CERMAT úlohy na téma „Geometrie v rovině (výpočty)". Zadání a vyhodnocení zdarma; postup řešení ve zkušební verzi.
Na obrázku je trojúhelník ABC.
Přímka o je osou jeho vnitřního úhlu při vrcholu B.
Přímka q prochází vrcholem C a je kolmá ke straně AB tohoto trojúhelníku.
Na straně AB leží střed S kružnice k opsané trojúhelníku ABC.
Velikosti některých úhlů jsou uvedeny v obrázku.
Vypočtěte ve stupních velikost úhlu
8.1 φ,
8.2 α.
{{note}}Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
Rovnoramenný trojúhelník KLM se základnou LM délky 16 cm má obvod 50 cm.
Jaký je obsah trojúhelníku KLM?
Kruh o poloměru 10 cm je rozdělen na tři shodné bílé části a tři shodné šedé části jako na obrázku.
7.1 Určete, kolikrát je obsah jedné bílé části kruhu větší než obsah jedné šedé části.
7.2 Vypočtěte v cm obvod jedné bílé části kruhu.
Výsledek zaokrouhlete na desetiny centimetru.
Délky dvou stran trojúhelníku ABC jsou a = 7 cm, b = 30 cm. Obvod trojúhelníku ABC v cm je vyjádřen celým číslem.
Určete, kolik cm musí měřit strana c trojúhelníku ABC, aby byl jeho obvod
8.1 nejmenší možný,
8.2 největší možný.
První šestiúhelník se skládá ze dvou shodných bílých rovnostranných trojúhelníků a dvou šedých trojúhelníků. Oba šedé trojúhelníky jsou shodné.
Trojúhelníky přeskládáme do druhého šestiúhelníku (viz obrázek).
Nejdelší strana šedého trojúhelníku měří 10 cm.
Obvod prvního šestiúhelníku je 40 cm a obvod druhého šestiúhelníku je 46 cm.
Určete v cm
6.1 délku jedné strany bílého rovnostranného trojúhelníku,
6.2 obvod šedého trojúhelníku.
V náčrtku pravidelného pětiúhelníku ABCDE jsou vyznačeny dvě z jeho os souměrnosti o₁, o₂, jejich průsečík S, úsečka AD a velikosti některých úhlů (viz obrázek).
Vypočtěte ve stupních velikost úhlu
8.1 φ,
8.2 ω.
{{note}}Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
Obdélník ABCD je složen z bílého a šedého obdélníku jako na obrázku.
Obvod obdélníku ABCD je 68 cm a délka strany BC je 10 cm.
Obvod šedého obdélníku je o 12 cm větší než obvod bílého obdélníku.
Vypočtěte
6.1 v cm délku strany AB obdélníku ABCD,
6.2 v cm² obsah šedého obdélníku.
Na obrázku je plánek pozemku, na kterém se nachází dům a rybníček.
Pozemek má tvar čtverce s délkou strany c = 30 m.
Světle šedý obdélník představuje půdorys domu a tmavší obrazec představuje rybníček.
Půdorys domu má pětkrát menší obsah, než je celková rozloha pozemku.
5.1 Délka domu a je rovna polovině délky strany pozemku c.
Určete šířku domu b.
5.2 Rozloha rybníčku představuje 18 % celkové rozlohy pozemku.
Vypočtěte v m² rozlohu volné části pozemku, na níž není ani dům, ani rybníček.
V rovině leží přímky p, q, r, které se protínají v bodě R, a přímky s, t, pro které platí: s ∥ r, s ⊥ t.
Vypočtěte ve stupních velikost úhlu
7.1 α,
7.2 β,
7.3 γ.
{{note}}Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
Záhon v parku má tvar čtyřúhelníku, jehož tři strany jsou stejně dlouhé. Každá z těchto tří stran je o čtvrtinu kratší, než je čtvrtá strana čtyřúhelníku.
Po obvodu záhonu je ve stejných rozestupech vysázeno celkem 65 rostlin, z nichž je po jedné rostlině i v každém rohu záhonu. Rozestupy mezi rostlinami měří 40 cm.
8.1 Vypočtěte v metrech obvod záhonu.
8.2 Určete, o kolik se liší počet rostlin na nejdelší straně záhonu od počtu rostlin na protější straně záhonu.
8.3 Po obvodu záhonu se pravidelně střídají stejně početné skupinky červeně kvetoucích rostlin s dvojicemi bíle kvetoucích rostlin.
Určete nejmenší možný počet červeně kvetoucích rostlin po obvodu záhonu.
Velký pravoúhlý lichoběžník, jehož rozměry jsou uvedeny na obrázku vlevo, jsme jednou úsečkou rozdělili na menší lichoběžník a rovnoběžník (obrázek vpravo).
Oba tyto nové útvary (menší lichoběžník a rovnoběžník) mají stejný obvod.
Vypočtěte
8.1 v cm² obsah velkého pravoúhlého lichoběžníku,
8.2 v cm obvod velkého pravoúhlého lichoběžníku,
8.3 v cm obvod rovnoběžníku.
V rovině leží dva shodné rovnoramenné trojúhelníky a přímka p rovnoběžná se základnou jednoho z nich.
Druhý trojúhelník má právě jedno rameno rovnoběžné s ramenem prvního trojúhelníku.
Jaká je velikost úhlu α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
Celá podlaha chodby je vydlážděna stejnými dlaždicemi tvaru čtverce se stranou délky 20 cm.
Každá dlaždice je ozdobena čtvrtkruhem a malým kruhem jako na obrázku vlevo. Dlaždice se pokládaly pravidelně ve čtveřicích jako na obrázku vpravo, přičemž se začalo v rohu chodby celou touto čtveřicí.
8.1 Vypočtěte v cm² obsah jednoho malého kruhu.
Výsledek zaokrouhlete na celé cm².
8.2 Podlaha chodby má tvar obdélníku s rozměry 2 m a 3,2 m.
(Dlaždice jsou položeny těsně vedle sebe, šířku spár zanedbáváme.)
Určete, o kolik se liší počet malých a velkých kruhů na podlaze chodby.
Na hřišti je podle plánku vymezen uzavřený okruh, v němž na sebe navazuje 5 rovných úseků. Některé sousední úseky jsou na sebe kolmé (viz obrázek).
Jirka prošel celý okruh stejně dlouhými kroky a do plánku si zaznamenal jejich počet na prvních čtyřech úsecích.
Kolika kroky prošel Jirka poslední úsek okruhu?
V obdélníku ABCD leží na straně CD bod X.
Přímka o₁ je osa úhlu BAX a přímka o₂ je osa úhlu AXB.
Velikosti některých úhlů jsou vyznačeny v obrázku.
Jaká je velikost úhlu α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
Ze čtverce o straně délky 12 cm odstřihneme dva shodné trojúhelníky (viz obrázek vlevo).
Vznikne tak rovnoramenný lichoběžník, jehož kratší základna má délku 2 cm.
8.1 Určete, o kolik cm² je obsah čtverce větší než obsah lichoběžníku.
8.2 Vypočtěte v cm obvod lichoběžníku.
Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L.
Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
11.1
11.2
11.3
Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).
Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.
Vypočtěte v metrech
16.1 rozdíl mezi délkami úseček BK a BL,
16.2 délku kratší strany hřiště,
16.3 obvod hřiště,
16.4 vzdálenost stanoviště D od vrcholu N.
Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD má pravý úhel při vrcholu B.
Základna AB má délku 40 cm, základna CD délku 28 cm a úhlopříčka AC délku 41 cm.
6.1 Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD.
Výsledek uveďte v cm².
6.2 Vypočítejte délku ramene AD.
Výsledek uveďte v cm.
Šedý obrazec je ohraničen úsečkou délky 20 cm a dvěma shodnými čtvrtkružnicemi.
8.1 Vypočítejte obsah šedého obrazce.
Výsledek uveďte v cm² a zaokrouhlete ho na celé cm².
8.2 Vypočítejte obvod šedého obrazce.
Výsledek uveďte v cm a zaokrouhlete ho na celé cm.
V rovině leží přímky p, q a r, jejichž průsečíky tvoří vrcholy trojúhelníku ABC.
Jsou dány úhly β = 23° a δ = 107°.
Jaká je velikost rozdílu úhlů γ – α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).
Obrazec je možné rozstříhat na 7 shodných rovnoramenných trojúhelníků.
Obvod jednoho takového trojúhelníku je 30 cm.
Jaký je obvod obrazce?
Máme shodné čtverce A a B. Čtverec A je rozdělen na dva shodné obdélníky, čtverec B na pět shodných obdélníků.
Obvod jednoho ze dvou obdélníků ve čtverci A je o 6 cm větší než obvod jednoho z pěti obdélníků ve čtverci B.
Jaký je obvod jednoho ze čtverců A nebo B?
Adam a Ota jdou z místa A do místa C. Každý jde jinou cestou tak, jak je vyznačeno na obrázku. Adam jde z místa A do místa C po rovných silnicích přes místo B. Ota jde zkratkou přímo z A do C.
O kolik procent je Adamova cesta delší než cesta, kterou jde Ota?
Čtyřúhelník ABCD je takový lichoběžník se základnami AB a CD, že úsečka BD je jeho výška.
Pro délky stran platí: |AD| = 17 cm, |BD| = 8 cm, obsah trojúhelníku BCD je = 24 cm².
6.1 Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD.
Výsledek uveďte v cm².
6.2 Vypočítejte obvod lichoběžníku ABCD.
Výsledek uveďte v cm.
V rovině leží přímky k, l, m a n. Průsečíky přímek k, l a m tvoří vrcholy trojúhelníku ABC.
Bodem B prochází také přímka n.
Jaká je velikost úhlu α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).
Ve čtvercové síti je zakreslen šedý obrazec – půlkruh s průměrem AB. Body A a B leží v mřížových bodech. Délka strany čtverce ve čtvercové síti je 2 cm.
Jaký je obsah šedé části?
Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB a CD a s pravým úhlem při vrcholu D je úhlopříčkou AC rozdělen na dva trojúhelníky ABC a ACD.
Pro délky stran platí: |AB| = 16 cm, |CD| = 6 cm. Obsah trojúhelníku ABC je 64 cm².
6.1 Vypočítejte výšku lichoběžníku ABCD.
Výsledek uveďte v cm.
6.2 Vypočítejte obsah lichoběžníku ABCD.
Výsledek uveďte v cm².
V parku jsou 3 okrasné záhony. První a třetí záhon o stejné velikosti mají tvar čtvrtkruhu, druhý záhon má tvar kruhu. Každý ze tří záhonů má obsah 314 dm².
7.1 Vypočítejte obvod druhého (kruhového) záhonu.
Výsledek uveďte v celých metrech.
7.2 Vypočítejte poloměr r jednoho z čtvrtkruhových záhonů.
Výsledek uveďte v celých metrech.
Trojúhelník ABC je vymezen třemi různoběžkami a, b, c. Přímky a a c svírají úhel 130° a velikosti úhlů α a γ jsou v poměru 2:3.
8.1 Vypočítejte velikost vnitřního úhlu γ při vrcholu C.
8.2 Vypočítejte rozdíl α − β vnitřních úhlů α a β.
{{note}}Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).
Přímky p, r a s se protínají v jednom bodě.
Jaký je součet úhlů α + β + γ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočítejte (obrázek je ilustrační).
Pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnami AB, CD má pravý úhel při vrcholu C.
Některé rozměry lichoběžníku jsou uvedeny v obrázku.
Vypočtěte v cm²
6.1 obsah trojúhelníku ABD,
6.2 obsah lichoběžníku ABCD.
Čtvercový pozemek má stejný obvod jako obdélníkový pozemek.
Obdélníkový pozemek má jednu stranu o 25 % kratší než čtvercový pozemek a druhou stranu o 10 m delší než čtvercový pozemek.
Délku strany čtvercového pozemku označíme a.
8.1 Vyjádřete výrazem s proměnnou a délku kratší strany obdélníkového pozemku.
8.2 Vypočtěte v metrech délku a strany čtvercového pozemku.
8.3 Vypočtěte, o kolik m² se liší obsahy obdélníkového a čtvercového pozemku.
Vnitřní prostor haly má tvar kvádru ABCDEFGH, jehož výška je 6 m a délka 15 m.
Uvnitř haly je na podlaze, stropě a dvou stěnách vyznačena uzavřená lomená čára ACFHA.
Úhlopříčka vyznačená na podlaze haly měří 17 m a tvoří úsek AC této lomené čáry.
Jaká je délka lomené čáry ACFHA?
V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.
Jaká je velikost úhlu β?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Obdélník se stranami délek 8 cm a 3 cm se skládá ze čtyř shodných trojúhelníků (viz obrázek).
Přemístěním trojúhelníků vznikl kosočtverec.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Obsah kosočtverce je větší než obsah obdélníku.
11.2 Strana kosočtverce měří 5 cm.
11.3 Výška kosočtverce měří 4,8 cm.
V rovině leží rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou AB.
Bod S je střed základny AB a prochází jím rovnoběžka s přímkou AC.
Jaký je součet φ + ω?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Rotační válec má výšku 12 cm.
Odstraněním čtyř částí vytvoříme z tohoto válce kvádr s rozměry 8 cm, 6 cm a 12 cm.
Všechny hrany kvádru leží na povrchu válce.
Vypočtěte
7.1 v cm poloměr podstavy válce.
7.2 v cm³ objem válce.
Výsledek zaokrouhlete na desítky cm³.
Pětiúhelník ABCDE se skládá z rovnoramenného, rovnostranného a pravoúhlého trojúhelníku.
Základnou rovnoramenného trojúhelníku je strana AB.
Strany BC a AE pětiúhelníku jsou rovnoběžné.
Jaká je velikost úhlu ω?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).
V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem.
Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.
Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar
8.1 z útvaru B,
8.2 z útvaru C.
{{note}}V každé části úlohy najděte obě řešení.
Velký obdélník lze rozdělit na dva shodné menší obdélníky nebo na dva čtverce.
Obvod jednoho z menších obdélníků je 30 cm.
Jaký je obvod velkého obdélníku?
Přímka p prochází vrcholy A, B trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ.
Bodem B prochází rovnoběžka se stranou AC.
Jaká je velikost úhlu γ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
2.1 Obdélník má šířku 8 cm a obsah 4 dm².
Vypočtěte, o kolik cm se liší délka a šířka obdélníku.
2.2 Vypočtěte, kolikrát větší je objem 1,2 dm³ než objem 300 mm³.
6.2 objem pravidelného čtyřbokého hranolu.
V rovině leží čtyři vzájemně různoběžné přímky.
Tři z nich procházejí bodem A.
Jaká je velikost úhlu α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Papír tvaru kruhu se středem S a poloměrem 10 cm byl rozstříhán na 5 shodných výsečí dle obrázku.
Jaký je obvod jedné výseče?
Výsledek je zaokrouhlen na celé cm.
Bílý čtverec má obsah 9 cm²,
černá plocha uvnitř čtverce KLMN má obsah 16 cm²
a šedá plocha uvnitř čtverce ABCD má obsah 56 cm².
Vypočtěte v cm
8.1 délku strany KL,
8.2 obvod čtverce ABCD.
V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.
Jaká je velikost úhlu α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Poličku na zeď tvoří tmavá obdélníková deska podepřená dvěma stejnými bílými trojúhelníkovými deskami.
Tloušťku desek zanedbáváme.
8.1 Tmavý obdélník má obsah 270 cm² a jeho kratší strana měří 9 cm.
Vypočtěte v cm obvod obdélníku.
8.2 Oba bílé trojúhelníky jsou pravoúhlé. V trojúhelníku má jedna odvěsna délku 9 cm a nejdelší strana měří 15 cm.
Vypočtěte v cm² obsah jednoho trojúhelníku.
V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné a zbývající dvě jsou na sebe kolmé.
Jaká je velikost úhlu β?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Obrazec se skládá z tmavého čtverce, dvou shodných bílých rovnoramenných trojúhelníků a dvou shodných bílých lichoběžníků. (S každou stranou čtverce splývá základna jednoho bílého útvaru.)
Tmavý čtverec má obsah 144 cm², což je polovina obsahu celého obrazce.
Jeden trojúhelník má obsah 30 cm². Délka kratší základny lichoběžníku je 9 cm.
Vypočtěte v cm
8.1 výšku na základnu rovnoramenného trojúhelníku,
8.2 výšku lichoběžníku.
Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C. Každý z nich má pouze jednu osu souměrnosti.
V každém útvaru přemístíme jediný tmavý čtverec tak, aby měl upravený útvar co nejvíce různých os souměrnosti (sestrojených svisle, vodorovně nebo šikmo).
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Správně upravený útvar A má pouze 2 osy souměrnosti.
11.2 Správně upravený útvar B má pouze 2 osy souměrnosti.
11.3 Správně upravený útvar C má pouze 1 osu souměrnosti.
Čtyřúhelník je rozdělen na dva tmavé rovnostranné trojúhelníky,
jeden bílý čtyřúhelník a jeden bílý trojúhelník.
Jaká je velikost úhlu φ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm. Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.
Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.
Jaký je objem slepeného tělesa?
V rovině leží přímka AB a rovnoběžník ABCD.
Rovnoběžník má vnitřní úhly o velikostech α, δ.
Jaká je velikost úhlu δ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Pravoúhlý lichoběžník ABCD je úsečkou DP délky 12 cm rozdělen na čtverec PBCD
a trojúhelník APD. Obsah trojúhelníku APD je 6krát menší než obsah čtverce PBCD.
Z lichoběžníku ABCD oddělíme šedý trojúhelník ABC.
Jaký je obvod šedého trojúhelníku ABC?
2.2 Čtyřúhelník lze rozdělit na dva rovnoramenné trojúhelníky o obsahu S₁ = 1 200 cm² a S₂ = 0,2 m², nebo na dva shodné trojúhelníky, každý o obsahu S₃.
Vypočtěte v dm² obsah S₃.
8.2 v cm obvod menšího trojúhelníku (AB₁C₁),
8.3 v cm² obsah většího trojúhelníku (AB₂C₂).
V rovině leží rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB, rovnostranný trojúhelník BEC a polopřímky AB, CD.
Jaká je velikost úhlu φ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Z celých dlaždic tvaru obdélníku o rozměrech 18 cm a 8 cm je sestaven nejmenší možný čtverec. Z každého ze čtyř rohů tohoto čtverce odebereme po jedné dlaždici a dostaneme nový útvar.
(Jedna strana čtverce je rovnoběžná s delšími stranami všech dlaždic.)
Vypočtěte
8.1 v cm délku strany sestaveného čtverce,
8.2 počet dlaždic v novém útvaru,
8.3 v cm obvod nového útvaru.
V rovině leží čtyři přímky, z nichž dvě jsou rovnoběžné.
Jaká je velikost úhlu α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm.
Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Výška hranolu je 8 cm.
Jaký je povrch šestibokého hranolu?
V pravoúhlém lichoběžníku ABCD se základnou AB platí: |AB| = 15 cm, |CD| = 10 cm, |AD| = 12 cm, |∠BAD| = 90°.
Vypočtěte
8.1 v cm² obsah lichoběžníku ABCD,
8.2 v cm obvod lichoběžníku ABCD.
Jaká je velikost úhlu φ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Obdélník ABCD má stranu BC délky 8 cm. Na straně CD leží bod E.
Obdélník je rozdělen úsečkami BE a BD na tři trojúhelníky.
Obsahy trojúhelníků BCE a BED jsou stejné, a to 24 cm².
Vypočtěte
8.1 v cm² obsah lichoběžníku ABED,
8.2 v cm obvod lichoběžníku ABED.
V rovnoramenném trojúhelníku ABC má vnitřní úhel při základně AB velikost 70°.
Na straně AC leží vrchol D rovnoramenného trojúhelníku ABD se základnou AD.
Uvnitř trojúhelníku je vyznačen úhel φ s rameny BC a BD.
Jaká je velikost úhlu φ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Obdélník ABCD je možné rozdělit na čtyři shodné čtverce v jedné řadě.
V každém čtverci je tmavý kruh, který se dotýká všech stran tohoto čtverce.
Obvod jednoho tmavého kruhu je o = π · 9 cm.
Jaký je obvod obdélníku ABCD?
Jaká je velikost úhlu α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCDEF je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek a = 9 cm a b = 12 cm.
Obsah největší boční stěny ABED je 300 cm².
Jaký je povrch hranolu?
Pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 12 cm a 6 cm je dvěma úsečkami rovnoběžnými s kratší odvěsnou rozdělen na tři rovinné útvary.
Úsečky rozdělily delší odvěsnu na tři úseky délek 6 cm, 4 cm a 2 cm.
Jaký je obsah tmavého útvaru?
Šest obrazců A–F ve čtvercové síti se skládá ze čtverců a trojúhelníků. Všechny vrcholy obrazců jsou v mřížových bodech.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Právě 4 osy souměrnosti má pouze jeden obrazec.
11.2 Právě 1 osu souměrnosti mají pouze 2 obrazce, a to B a F.
11.3 Právě 2 osy souměrnosti mají pouze 2 obrazce.
Na úsečce AB leží bod D, na polopřímce AE bod C.
Úsečky AC, CD a BD mají stejnou délku d.
Jaký je součet úhlů α + β + φ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Obsah pravoúhlého trojúhelníku ABC je 96 cm².
Délka odvěsny BC je 12 cm.
Jaká je délka přepony AB?
Z místa A do místa B šla Iva přímou cestou dlouhou 2 km. Dan šel z místa A do místa B vycházkovou trasou, která má tvar půlkružnice.
8.1 Vypočtěte, kolikrát delší byla cesta Dana než cesta Ivy.
(Výsledek zaokrouhlete na setiny.)
8.2 Vypočtěte, o kolik kilometrů více ušel Dan než Iva.
(Výsledek zaokrouhlete na setiny km.)
Jaká je velikost úhlu α?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Čtverec se stranou délky 17 cm je rozdělen na šedý šestiúhelník a dva shodné bílé trojúhelníky.
Nejdelší strana bílého trojúhelníku má délku 17 cm.
Nejkratší strana šedého šestiúhelníku měří 2 cm.
Jaký je obsah šedého šestiúhelníku?
Nájezdová rampa sestavená ze čtyř dřevotřískových desek je přistavena ke schodu.
Nakloněnou čtvercovou desku rampy podpírají tři stejné trojúhelníkové desky.
Hloubka rampy je 12 dm a výška rampy je 5 dm.
Vypočtěte, kolik dm² dřevotřísky je v hotové rampě použito
7.1 na všechny tři trojúhelníkové desky dohromady.
7.2 na čtvercovou desku.
Čtverec je rozdělen čtyřmi svislými úsečkami a jednou vodorovnou úsečkou na 10 shodných malých obdélníků. Každý z malých obdélníků má obvod 42 cm.
8.1 Vyjádřete v základním tvaru poměr délek sousedních stran jednoho malého obdélníku.
8.2 Vypočtěte v cm délku strany čtverce.
Kolik je α + β?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Cesty v bludišti jsou složeny z rovných úseků zakreslených silnými čarami, všechny křižovatky jsou pravoúhlé. Přímá vzdálenost bodů A, B je 13 m.
Čísla představují délky úseků v metrech.
Vypočtěte v metrech
8.1 délku vyznačené cesty v bludišti z bodu A do bodu B;
8.2 přímou vzdálenost bodů A, C.
První obrazec je tvořen dvěma bílými čtverci a jedním tmavým čtvercem.
Obvod bílého čtverce je dvakrát menší než obvod tmavého čtverce. Obvod celého prvního obrazce je 96 cm.
Druhý i třetí obrazec se skládá ze dvou prvních obrazců.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Obvod jednoho tmavého čtverce je 48 cm.
11.2 Obvod celého druhého obrazce je 192 cm.
11.3 Obvod celého třetího obrazce je o 48 cm větší než obvod celého druhého obrazce.
Přímky a, b, c se protínají v jednom bodě, přímka d tímto bodem neprochází.
Jaká je velikost úhlu β?
Úhly neměřte, ale vypočtěte.
8.1 Vypočtěte v minutách devítinu úhlu o velikosti 7,5 stupně.
Pro vnitřní úhly trojúhelníku ABC platí:
.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1
11.2
11.3
Jaká je velikost úhlu γ?
Úhly neměřte, ale vypočtěte.
Traktor najel na přímé silnici zadním kolem na tubu s červenou barvou. Tuba se zaklínila do pneumatiky a praskla. Traktor pak na silnici vytvořil každých 252 cm maličkou červenou skvrnu.
V jaké výšce nad zemí je střed zadního kola traktoru?
Výsledek je zaokrouhlen na celé cm.
Čtyřúhelník ABCD je osově souměrný podle osy o.
Úhlopříčky AC a BD se protínají v bodě P.
Platí: .
Jaký je obsah čtyřúhelníku ABCD?
Nad dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce.
Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm².
Velikost výšky na stranu AB je 3 cm.
Pata P výšky dělí stranu AB v poměru 2 : 1.
Strana AC je delší než strana BC.
7.1 Vypočtěte v cm délku strany AB.
7.2 Vypočtěte v cm² obsah čtverce nad stranou AC.
9.1 V pravoúhlém trojúhelníku ABC sestrojte a popište výšky , , .
9.2 V rovině leží přímka AB a mimo ni bod M.
Úsečka AB je přepona c pravoúhlého trojúhelníku ABC.
Bod M leží na kterékoli z jeho tří výšek , , .
Sestrojte chybějící vrchol C trojúhelníku ABC a trojúhelník narýsujte.
Najděte všechna řešení.
(Neuvažujte o řešení, kdy bod M leží vně trojúhelníku.)
V rovině leží polopřímka AX a přímka o.
Bod A je vrchol rovnoramenného lichoběžníku ABCD s osou souměrnosti o.
Vrchol D tohoto lichoběžníku leží na polopřímce AX.
Strany AB a AD mají stejnou délku.
Sestrojte a popište chybějící vrcholy lichoběžníku ABCD a lichoběžník narýsujte.
Na kružnici k, jejíž délka je 20π cm, leží vrcholy čtverce ABCD.
Čtverec je rozdělen na dva trojúhelníky a lichoběžník DBEF.
Délka úsečky BD je dvojnásobkem délky úsečky EF.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Výška lichoběžníku DBEF je 10 cm.
11.2 Lichoběžník DBEF má obsah 75 cm².
11.3 Obsah lichoběžníku DBEF tvoří tři osminy obsahu čtverce ABCD.
Rovinný obrazec ABCDE je osově souměrný podle osy o procházející bodem B.
Jaká je velikost úhlu β?
Úhly neměřte, ale vypočtěte.
Obdélník ABCD lze rozdělit na šest shodných pravoúhlých trojúhelníků. Přemístěním jediného trojúhelníku lze vytvořit lichoběžník EFGH.
Strana trojúhelníku délky 8 cm je současně výškou lichoběžníku. Rameno lichoběžníku měří 10 cm.
7.1 Určete, o kolik cm se liší obvod lichoběžníku EFGH a obvod obdélníku ABCD.
7.2 Vypočtěte v cm délku strany AB obdélníku ABCD.
7.3 Vypočtěte v cm² obsah lichoběžníku EFGH.
8.1 Chlapec klusal po pláži rovnoměrným tempem. Za 1 hodinu tak překonal vzdálenost 7,5 km.
Vypočtěte, kolik metrů uběhl za 2 minuty.
8.2 V trojúhelníku ABC pro velikosti dvou vnitřních úhlů platí: α = β = 45°45′.
Vypočtěte velikost třetího vnitřního úhlu γ.
8.3 Plocha o rozloze 90 000 m² je rozdělena na 36 shodných čtverců.
Určete v metrech délku strany jednoho čtverce.
Model vozidla má na každé straně za sebou tři kolečka s poloměrem 1 cm, přes která je natažen pás.
Vzdálenost středů každých dvou sousedních koleček na téže straně vozidla je 3 cm.
Jaká je délka jednoho pásu?
Výsledek v mm je zaokrouhlen na celé číslo.
Čtyřúhelník ABCD je složen ze dvou pravoúhlých trojúhelníků ABD a BCD.
Pro délky stran platí: |AD| = 3 cm, |BC| = 12 cm, |BD| = 5 cm.
8.1 Vypočtěte v cm délku strany AB.
8.2 Vypočtěte v cm délku strany CD.
8.3 Vypočtěte v cm² obsah čtyřúhelníku ABCD.
Jaká je velikost úhlu δ?
Úhly neměřte, ale vypočtěte.
Na kružnici k s poloměrem r = 5 cm (r = |SA|) leží vrcholy obdélníku ABCD.
Delší strana obdélníku měří 8 cm.
7.1 Vypočtěte délku kružnice a výsledek v cm zaokrouhlete na desetiny.
7.2 Vypočtěte v cm obvod obdélníku ABCD.
Jaká je velikost úhlu β?
Úhel neměřte, ale vypočtěte.
Obdélník ABCD je rozdělen na tři útvary – rovnoběžník a dva shodné trojúhelníky. Platí:
8.1 Vypočtěte v cm² obsah rovnoběžníku EBFD.
8.2 Vypočtěte v cm délku strany AB.
Čtyřúhelník ABCD je rovnoběžník. Úhel α je jeho vnitřní úhel při vrcholu A.
Jaká je velikost úhlu α?
Úhel α neměřte, ale vypočtěte.
Obrazec je složen ze čtverce a rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky 6 cm a 4 cm. Výška obrazce je 10 cm.
Jaký je obsah obrazce?
Domeček na obrázku je složen ze čtverce a pravoúhlého trojúhelníku.
Navzájem kolmé strany trojúhelníku měří 6 cm a 8 cm.
8.1 Vypočtěte obsah trojúhelníku.
8.2 Vypočtěte šířku domečku (s).
Ze čtverce se středem S byl vystřižen kruh s největším možným poloměrem.
Obvod kruhu je o = π · 10 cm.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1–12.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
12.1 Obsah kruhu je π · 25 cm².
12.2 Obsah čtverce je 400 cm².
12.3 Obvod čtverce je 40 cm.
Kolik je α + β?
Úhly neměřte.
Úhlopříčky AC a BD čtyřúhelníku ABCD se protínají v bodě P a jsou na sebe kolmé.
Vzdálenosti průsečíku P od jednotlivých vrcholů A, B, C, D jsou 1 cm, 2 cm, 3 cm a 4 cm.
7.1 Vypočtěte v cm² obsah trojúhelníku BCP.
7.2 Vypočtěte v cm² obsah čtyřúhelníku ABCD.
Úhlopříčky AC a BD čtyřúhelníku ABCD se protínají v bodě P a jsou na sebe kolmé.
Vzdálenosti průsečíku P od jednotlivých vrcholů A, B, C, D jsou 1 cm, 2 cm, 3 cm a 4 cm.
Vypočtěte v cm délku strany CD.
V obdélníku ABCD s obsahem 48 cm² je vybarveno jedno pole čtvercové sítě.
Obdélník je částečně zakryt trojúhelníkem CDE.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Obsah jednoho pole čtvercové sítě je 6 cm².
11.2 Obsah trojúhelníku CDE je třetinou obsahu obdélníku ABCD.
11.3 Obvod obdélníku ABCD je 28 cm.
Jaká je velikost úhlu ?
Uvnitř čtverce je sestrojen trojúhelník, jehož jedna strana je současně stranou čtverce.
Přemístěním trojúhelníku k protější straně čtverce vznikne nový obrazec.
Obvod čtverce je 40 cm a obvod trojúhelníku 25 cm.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Obvod nového obrazce je 50 cm.
11.2 Obsah čtverce je 100 cm².
11.3 Obsah nového obrazce je větší než obsah čtverce.
V pravoúhlém trojúhelníku ABC leží proti přeponě c úhel γ a proti odvěsnám a, b úhly α, β.
Platí: .
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1–12.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
12.1
12.2
12.3
Jaká je velikost úhlu ?
Kružnice je vytvořena z drátu délky 30 cm. Z tohoto drátu se vytvaruje obdélník, jehož sousední strany mají délky v poměru 3 : 2.
Jaký je obsah obdélníku?
Ornament je složen z jednoho čtverce a čtyř tmavých půlkruhů.
Obsah čtverce je 4 cm².
Vypočtěte v cm² obsah jednoho tmavého půlkruhu a výsledek zaokrouhlete na setiny (π ≐ 3,14).
Ve čtvercové síti je vyznačena vyhlídková cesta se čtyřmi zastávkami (1.–4.).
Start a cíl vyhlídkové cesty je v jednom místě (M). Cesta od startu (M) k první zastávce (1.) měří 80 m.
8.1 Vypočtěte délku cesty mezi první a druhou zastávkou.
8.2 Vypočtěte obsah plochy obrazce ohraničeného vyhlídkovou cestou.
Z 16 shodných rovnostranných trojúhelníků jsou sestaveny dva různé obrazce.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1–12.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
12.1 V jednom obrazci jsou úhlopříčky na sebe kolmé.
12.2 Obvod prvního obrazce je menší než obvod druhého obrazce.
12.3 Obsahy obou obrazců jsou stejné.
Úhel β v trojúhelníku ABC má velikost 60°. Velikosti zbývajících úhlů jsou v poměru 1 : 2.
Jakou velikost má nejmenší vnitřní úhel trojúhelníku ABC?