CERMAT úlohy na téma „Geometrie v prostoru (výpočty)". Zadání a vyhodnocení zdarma; postup řešení ve zkušební verzi.
První i druhý pravidelný čtyřboký hranol mají podstavnou hranu délky a = 3 cm.
První hranol má o 72 cm² větší povrch než druhý hranol.
O kolik cm se liší výšky obou hranolů?
Z krychle o hraně délky 10 cm byly vyříznuty čtyři shodné malé krychličky o hraně délky 2 cm. Vzniklo tak nové těleso (viz obrázek).
Jaký je povrch nového tělesa?
Slepením šedé krychle s povrchem 54 cm² a bílého hranolu vznikne velký hranol ABCDEFGH (viz obrázek).
Nejdelší hrana bílého hranolu je o polovinu delší než hrana šedé krychle.
Vypočtěte
7.1 v cm délku hrany šedé krychle,
7.2 v cm³ objem velkého hranolu ABCDEFGH.
Na bílé krychli ABCDEFGH jsme vyznačili středy M, N hran AB a FG.
Na třech stěnách krychle jsme zakreslili šedé pravoúhlé lichoběžníky MBFE, BCNF a HEFN (viz obrázek).
Ostatní stěny krychle zůstaly celé bílé.
7.1 Zapište zlomkem v základním tvaru, jakou část plochy přední stěny tvoří šedý lichoběžník MBFE.
7.2 Na povrchu celé krychle je část plochy šedá a část bílá.
Určete poměr obsahu šedé plochy ku obsahu bílé plochy.
Poměr zapište v základním tvaru.
Na obrázku je síť hranolu, který má podstavy tvaru kosočtverce a boční stěny tvaru čtverce. Obsah jedné podstavy je 15 cm².
Součet délek všech hran hranolu je 60 cm.
Jaký je objem hranolu?
Zahradní sud má tvar rotačního válce. Dno sudu má obsah 1 500 cm².
6.1 Při dešti stoupla hladina vody v sudu o 10 mm.
Vypočtěte, kolik litrů vody přibylo v sudu během tohoto deště.
6.2 Při silném lijáku v sudu přibyly 3 litry vody.
Vypočtěte, o kolik mm stoupla hladina vody v sudu během tohoto silného lijáku.
Základní kvádr má délky hran 1 cm, 2 cm a 3 cm.
Každé z následujících těles bylo slepeno ze dvou základních kvádrů.
Čtyřboké hranoly jsou označeny písmeny M, N a další tělesa písmeny P, Q, R.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Součet délek všech hran jednoho základního kvádru je 24 cm.
11.2 Povrchy hranolů M a N se liší o 6 cm².
11.3 Všechna tři tělesa P, Q, R mají stejný povrch.
Bazén má délku 40 metrů a šířku 10 metrů. Hloubka bazénu není všude stejná (viz obrázek).
V celé zóně pro neplavce je hloubka 1 m. Zóna pro plavce má šikmé dno a hloubka bazénu se v ní postupně zvětší z 1 m na 2 m.
Jaký je objem bazénu?
Ze shodných bílých a šedých krychliček byla sestavena krychle tak, že v každé řadě i v každém sloupci jsou 4 krychličky.
Šedé krychličky byly umístěny vždy podél jedné ze dvou úhlopříček každé stěny krychle (viz obrázek).
Všechny zbývající krychličky v krychli jsou bílé.
Jaký je počet všech bílých krychliček v krychli?
Na výrobu dortu byly použity dvě různé formy tvaru rotačního válce.
Poloměr podstavy první formy je 8 cm a poloměr podstavy druhé formy je o čtvrtinu menší. Výška obou forem je stejná, a to 5 cm.
Dvoupatrový dort je složen z většího a menšího korpusu. Každý korpus má stejný objem jako forma, v níž byl upečen.
Jaký je celkový objem obou korpusů dvoupatrového dortu?
Na každé stěně krychle je vždy jedna úhlopříčka celá přelepena pěti shodnými šedými čtverci tak, že sousední čtverce mají právě jeden společný vrchol (viz obrázek).
Nepolepená část každé stěny je bílá. Součet obsahů všech bílých nepolepených ploch na povrchu krychle je 480 cm².
Jakou délku má hrana krychle?
Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran malé krychle je 36 cm.
O kolik cm³ se liší objem malé a velké krychle?
Skleněné těžítko má tvar rotačního válce s poloměrem podstavy 10 cm a výškou 12 cm. Vnější část těžítka je z čirého skla, uvnitř je část z modrého skla, která má také tvar rotačního válce, a to s poloměrem podstavy 5 cm a výškou 8 cm.
Vypočítejte objem čirého skla v těžítku.
Výsledek zaokrouhlete na desítky cm³.
Dvě válcové nádoby A a B mají stejnou výšku v = 20 cm. Nádoba A má průměr podstavy d₁ = 10 cm, nádoba B má průměr podstavy d₂ = 20 cm. Nádoba A je naplněna až po okraj vodou, nádoba B je prázdná.
Do jaké výšky bude sahat voda v nádobě B, pokud všechnu vodu z nádoby A přelijeme do nádoby B?
Krychle má délku hrany 3 dm. Krychli rozdělíme vodorovným řezem na dva shodné hranoly a vytvoříme nové těleso.
O kolik dm² se zvětší povrch nového tělesa?
Vnitřní prostor haly má tvar kvádru ABCDEFGH, jehož výška je 6 m a délka 15 m.
Uvnitř haly je na podlaze, stropě a dvou stěnách vyznačena uzavřená lomená čára ACFHA.
Úhlopříčka vyznačená na podlaze haly měří 17 m a tvoří úsek AC této lomené čáry.
Jaká je délka lomené čáry ACFHA?
Obsah pláště rotačního válce je třikrát větší než obsah jedné podstavy tohoto válce.
Poloměr podstavy válce je 10 cm.
Jaký je povrch válce?
Výsledek je zaokrouhlen na desítky cm².
Dort tvaru rotačního válce leží na kruhovém tácu. (Průměr podstavy dortu je větší než výška dortu, ale menší než průměr tácu.)
Dort jsme rozdělili svislým řezem na dvě stejné poloviny.
8.1 Tác má tvar kruhu o průměru d a obsahu π·144 cm².
Vypočtěte v cm průměr d tácu.
8.2 Plocha řezu dortu má obsah 200 cm² a tvoří ji obdélník, který lze rozdělit na dva čtverce.
Vypočtěte v cm³ objem celého dortu.
Výsledek zaokrouhlete na desítky cm³.
Trojboký hranol je položen na jedné boční stěně.
Podstavu hranolu tvoří rovnoramenný trojúhelník, který má základnu délky 24 cm a obsah 60 cm².
Velikost v výšky na základnu tohoto trojúhelníku je stejná jako délka nejkratší hrany hranolu.
Jaký je objem trojbokého hranolu?
Rotační válec má výšku 12 cm.
Odstraněním čtyř částí vytvoříme z tohoto válce kvádr s rozměry 8 cm, 6 cm a 12 cm.
Všechny hrany kvádru leží na povrchu válce.
Vypočtěte
7.1 v cm poloměr podstavy válce.
7.2 v cm³ objem válce.
Výsledek zaokrouhlete na desítky cm³.
Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu je 144 cm².
Obsah pláště tohoto hranolu je dvakrát větší než obsah jedné jeho čtvercové podstavy.
(Plášť tohoto hranolu tvoří čtyři shodné boční stěny.)
Jaký je objem hranolu?
Kvádr s podstavou o rozměrech 6 cm a 8 cm a výškou 10 cm lze dvěma svislými úhlopříčnými řezy rozdělit na čtyři trojboké hranoly s výškou 10 cm.
Odebráním jednoho z trojbokých hranolů vznikne z kvádru pětiboký hranol jako na obrázku vpravo.
O kolik cm² se liší povrch pětibokého hranolu a povrch původního kvádru?
Domeček je vytvořen z pravidelného čtyřbokého hranolu a kolmého trojbokého hranolu. Oba hranoly mají jednu stěnu společnou.
Rozměry čtyřbokého hranolu jsou x, x a 20 cm.
Podstavou trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek 6 cm a 8 cm.
Vypočtěte v cm³
6.1 objem trojbokého hranolu,
6.2 objem pravidelného čtyřbokého hranolu.
Ze tří stejných dřevěných krychlí byl slepen čtyřboký hranol, jehož síť má obsah 126 cm².
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Povrch hranolu je 14krát větší než obsah stěny jedné krychle.
11.2 Síť krychle má obsah 42 cm².
11.3 Nejkratší hrana hranolu měří 3 cm.
Reklamní plochu pro vylepování plakátů tvoří plášť rotačního válce.
Podstava válce má poloměr 50 cm.
Plakát, který přesně pokryje celou reklamní plochu, má tvar čtverce.
Jaká je výška válce?
Výsledek je zaokrouhlen na celé cm.
Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.
Z těchto trojbokých hranolů vybereme ten, který má největší objem.
Jaký je objem vybraného trojbokého hranolu?
Penál má tvar rotačního válce.
Poloměr podstavy válce je 5 cm a výška válce 20 cm.
Obě podstavy válce jsou bílé a plášť válce je tmavý.
Kolikrát větší je obsah pláště válce než obsah jedné podstavy?
Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm.
Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.
Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.
Jaký obsah mají dohromady všechny bílé stěny slepeného tělesa?
Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm. Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.
Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.
Jaký je objem slepeného tělesa?
Síť kolmého čtyřbokého hranolu se skládá ze dvou shodných čtverců
a obdélníku s rozměry 40 cm a 8 cm (viz náčrt obrysu sítě).
Vypočtěte
8.1 v cm² povrch hranolu,
8.2 v cm³ objem hranolu.
Válcovací stroj se pohyboval v přímém směru vpřed. Jeho přední rotační válec vykonal při tomto pohybu 200 otáček (bez prokluzu).
Přední rotační válec má průměr podstavy 0,5 m a zanechává za sebou uválcovaný pás široký 0,8 m.
(Jedna otáčka je otočení kolem osy válce o 360°.)
Kolik m² uválcoval přední rotační válec?
Výsledek je zaokrouhlen na celé m². Za π lze dosadit 3,14.
Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm.
Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Výška hranolu je 8 cm.
Jaký je objem šestibokého hranolu?
Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm.
Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Výška hranolu je 8 cm.
Jaký je povrch šestibokého hranolu?
Všechny díly stavebnice jsou pravidelné čtyřboké hranoly s rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
Ve stavbě, která má podobu tří spojených kvádrů, jsou jednotlivé díly naskládány bez mezer tak, aby stavba obsahovala co největší počet stojících dílů. Stojící díl má dole čtvercovou stěnu, ležící díl nikoli.
Kolik ležících dílů stavba obsahuje?
Podstavou kolmého pětibokého hranolu je pětiúhelník o obvodu 20 cm a obsahu 24 cm².
Všechny hrany hranolu mají stejnou délku.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Součet délek všech hran hranolu je 60 cm.
11.2 Obsah podstavy je o polovinu větší než obsah jedné boční stěny hranolu.
11.3 Objem hranolu je 96 cm³.
Škrabací sloupek pro kočky má tvar rotačního válce.
Válec má výšku 50 cm a jeho podstava má průměr 14 cm.
Obě podstavy jsou bílé, plášť válce je šedý.
(Za π dosazujte .)
Vypočtěte v cm²
7.1 obsah jedné podstavy válce,
7.2 obsah pláště válce.
Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCDEF je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnami délek a = 9 cm a b = 12 cm.
Obsah největší boční stěny ABED je 300 cm².
Jaký je povrch hranolu?
V krychli mají každé dvě sousední stěny jednu společnou hranu.
V síti krychle mohou být některé sousední stěny krychle odděleny. Pak tutéž hranu krychle představují dvě různé úsečky sítě (označené tmavými kolečky).
V každé ze tří následujících sítí krychle je tmavým kolečkem označena jedna z obou úseček představujících tutéž hranu krychle.
Dalším kolečkem označte druhou z těchto úseček.
8.1
8.2
8.3
Krychle byla slepena z 27 malých bílých krychliček o hraně délky 2 cm.
Dvě malé krychličky jsme odstranili, a vzniklo tak nové těleso. Všechny dostupné plochy nového tělesa jsme obarvili na šedo (i zespodu).
Jaký je celkový obsah šedých ploch nového tělesa?
Rotační válec s podstavou o poloměru 5 cm stojící na vodorovné podložce jsme svislými řezy rozdělili na čtyři shodná nová tělesa.
Povrch válce byl šedý (včetně podstav), ale všechny nové plochy vytvořené rozříznutím jsou bílé.
Součet obsahů obou bílých ploch na jednom z nových těles je 80 cm².
Jaký je objem jednoho z nových těles?
Výsledek je zaokrouhlen na celé cm³.
Uvnitř papírového kvádru je ukryto několik dřevěných krychliček s hranou délky 3,9 cm. Síť tohoto kvádru je zobrazena na plánku ve čtvercové síti.
Jaký je největší možný počet dřevěných krychliček, které mohou být ukryty uvnitř papírového kvádru?
Papírový obdélník s rozměry 18 cm x 5 cm se beze zbytku použije na zhotovení kvádru.
Obdélník se rozstříhá na jednotlivé stěny kvádru (tj. podstavy i boční stěny). Stříhat se smí jen v naznačeném směru – rovnoběžném s kratší stranou původního obdélníku.
Z nastříhaných stěn se složí kvádr tak, aby se papír nikde nepřekrýval, a po hranách se spojí lepicí páskou.
Vypočtěte
7.1 v cm² povrch složeného kvádru;
7.2 v cm rozměry kvádru (existuje jediné možné řešení);
7.3 v cm³ objem složeného kvádru.
Kolmý hranol, jehož podstavy tvoří pravoúhlé trojúhelníky, má stejný objem jako kvádr.
Jaký je chybějící rozměr kvádru?
Dřevěný kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 5 cm má hmotnost 50 g. V kvádru byl vytvořen skrz naskrz otvor tvaru krychle s hranou délky 4 cm.
(Rozměry tělesa uvedené v obrázku jsou v cm.)
Jaký objem má nově vytvořené těleso?
Dřevěný kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 5 cm má hmotnost 50 g. V kvádru byl vytvořen skrz naskrz otvor tvaru krychle s hranou délky 4 cm.
(Rozměry tělesa uvedené v obrázku jsou v cm.)
O kolik gramů se snížila hmotnost kvádru po vytvoření otvoru?
Nádrž s vodou má tvar kvádru. Rozměry nádrže jsou uvedeny v obrázku.
Zahrádkář naplnil vodou z nádrže 15 prázdných dvanáctilitrových konví, a hladina vody v nádrži tak klesla.
O kolik cm klesla hladina vody v nádrži?
Krabici tvaru kvádru lze naplnit až po okraj krychličkami s délkou hrany 2 cm. Na dno krabice se do jedné vrstvy naskládá bez mezer 20 krychliček a takové vrstvy mohou být v krabici nejvýše 4.
Ze zcela naplněné krabice vyjmeme všechny krychličky a vytvoříme z nich jedinou řadu.
Jak dlouhá bude řada?
Krabici tvaru kvádru lze naplnit až po okraj krychličkami s délkou hrany 2 cm. Na dno krabice se do jedné vrstvy naskládá bez mezer 20 krychliček a takové vrstvy mohou být v krabici nejvýše 4.
Ze zcela naplněné krabice vyjmeme všechny krychličky a vytvoříme z nich jedinou řadu.
Jaký je objem krabice?
Kvádr má čtvercovou podstavu. Obsah podstavy je 64 cm². Výška kvádru je 4krát kratší než hrana a.
Jaký je povrch kvádru?
Kvádr má čtvercovou podstavu o obsahu 25 cm². Obsah boční stěny je o 5 cm² větší než obsah podstavy.
Jaký je objem kvádru?
Krychle o hraně 10 cm je rozpůlena na dva shodné kvádry.
Jaký je povrch jednoho z obou shodných kvádrů?
Některé z bodů vyznačených v síti kvádru představují ve složeném kvádru jeden a týž vrchol.
Např. dva různé body 0 a E sítě kvádru představují ve složeném kvádru stejný vrchol.
Připište k uvedenému bodu všechny body sítě kvádru, které ve složeném kvádru představují stejný vrchol.
8.1 bod 1
8.2 bod 2
8.3 bod 3
Válec s podstavou o obsahu 8 dm² má objem 120 litrů. Z válce zcela naplněného vodou se 40 litrů vody odebralo.
V jaké výšce ode dna (s přesností na dm) je vodní hladina?