CERMAT úlohy na téma „Poměr, měřítko mapy (2:3, 1:5 000)". Zadání a vyhodnocení zdarma; postup řešení ve zkušební verzi.
Na tržišti se vyměňuje zboží.
Jedna husa se vymění za 48 kg brambor, jedna slepice za 18 kg brambor.
Za kolik hus se vymění stejné množství brambor, jako se vymění za 40 slepic?
Poměr dvou neznámých přirozených čísel je 4 : 5
a dvojnásobky těchto dvou čísel se liší o 6.
Určete menší z obou neznámých čísel.
Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.
6.1 Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu beden odvezených ze skladu za 1 hodinu robotem A ku počtu beden odvezených za 1 hodinu robotem B.
6.2 Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu jízd robota A za hodinu ku počtu jízd robota B za hodinu.
6.3 Vypočtěte, kolik beden by ze skladu odvezli za 36 minut oba roboti dohromady při společném provozu.
Půdorys domu má tvar obdélníku. Šířka domu je 10 metrů. V plánu je tato šířka vyznačena úsečkou o délce 10 cm. Délka domu je v plánu zakreslena jako úsečka o délce 2 dm.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (15.1–15.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
15.1 Měřítko plánu je 1 : 1 000.
15.2 Skutečná délka domu je 20 m.
15.3 Obsah obdélníku na plánu a obsah půdorysu domu jsou v poměru 1 : 100.
16.3 Máme dvě čerpadla. Jejich výkony jsou v poměru 3:7. Méně výkonné čerpadlo vyčerpá 150 litrů vody za dvě hodiny. Kolik litrů vody vyčerpá výkonnější čerpadlo za 5 hodin?
7.3 jaký je v robotickém kroužku poměr počtu žáků 8. tříd ku počtu žáků 9. tříd.
Každých 3,5 cm na turistické mapě rovinaté oblasti je ve skutečnosti 700 m.
Délka vycházkové trasy je přesně 6 km, což je trojnásobek délky přímé trasy.
(Uvažované trasy nemají žádné převýšení.)
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Trasa, která na mapě měří 49 mm, je ve skutečnosti delší než 1 km.
11.2 Na mapě je vycházková trasa o 20 cm delší než přímá trasa.
11.3 Měřítko turistické mapy je 1 : 200 000.
Na táboře je každé dítě zařazeno do jednoho ze tří oddílů A, B a C.
V oddíle A je dvakrát více dětí než v oddíle C.
Poměr počtu dětí v oddíle A ku počtu dětí v oddíle B je 4 ∶ 3.
Graf udává počty chlapců a dívek v jednotlivých oddílech, dva údaje však chybí.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 V oddíle C je 5 dívek.
11.2 V oddíle B je chlapců o polovinu více než dívek.
11.3 Na táboře je dívek o pětinu méně než chlapců.
Hmotnosti dvou závaží jsou v poměru 3 ∶ 5 a liší se o 600 g.
Vypočtěte v gramech hmotnost lehčího závaží.
Body A, B, C a D představují čtyři čísla na číselné ose.
Bod B dělí (zleva) úsečku AC v poměru 7 : 3.
2.1 Určete, v jakém poměru dělí bod C (zleva) úsečku BD. Poměr zapište v základním tvaru.
2.2 Určete číslo, které na číselné ose představuje bod A.
Z nádvoří se chodí nahoru na ochoz věže po 80 stejných vyšších schodech,
zatímco zpět na nádvoří se chodí dolů jiným schodištěm po 96 stejných nižších schodech.
Obě schodiště jsou ve dvou místech propojena odpočívadly.
Václav šel z nádvoří nahoru a po 60 schodech potkal na 2. odpočívadle Danu, která šla dolů. Když Dana sešla ještě o 30 schodů níže, potkala na 1. odpočívadle Evu, která šla nahoru.
Vypočtěte,
7.1 kolik schodů sešla Dana dolů z ochozu, než potkala Václava,
7.2 kolik schodů vyšla Eva nahoru z nádvoří, než potkala Danu.
Děti mají mapu s měřítkem 1 : 50 000.
Alena ujela na koloběžce trasu délky 10 km a vypočetla, že na mapě je to 5 cm.
Beáta ušla trasu, která je na mapě zobrazena čarou délky 15 cm.
Čestmír ušel dvakrát delší trasu než Beáta.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Alenin výpočet je správný.
11.2 Beáta ušla trasu délky 7,5 km.
11.3 Na mapě je Beátina trasa o polovinu kratší než Čestmírova trasa.
Trojúhelníky AB₁C₁ a AB₂C₂ jsou pravoúhlé.
Společný vrchol A dělí úsečky B₁B₂ a C₁C₂ ve stejném poměru: |AB₁| : |AB₂| = |AC₁| : |AC₂| = 1 : 3.
Úsečka C₁C₂ měří 20 cm.
Odvěsna B₁C₁ měří 4 cm.
Vypočtěte
8.1 v cm délku přepony AC₁ menšího trojúhelníku,
8.2 v cm obvod menšího trojúhelníku (AB₁C₁),
8.3 v cm² obsah většího trojúhelníku (AB₂C₂).
Od startu S do cíle C vede jedna snadná cyklistická trasa údolími a druhá náročná přes kopce. Obě trasy se kříží v místě K.
Po snadné trase ujedeme v první části od startu S do místa K 45 km, což je o polovinu více, než ujedeme v druhé části od místa K do cíle C.
Náročná trasa je dlouhá 45 km a její první část od startu S do místa K je o pětinu kratší než její druhá část od místa K do cíle C.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 U snadné trasy je poměr délky první části ku délce druhé části 2 : 1.
11.2 Druhá část snadné trasy měří 30 km.
11.3 Druhá část náročné trasy měří 25 km.
Škola má dvě deváté třídy (9. A a 9. B).
V 9. A je třikrát více chlapců než dívek a celkem je v této třídě 24 žáků.
Počet všech žáků 9. B je o třetinu větší než počet všech žáků 9. A.
V 9. B je poměr počtu dívek a počtu chlapců (v uvedeném pořadí) 3 : 5.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 V 9. A je poměr počtu dívek a počtu chlapců (v uvedeném pořadí) 1 : 2.
11.2 Celkový počet dívek z obou 9. tříd je stejný jako počet chlapců v 9. A.
11.3 V 9. B je počet dívek o 8 menší než počet chlapců.
Čtverec je rozdělen čtyřmi svislými úsečkami a jednou vodorovnou úsečkou na 10 shodných malých obdélníků. Každý z malých obdélníků má obvod 42 cm.
8.1 Vyjádřete v základním tvaru poměr délek sousedních stran jednoho malého obdélníku.
Pro vnitřní úhly trojúhelníku ABC platí:
.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1
11.2
11.3
Tři chlapci se přemístili od startu do cíle po třech různých trasách A, B, C vždy za stejný čas.
Adam trasu A dlouhou 1 500 m ujel na koloběžce. Bedřich trasu B dlouhou 600 m ušel pěšky. Cyril na trase C nasedl na koloběžku až po 90 m pěší chůze, koloběžku pak zanechal 60 m před cílem a do cíle došel pěšky.
Adam jezdí na koloběžce stejně rychle jako Cyril. Cyril chodí pěšky stejně rychle jako Bedřich. Časové ztráty při nasedání na koloběžku a odkládání koloběžky zanedbáváme.
6.1 Vypočtěte, kolikrát je jízda na koloběžce rychlejší než pěší chůze.
Nad dvěma stranami trojúhelníku ABC jsou sestrojeny čtverce.
Obsah čtverce nad stranou BC je 25 cm².
Velikost výšky na stranu AB je 3 cm.
Pata P výšky dělí stranu AB v poměru 2 : 1.
Strana AC je delší než strana BC.
7.1 Vypočtěte v cm délku strany AB.
7.2 Vypočtěte v cm² obsah čtverce nad stranou AC.
15.3 Poměr dvou čísel je 1 : 3. Polovina většího z nich je 135.
Jaký je součet obou čísel?
Trojúhelník má obvod 21 cm a délky jeho stran jsou v poměru 6 : 5 : 3.
2.1 Určete v cm délku nejdelší strany trojúhelníku.
2.2 Určete, o kolik cm se liší délky dvou kratších stran trojúhelníku.
Ve třídě je 24 žáků. Každý žák si zvolil jeden ze tří cizích jazyků: angličtinu, němčinu, nebo španělštinu. Každý čtvrtý žák si zvolil němčinu. Angličtinu si zvolilo dvakrát více žáků než španělštinu.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Němčinu i španělštinu si zvolil stejný počet žáků.
11.2 Počet žáků, kteří si zvolili angličtinu, ku počtu žáků, kteří si zvolili němčinu, je 1 : 2.
11.3 Počty žáků, kteří si zvolili jednotlivé jazyky, jsou v poměru 1 : 2 : 2 v pořadí angličtina, němčina, španělština.
Stará fotografie tvaru obdélníku má délku a = 12 cm a šířku b = 9 cm. Při kopírování vznikla nová fotografie, jejíž rozměry jsou 1,5krát větší než u staré fotografie.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 Šířka nové fotografie je stejná jako délka staré fotografie.
11.2 Délky nové a staré fotografie jsou v poměru 3 : 2.
11.3 Délka a šířka nové fotografie jsou v poměru 4 : 3.
V sadu je celkem 28 hrušní a jabloní. Jiné ovocné stromy v sadu nerostou. Počty hrušní a jabloní v tomto pořadí jsou v poměru 3 : 4.
Které tvrzení je nepravdivé?
Turistická trasa je na mapě s měřítkem 1:50 000 zobrazena čarou dlouhou 30 cm.
6.1 Vypočtěte v km skutečnou délku turistické trasy.
6.2 Vypočtěte v cm délku čáry, která zobrazuje stejnou turistickou trasu na mapě s měřítkem 1:60 000.
Kružnice je vytvořena z drátu délky 30 cm. Z tohoto drátu se vytvaruje obdélník, jehož sousední strany mají délky v poměru 3 : 2.
Jaký je obsah obdélníku?