d tímto bodem neprochází.

Pro vnitřní úhly trojúhelníku ABC platí:

$\alpha : \beta = 5 : 3, \alpha : \gamma = 1 : 2$.

Traktor najel na přímé silnici zadním kolem na tubu s červenou barvou. Tuba se zaklínila do pneumatiky a praskla. Traktor pak na silnici vytvořil každých 252 cm maličkou červenou skvrnu.

Čtyřúhelník ABCD je osově souměrný podle osy o.

Úhlopříčky AC a BD se protínají v bodě P.

Platí: $|CP| = 12 \text{ cm}; |BP| = 16 \text{ cm}; |AD| = 13 \text{ cm}$.

Nad dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce.

Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm².

Velikost výšky $v_c$ na stranu AB je 3 cm.

Pata P výšky $v_c$ dělí stranu AB v poměru 2 : 1.

Strana AC je delší než strana BC.

Na kružnici k, jejíž délka je 20π cm, leží vrcholy čtverce ABCD.
Čtverec je rozdělen na dva trojúhelníky a lichoběžník DBEF.
Délka úsečky BD je dvojnásobkem délky úsečky EF.

Rovinný obrazec ABCDE je osově souměrný podle osy o procházející bodem B.

Obdélník ABCD lze rozdělit na šest shodných pravoúhlých trojúhelníků. Přemístěním jediného trojúhelníku lze vytvořit lichoběžník EFGH.

Strana trojúhelníku délky 8 cm je současně výškou lichoběžníku. Rameno lichoběžníku měří 10 cm.

Model vozidla má na každé straně za sebou tři kolečka s poloměrem 1 cm, přes která je natažen pás.

Vzdálenost středů každých dvou sousedních koleček na téže straně vozidla je 3 cm.

Čtyřúhelník ABCD je složen ze dvou pravoúhlých trojúhelníků ABD a BCD.

Pro délky stran platí: |AD| = 3 cm, |BC| = 12 cm, |BD| = 5 cm.

Na kružnici k s poloměrem r = 5 cm (r = |SA|) leží vrcholy obdélníku ABCD.

Delší strana obdélníku měří 8 cm.

Obdélník ABCD je rozdělen na tři útvary – rovnoběžník a dva shodné trojúhelníky. Platí:

$|AD| = 3 \text{ cm}, |DE| = \sqrt{13} \text{ cm}, |BE| = 5 \text{ cm}$

Čtyřúhelník ABCD je rovnoběžník. Úhel α je jeho vnitřní úhel při vrcholu A.

Obrazec je složen ze čtverce a rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky 6 cm a 4 cm. Výška obrazce je 10 cm.

Domeček na obrázku je složen ze čtverce a pravoúhlého trojúhelníku.

Navzájem kolmé strany trojúhelníku měří 6 cm a 8 cm.

Ze čtverce se středem S byl vystřižen kruh s největším možným poloměrem.
Obvod kruhu je o = π · 10 cm.

Úhlopříčky AC a BD čtyřúhelníku ABCD se protínají v bodě P a jsou na sebe kolmé.

Vzdálenosti průsečíku P od jednotlivých vrcholů A, B, C, D jsou 1 cm, 2 cm, 3 cm a 4 cm.

Úhlopříčky AC a BD čtyřúhelníku ABCD se protínají v bodě P a jsou na sebe kolmé.

Vzdálenosti průsečíku P od jednotlivých vrcholů A, B, C, D jsou 1 cm, 2 cm, 3 cm a 4 cm.

V obdélníku ABCD s obsahem 48 cm² je vybarveno jedno pole čtvercové sítě.

Obdélník je částečně zakryt trojúhelníkem CDE.

Uvnitř čtverce je sestrojen trojúhelník, jehož jedna strana je současně stranou čtverce.

Přemístěním trojúhelníku k protější straně čtverce vznikne nový obrazec.
Obvod čtverce je 40 cm a obvod trojúhelníku 25 cm.

Kružnice je vytvořena z drátu délky 30 cm. Z tohoto drátu se vytvaruje obdélník, jehož sousední strany mají délky v poměru 3 : 2.

Ornament je složen z jednoho čtverce a čtyř tmavých půlkruhů.

Obsah čtverce je 4 cm².

Ve čtvercové síti je vyznačena vyhlídková cesta se čtyřmi zastávkami (1.–4.).

Start a cíl vyhlídkové cesty je v jednom místě (M). Cesta od startu (M) k první zastávce (1.) měří 80 m.

Z 16 shodných rovnostranných trojúhelníků jsou sestaveny dva různé obrazce.

Úhel β v trojúhelníku ABC má velikost 60°. Velikosti zbývajících úhlů jsou v poměru 1 : 2.