9. ročník · 2. náhradní termín 2026 · 16 úloh
Filip se učil házet oštěpem. Délka jeho prvního hodu byla 7 m.
Každý další hod byl o desetinu delší než předchozí hod.
Vypočtěte, o kolik cm byl Filipův třetí hod delší než první.
Vypočtěte:
2.1
2.2 Výsledek zapište zlomkem v základním tvaru:
2.3 Výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
3.1 Vytkněte (−x):
3.2 Roznásobte a upravte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):
3.3 Upravte na co nejjednodušší tvar bez závorek:
Řešte rovnici:
4.1
4.2
Na výstavbě kanalizace se podílí tři firmy: Roura, Trubka a Potrubí.
Každá z nich staví jeden souvislý úsek kanalizace.
Úsek stavěný firmou Roura je dvakrát delší než úsek stavěný firmou Trubka.
Úsek stavěný firmou Potrubí má čtyřikrát menší délku, než mají dohromady úseky stavěné oběma zbývajícími firmami.
Délku úseku, který staví firma Roura, označíme r.
5.1 Vyjádřete výrazem s proměnnou r délku úseku, který staví firma Trubka.
5.2 Vyjádřete výrazem s proměnnou r délku úseku, který staví firma Potrubí.
5.3 Firma Potrubí staví úsek o 12 km kratší než firma Trubka.
Vypočtěte v km délku úseku, který staví firma Roura.
Obdélník ABCD je složen z bílého a šedého obdélníku jako na obrázku.
Obvod obdélníku ABCD je 68 cm a délka strany BC je 10 cm.
Obvod šedého obdélníku je o 12 cm větší než obvod bílého obdélníku.
Vypočtěte
6.1 v cm délku strany AB obdélníku ABCD,
6.2 v cm² obsah šedého obdélníku.
Na bílé krychli ABCDEFGH jsme vyznačili středy M, N hran AB a FG.
Na třech stěnách krychle jsme zakreslili šedé pravoúhlé lichoběžníky MBFE, BCNF a HEFN (viz obrázek).
Ostatní stěny krychle zůstaly celé bílé.
7.1 Zapište zlomkem v základním tvaru, jakou část plochy přední stěny tvoří šedý lichoběžník MBFE.
7.2 Na povrchu celé krychle je část plochy šedá a část bílá.
Určete poměr obsahu šedé plochy ku obsahu bílé plochy.
Poměr zapište v základním tvaru.
V parku běží dva běžci trasu dlouhou 8 km. Žádný z nich svou rychlost běhu nemění.
Rychlejší běžec uběhne celou trasu za 40 minut.
Přitom rychlejší běžec uběhne 3 km za čas, za který pomalejší běžec uběhne 2 500 m.
Vypočtěte v minutách,
8.1 za jaký čas uběhne rychlejší běžec 3 km,
8.2 za jaký čas uběhne pomalejší běžec celou trasu.
V rovině leží přímka p a body B, D.
Body B, D jsou vrcholy pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku BCD s pravým úhlem při vrcholu C.
Bod C má od přímky p větší vzdálenost než bod B.
9.1 Sestrojte vrchol C trojúhelníku BCD a označte ho písmenem.
9.2 Body B, C, D jsou zároveň vrcholy lichoběžníku ABCD. Vrchol A tohoto lichoběžníku leží na přímce p.
Sestrojte vrchol A lichoběžníku ABCD, označte ho písmenem a lichoběžník narýsujte.
Najděte všechna řešení.
V rovině leží body D, S, U.
Bod D je vrchol obdélníku ABCD.
Bod S je střed kružnice k, na níž leží všechny vrcholy tohoto obdélníku.
Bodem U prochází přímka u, na které leží vrcholy A, C obdélníku ABCD.
Sestrojte kružnici k a vrcholy A, B, C obdélníku ABCD, označte je písmeny a obdélník narýsujte.
Pavle je 17 let. Od 12 let si vždy v den narozenin zapisuje svou výšku v celých cm.
V grafu jsou zaznamenány tři z těchto zapsaných výšek, zbývající tři údaje chybí.
Během tří let od 12. do 15. narozenin povyrostla Pavla každým rokem o stejný počet cm.
Pavlina výška v den jejích 16. narozenin je aritmetickým průměrem výšek zapsaných ve dnech 15. a 17. narozenin.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), nebo nepravdivé (N).
11.1 Od 15. do 17. narozenin vyrostla Pavla celkem o 5 cm.
11.2 V den 14. narozenin měřila Pavla 167 cm.
11.3 Aritmetický průměr všech šesti výšek, které si Pavla zapsala, je 167 cm.
Květa si koupila čtyřdílný román.
První díl románu byl o 30 % levnější než druhý díl a třetí díl byl o 30 % dražší než druhý díl.
Čtvrtý díl stojí běžně 680 korun, ale Květa ho sehnala v akci za 40 % běžné ceny, a tak za něj zaplatila stejně jako za první a třetí díl dohromady.
Kolik korun stál druhý díl románu?
Děti, které se účastnily soutěže, se měly rozdělit do stejně početných skupin.
Když se rozdělily do trojic, jedno z dětí zbylo. Když se však rozdělily do pětic, nikdo nezbyl.
Počet dětmi vytvořených pětic byl o 9 menší než počet trojic.
Kolik pětic děti vytvořily?
Na obrázku je síť hranolu, který má podstavy tvaru kosočtverce a boční stěny tvaru čtverce. Obsah jedné podstavy je 15 cm².
Součet délek všech hran hranolu je 60 cm.
Jaký je objem hranolu?
Tabulka udává počty žáků gymnázia, kteří se zúčastnili jednotlivých sportovních kurzů.
Některé údaje v tabulce chybí.
Přiřaďte ke každé úloze (15.1–15.3) odpovídající výsledek (A–F).
15.1 Z celkového počtu účastníků vodáckého kurzu bylo 75 % chlapců.
Kolik dívek se zúčastnilo vodáckého kurzu?
15.2 Turistického kurzu se zúčastnilo o 50 % více dívek než chlapců.
O kolik méně chlapců než dívek se zúčastnilo turistického kurzu?
15.3 Na cyklistický kurz se přihlásilo 16 dívek. Některé z nich se však tohoto kurzu nezúčastnily. Dívky tak nakonec tvořily pouze 44 % účastníků cyklistického kurzu.
Kolik dívek přihlášených na cyklistický kurz se kurzu nezúčastnilo?
Vědomostní hra má 10 kol. Hráč má na začátku hry celkem 10 žetonů a postupně může odpovědět na 5 lehčích a na 5 těžších otázek. V každém kole si může koupit pouze 1 otázku a zaplatí za ni 1 žeton. Pokud hráč kolo vynechá (otázku si nekoupí), žeton mu zůstane.
Za správnou odpověď na lehčí otázku získá hráč 2 žetony, za správnou odpověď na těžší otázku 3 žetony. Za chybnou odpověď žádný žeton nezíská.
(Např. hráč, který 3 kola vynechal a ze 7 zakoupených otázek správně odpověděl pouze na 1 lehčí, měl na konci hry celkem 5 žetonů.)
16.1 Určete, kolik nejvíce žetonů může mít hráč na konci hry.
16.2 Hráč vynechal pouze 1 kolo a ve zbývajících kolech získal za odpovědi na lehčí otázky o 3 žetony více než za odpovědi na těžší otázky.
Určete, kolik žetonů měl hráč na konci hry.
16.3 Hráč měl na konci hry 10 žetonů a přitom měl největší možný počet chybných odpovědí s tímto výsledkem.
Určete, kolikrát v této hře správně odpověděl na lehčí otázku.
Uveďte všechna řešení.