Geometrie v prostoru (výpočty) - 9. ročník

První i druhý pravidelný čtyřboký hranol mají podstavnou hranu délky a = 3 cm.
První hranol má o 72 cm² větší povrch než druhý hranol.

Z krychle o hraně délky 10 cm byly vyříznuty čtyři shodné malé krychličky o hraně délky 2 cm. Vzniklo tak nové těleso (viz obrázek).

Slepením šedé krychle s povrchem 54 cm² a bílého hranolu vznikne velký hranol ABCDEFGH (viz obrázek).

Nejdelší hrana bílého hranolu je o polovinu delší než hrana šedé krychle.

Na bílé krychli ABCDEFGH jsme vyznačili středy M, N hran AB a FG.

Na třech stěnách krychle jsme zakreslili šedé pravoúhlé lichoběžníky MBFE, BCNF a HEFN (viz obrázek).

Ostatní stěny krychle zůstaly celé bílé.

Na obrázku je síť hranolu, který má podstavy tvaru kosočtverce a boční stěny tvaru čtverce. Obsah jedné podstavy je 15 cm².

Součet délek všech hran hranolu je 60 cm.

Zahradní sud má tvar rotačního válce. Dno sudu má obsah 1 500 cm².

Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.

Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.

Bazén má délku 40 metrů a šířku 10 metrů. Hloubka bazénu není všude stejná (viz obrázek).

V celé zóně pro neplavce je hloubka 1 m. Zóna pro plavce má šikmé dno a hloubka bazénu se v ní postupně zvětší z 1 m na 2 m.

Ze shodných bílých a šedých krychliček byla sestavena krychle tak, že v každé řadě i v každém sloupci jsou 4 krychličky.

Šedé krychličky byly umístěny vždy podél jedné ze dvou úhlopříček každé stěny krychle (viz obrázek).

Všechny zbývající krychličky v krychli jsou bílé.

Na výrobu dortu byly použity dvě různé formy tvaru rotačního válce.

Poloměr podstavy první formy je 8 cm a poloměr podstavy druhé formy je o čtvrtinu menší. Výška obou forem je stejná, a to 5 cm.

Dvoupatrový dort je složen z většího a menšího korpusu. Každý korpus má stejný objem jako forma, v níž byl upečen.

Na každé stěně krychle je vždy jedna úhlopříčka celá přelepena pěti shodnými šedými čtverci tak, že sousední čtverce mají právě jeden společný vrchol (viz obrázek).

Nepolepená část každé stěny je bílá. Součet obsahů všech bílých nepolepených ploch na povrchu krychle je 480 cm².

Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.

Součet délek všech hran malé krychle je 36 cm.

Skleněné těžítko má tvar rotačního válce s poloměrem podstavy 10 cm a výškou 12 cm. Vnější část těžítka je z čirého skla, uvnitř je část z modrého skla, která má také tvar rotačního válce, a to s poloměrem podstavy 5 cm a výškou 8 cm.

Dvě válcové nádoby A a B mají stejnou výšku v = 20 cm. Nádoba A má průměr podstavy d₁ = 10 cm, nádoba B má průměr podstavy d₂ = 20 cm. Nádoba A je naplněna až po okraj vodou, nádoba B je prázdná.

Krychle má délku hrany 3 dm. Krychli rozdělíme vodorovným řezem na dva shodné hranoly a vytvoříme nové těleso.

Vnitřní prostor haly má tvar kvádru ABCDEFGH, jehož výška je 6 m a délka 15 m.

Uvnitř haly je na podlaze, stropě a dvou stěnách vyznačena uzavřená lomená čára ACFHA.

Úhlopříčka vyznačená na podlaze haly měří 17 m a tvoří úsek AC této lomené čáry.

Obsah pláště rotačního válce je třikrát větší než obsah jedné podstavy tohoto válce.

Poloměr podstavy válce je 10 cm.

Dort tvaru rotačního válce leží na kruhovém tácu. (Průměr podstavy dortu je větší než výška dortu, ale menší než průměr tácu.)

Dort jsme rozdělili svislým řezem na dvě stejné poloviny.

Trojboký hranol je položen na jedné boční stěně.

Podstavu hranolu tvoří rovnoramenný trojúhelník, který má základnu délky 24 cm a obsah 60 cm².

Velikost v výšky na základnu tohoto trojúhelníku je stejná jako délka nejkratší hrany hranolu.

Rotační válec má výšku 12 cm.

Odstraněním čtyř částí vytvoříme z tohoto válce kvádr s rozměry 8 cm, 6 cm a 12 cm.

Všechny hrany kvádru leží na povrchu válce.

Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu je 144 cm².

Obsah pláště tohoto hranolu je dvakrát větší než obsah jedné jeho čtvercové podstavy.

(Plášť tohoto hranolu tvoří čtyři shodné boční stěny.)

Kvádr s podstavou o rozměrech 6 cm a 8 cm a výškou 10 cm lze dvěma svislými úhlopříčnými řezy rozdělit na čtyři trojboké hranoly s výškou 10 cm.

Odebráním jednoho z trojbokých hranolů vznikne z kvádru pětiboký hranol jako na obrázku vpravo.

Domeček je vytvořen z pravidelného čtyřbokého hranolu a kolmého trojbokého hranolu. Oba hranoly mají jednu stěnu společnou.

Rozměry čtyřbokého hranolu jsou x, x a 20 cm.

Podstavou trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 6 cm a 8 cm.

Ze tří stejných dřevěných krychlí byl slepen čtyřboký hranol, jehož síť má obsah 126 cm².

Reklamní plochu pro vylepování plakátů tvoří plášť rotačního válce.

Podstava válce má poloměr 50 cm.

Plakát, který přesně pokryje celou reklamní plochu, má tvar čtverce.

Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.

Z těchto trojbokých hranolů vybereme ten, který má největší objem.

Penál má tvar rotačního válce.

Poloměr podstavy válce je 5 cm a výška válce 20 cm.

Obě podstavy válce jsou bílé a plášť válce je tmavý.

Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm.

Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.

Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.

Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm. Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.

Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.

Síť kolmého čtyřbokého hranolu se skládá ze dvou shodných čtverců

a obdélníku s rozměry 40 cm a 8 cm (viz náčrt obrysu sítě).

Válcovací stroj se pohyboval v přímém směru vpřed. Jeho přední rotační válec vykonal při tomto pohybu 200 otáček (bez prokluzu).

Přední rotační válec má průměr podstavy 0,5 m a zanechává za sebou uválcovaný pás široký 0,8 m.
(Jedna otáčka je otočení kolem osy válce o 360°.)

Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm.

Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.

Výška hranolu je 8 cm.

Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm.

Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.

Výška hranolu je 8 cm.

Všechny díly stavebnice jsou pravidelné čtyřboké hranoly s rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.

Ve stavbě, která má podobu tří spojených kvádrů, jsou jednotlivé díly naskládány bez mezer tak, aby stavba obsahovala co největší počet stojících dílů. Stojící díl má dole čtvercovou stěnu, ležící díl nikoli.

Podstavou kolmého pětibokého hranolu je pětiúhelník o obvodu 20 cm a obsahu 24 cm².

Všechny hrany hranolu mají stejnou délku.

Škrabací sloupek pro kočky má tvar rotačního válce.

Válec má výšku 50 cm a jeho podstava má průměr 14 cm.

Obě podstavy jsou bílé, plášť válce je šedý.

(Za π dosazujte $\dfrac{22}{7}$.)

Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCDEF je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek a = 9 cm a b = 12 cm.

Obsah největší boční stěny ABED je 300 cm².

V krychli mají každé dvě sousední stěny jednu společnou hranu.

V síti krychle mohou být některé sousední stěny krychle odděleny. Pak tutéž hranu krychle představují dvě různé úsečky sítě (označené tmavými kolečky).

Krychle byla slepena z 27 malých bílých krychliček o hraně délky 2 cm.

Dvě malé krychličky jsme odstranili, a vzniklo tak nové těleso. Všechny dostupné plochy nového tělesa jsme obarvili na šedo (i zespodu).

Rotační válec s podstavou o poloměru 5 cm stojící na vodorovné podložce jsme svislými řezy rozdělili na čtyři shodná nová tělesa.

Povrch válce byl šedý (včetně podstav), ale všechny nové plochy vytvořené rozříznutím jsou bílé.

Součet obsahů obou bílých ploch na jednom z nových těles je 80 cm².

Uvnitř papírového kvádru je ukryto několik dřevěných krychliček s hranou délky 3,9 cm. Síť tohoto kvádru je zobrazena na plánku ve čtvercové síti.

Papírový obdélník s rozměry 18 cm x 5 cm se beze zbytku použije na zhotovení kvádru.

Obdélník se rozstříhá na jednotlivé stěny kvádru (tj. podstavy i boční stěny). Stříhat se smí jen v naznačeném směru – rovnoběžném s kratší stranou původního obdélníku.

Z nastříhaných stěn se složí kvádr tak, aby se papír nikde nepřekrýval, a po hranách se spojí lepicí páskou.

Kolmý hranol, jehož podstavy tvoří pravoúhlé trojúhelníky, má stejný objem jako kvádr.

Dřevěný kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 5 cm má hmotnost 50 g. V kvádru byl vytvořen skrz naskrz otvor tvaru krychle s hranou délky 4 cm.
(Rozměry tělesa uvedené v obrázku jsou v cm.)

Dřevěný kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 5 cm má hmotnost 50 g. V kvádru byl vytvořen skrz naskrz otvor tvaru krychle s hranou délky 4 cm.
(Rozměry tělesa uvedené v obrázku jsou v cm.)

Nádrž s vodou má tvar kvádru. Rozměry nádrže jsou uvedeny v obrázku.

Zahrádkář naplnil vodou z nádrže 15 prázdných dvanáctilitrových konví, a hladina vody v nádrži tak klesla.

Krabici tvaru kvádru lze naplnit až po okraj krychličkami s délkou hrany 2 cm. Na dno krabice se do jedné vrstvy naskládá bez mezer 20 krychliček a takové vrstvy mohou být v krabici nejvýše 4.

Ze zcela naplněné krabice vyjmeme všechny krychličky a vytvoříme z nich jedinou řadu.

Krabici tvaru kvádru lze naplnit až po okraj krychličkami s délkou hrany 2 cm. Na dno krabice se do jedné vrstvy naskládá bez mezer 20 krychliček a takové vrstvy mohou být v krabici nejvýše 4.

Ze zcela naplněné krabice vyjmeme všechny krychličky a vytvoříme z nich jedinou řadu.

Kvádr má čtvercovou podstavu. Obsah podstavy je 64 cm². Výška kvádru je 4krát kratší než hrana a.

Kvádr má čtvercovou podstavu o obsahu 25 cm². Obsah boční stěny je o 5 cm² větší než obsah podstavy.

Krychle o hraně 10 cm je rozpůlena na dva shodné kvádry.

Některé z bodů vyznačených v síti kvádru představují ve složeném kvádru jeden a týž vrchol.

Např. dva různé body 0 a E sítě kvádru představují ve složeném kvádru stejný vrchol.

Válec s podstavou o obsahu 8 dm² má objem 120 litrů. Z válce zcela naplněného vodou se 40 litrů vody odebralo.