CERMAT úlohy na téma „Geometrie v prostoru (výpočty)". Zadání a vyhodnocení zdarma; postup řešení ve zkušební verzi.
Tvrdý papír tvaru obdélníku má obsah 198 cm².
Z rohů tohoto papíru odstřihneme čtyři shodné čtverce, čímž se jeho obsah zmenší o 16 cm².
Potom z papíru složíme krabičku tvaru kvádru, jehož nejdelší hrana měří 14 cm (viz obrázek).
Tloušťku papíru neuvažujte.
Jaký je objem krabičky?
Kvádr má podstavu o obsahu 54 cm².
Obsahy tří stěn, které mají společný vrchol, jsou v poměru 6 : 15 : 10.
Nejmenší obsah z těchto tří stěn má podstava kvádru.
7.1 Vypočtěte v cm² povrch celého kvádru.
7.2 Obě podstavy kvádru jsou bílé. Na každé ze čtyř bočních stěn kvádru je šedý rovnoběžník, který má vrcholy ve středech hran kvádru (viz obrázek).
Vypočtěte v cm² obsah všech čtyř šedých rovnoběžníků dohromady.
Slepením šedé krychle s povrchem 54 cm² a bílého hranolu vznikne velký hranol ABCDEFGH (viz obrázek).
Nejdelší hrana bílého hranolu je o polovinu delší než hrana šedé krychle.
Vypočtěte
5.1 v cm délku hrany šedé krychle,
5.2 v cm³ objem velkého hranolu ABCDEFGH.
Na bílé krychli ABCDEFGH jsme vyznačili středy M, N hran AB a FG.
Na třech stěnách krychle jsme zakreslili šedé pravoúhlé lichoběžníky MBFE, BCNF a HEFN (viz obrázek).
Ostatní stěny krychle zůstaly celé bílé.
6.1 Zapište zlomkem v základním tvaru, jakou část plochy přední stěny tvoří šedý lichoběžník MBFE.
6.2 Na povrchu celé krychle je část plochy šedá a část bílá.
Určete poměr obsahu šedé plochy ku obsahu bílé plochy.
Poměr zapište v základním tvaru.
Na obrázku je síť hranolu, který má podstavy tvaru kosočtverce a boční stěny tvaru čtverce.
Obsah jedné podstavy je 15 cm².
Součet délek všech hran hranolu je 60 cm.
Jaký je objem hranolu?
Z 12 shodných kvádrů jsou slepena dvě tělesa – krychle s hranou délky 9 cm (obrázek vlevo) a těleso tvaru schodiště (obrázek vpravo).
O kolik cm² se liší povrch tělesa tvaru schodiště a povrch krychle?
Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je rovnoramenný lichoběžník. V tomto lichoběžníku delší základna měří 11 cm a výška 4 cm.
Největší boční stěnou hranolu je obdélník o obsahu 55 cm², zbývající tři boční stěny jsou shodné čtverce.
Vypočtěte
7.1 v cm výšku hranolu,
7.2 v cm obvod podstavy hranolu,
7.3 v cm² obsah podstavy hranolu,
7.4 v cm³ objem hranolu.
Postupným přilepováním krychliček k první krychli vytváříme další tělesa (viz obrázek).
- Druhá krychle vznikla přilepením několika shodných tmavých krychliček k první krychli.
- Přilepením jiných navzájem shodných krychliček vznikla z druhé krychle třetí krychle.
- Posledním tělesem je čtyřboký hranol, který vznikl přilepením dalších navzájem shodných krychliček pouze k zadní stěně třetí krychle.
Délka hrany třetí krychle je 24 cm.
16.1 Určete počet tmavých krychliček ve druhé krychli.
16.2 Vypočtěte v cm délku hrany první krychle.
16.3 Na obrázku dole je silně vyznačena uzavřená lomená čára, která na povrchu posledního tělesa kopíruje hrany krychliček.
Určete v cm celkovou délku této lomené čáry.
Na každé stěně krychle je vždy jedna úhlopříčka celá přelepena pěti shodnými šedými čtverci tak, že sousední čtverce mají právě jeden společný vrchol (viz obrázek).
Nepolepená část každé stěny je bílá.
Součet obsahů všech bílých nepolepených ploch na povrchu krychle je 480 cm².
Jakou délku má hrana krychle?
Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.
Vypočtěte
7.1 v cm délku hrany velké krychle,
7.2 v cm² povrch malé krychle,
7.3 v cm³, o kolik se liší objem malé a velké krychle.
Hranol o výšce 15 cm se skládá ze dvou shodných kvádrů s obdélníkovou podstavou a jednoho kvádru se čtvercovou podstavou. Podstava hranolu i s rozměry je na obrázku.
16.1 Vypočítejte povrch tělesa.
Výsledek uveďte v cm².
16.2 Vypočítejte objem tělesa.
Výsledek uveďte v cm³.
Rám kolem čtvercového zrcadla je tvořen 4 shodnými hranoly se čtvercovou podstavou o délce hrany 5 cm. Každý z nich je na jednom konci ze tří stran stejným způsobem ozdoben. Ozdobená plocha jednoho hranolu tvoří 6 % povrchu tohoto hranolu.
Jak dlouhá je strana viditelné části čtvercového zrcadla umístěného uvnitř rámu?
Z kvádru se čtvercovou podstavou byl vyříznut trojboký hranol. Body S a S′ jsou průsečíky úhlopříček podstav tohoto kvádru.
7.1 Vypočítejte povrch kvádru ABCDEFGH.
Výsledek uveďte v dm².
7.2 Vypočítejte objem hranolu s podstavou ABSCD.
Výsledek uveďte v cm³.
Petr postavil ze sedmi stejných kostek stavbu. Nakreslil si, jak vypadá stavba při pohledu zepředu, zleva a shora.
Kterou z uvedených staveb (A–E) Petr viděl tak, jak je uvedeno ve výchozím textu?
Jsou dány hranoly s podstavou čtverce, trojúhelníku a kosodélníku. Všechny hranoly jsou vysoké 20 cm.
V jakém poměru jsou objemy těchto hranolů?
Poměr udejte v pořadí: 1. hranol : 2. hranol : 3. hranol.
Ze 60 dřevěných krychliček o hraně délky 1 cm jsme slepili kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 3 cm. Poté jsme celý povrch kvádru obarvili – obě stěny s největším obsahem na bílo a zbývající čtyři stěny na šedo.
Slepené stěny krychliček zůstaly neobarveny.
Určete, kolik ze všech 60 krychliček kvádru
7.1 má šedě obarvené právě dvě stěny,
7.2 nemá žádnou šedě obarvenou stěnu,
7.3 má obarvené právě dvě stěny.
Kolmý čtyřboký hranol má výšku 20 cm.
Podstavou hranolu je kosodélník s obvodem 30 cm.
Délka jedné strany kosodélníku je 7 cm a výška kosodélníku na sousední stranu měří 6 cm.
Vypočtěte
7.1 v cm součet délek všech hran hranolu,
7.2 v cm³ objem hranolu.
Stavba byla vytvořena ze stejně velkých válců tří různých barev.
Stavbu jsme zobrazili při pohledu zepředu a shora.
Který z obrázků může představovat pohled na stavbu zprava?
Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu je 144 cm².
Obsah pláště tohoto hranolu je dvakrát větší než obsah jedné jeho čtvercové podstavy.
(Plášť tohoto hranolu tvoří čtyři shodné boční stěny.)
Vypočtěte
7.1 v cm délku strany čtvercové podstavy,
7.2 v cm² obsah jedné boční stěny hranolu,
7.3 v cm³ objem hranolu.
Stavebnice obsahuje stejně dlouhé dřevěné tyčky a plastové kuličky se šesti dírami, do nichž lze tyčky připevňovat.
Denisa vytvořila z 8 kuliček a 12 tyček model nejmenší možné krychle.
Emil vytvořil model druhé nejmenší krychle. Jeho model obsahuje celkem 27 kuliček a 54 tyček, z nichž pouze tyčky znázorněné černou barvou leží na hranách této krychle.
Filip vytvořil stejným způsobem model třetí nejmenší krychle. Ten obsahuje celkem 144 tyček.
Kolik kuliček celkem obsahuje Filipův model krychle?
Stavebnice obsahuje stejně dlouhé dřevěné tyčky a plastové kuličky se šesti dírami, do nichž lze tyčky připevňovat.
Denisa vytvořila z 8 kuliček a 12 tyček model nejmenší možné krychle.
Emil vytvořil model druhé nejmenší krychle. Jeho model obsahuje celkem 27 kuliček a 54 tyček, z nichž pouze tyčky znázorněné černou barvou leží na hranách této krychle.
Filip vytvořil stejným způsobem model třetí nejmenší krychle. Ten obsahuje celkem 144 tyček.
Kolik tyček leží na hranách Filipovy krychle?
Těleso na obrázku je slepeno ze 6 stejných válců.
V učebnici je toto těleso zakresleno při pohledu zprava, zleva, zezadu a shora.
Který z následujících obrázků (A–E) nemůže představovat žádný ze čtyř pohledů zakreslených v učebnici?
Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCDEF s výškou 10 cm je rovnoramenný trojúhelník ABC, jehož obsah je 12 cm², obvod je 16 cm a délka základny AB je 6 cm.
Jaký je objem hranolu ABCDEF?
Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCDEF s výškou 10 cm je rovnoramenný trojúhelník ABC, jehož obsah je 12 cm², obvod je 16 cm a délka základny AB je 6 cm.
Jaký je povrch hranolu ABCDEF?
Dřevěná hlava robota byla slepena z jedné velké a 7 shodných malých krychlí. Po slepení byly části vyčnívající z velké krychle obarveny na šedo, všechny ostatní plochy na bílo. (Bílá je i spodní stěna velké krychle, neobarvené zůstaly jen slepené plochy.)
Jedna stěna malé krychle má obsah 9 cm².
Velká krychle má hranu délky 10 cm.
Vypočtěte
7.1 v cm² celkový obsah všech šedých ploch,
7.2 v cm² celkový obsah všech bílých ploch,
7.3 v cm³ objem celé hlavy robota (tj. objem všech krychlí dohromady).
Kvádr o rozměrech 6 cm, 4 cm a 5 cm jsme dvěma svislými řezy rozdělili na tři kolmé trojboké hranoly.
7.1 Vypočtěte v cm² povrch kvádru.
7.2 Ze tří trojbokých hranolů vybereme ten, který má největší objem.
Vypočtěte v cm³ objem vybraného trojbokého hranolu.
Podstavou trojbokého kolmého hranolu je pravoúhlý trojúhelník, jehož dvě delší strany měří 17 cm a 15 cm. Výška hranolu je 5 cm. Obě podstavy hranolu jsou tmavé, ostatní stěny jsou bílé.
Ze čtyř těchto trojbokých hranolů je slepeno těleso (viz obrázek), které má dvě shodné stěny tmavé a zbývající čtyři stěny bílé.
Jaký obsah mají dohromady všechny bílé stěny slepeného tělesa?
Horní část skleněného kvádru tvoří 6 krychlí z barevného skla umístěných v jedné vrstvě. Každá krychle má hranu délky 2 cm.
Stejná vrstva krychlí tvoří také spodní část kvádru.
Obě vrstvy barevných krychlí dohromady zaujímají 20 % objemu celého kvádru.
Zbytek kvádru je z bílého skla.
Vypočtěte
7.1 v cm³ objem jedné vrstvy barevných krychlí,
7.2 v cm délku nejdelší hrany celého kvádru,
7.3 v cm² povrch celého kvádru.
Celý povrch dřevěného kvádru, jehož síť je na obrázku, jsme obarvili modrou barvou. Obarvený kvádr jsme beze zbytku rozřezali na malé krychličky o hraně délky 1 cm.
Kolik krychliček vzniklo rozřezáním kvádru?
Celý povrch dřevěného kvádru, jehož síť je na obrázku, jsme obarvili modrou barvou. Obarvený kvádr jsme beze zbytku rozřezali na malé krychličky o hraně délky 1 cm.
Kolik vzniklých krychliček má právě dvě modré stěny?
Kolmý šestiboký hranol byl vytvořen opracováním krychle o hraně délky 8 cm. Podstava hranolu vznikne ze čtvercové stěny původní krychle oddělením 4 shodných pravoúhlých trojúhelníků s odvěsnami délek 3 cm a 4 cm.
Výška hranolu je 8 cm.
Jaký je objem šestibokého hranolu?
Všechny díly stavebnice jsou pravidelné čtyřboké hranoly s rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
Ve stavbě, která má podobu tří spojených kvádrů, jsou jednotlivé díly naskládány bez mezer tak, aby stavba obsahovala co největší počet stojících dílů. Stojící díl má dole čtvercovou stěnu, ležící díl nikoli.
Kolik ležících dílů stavba obsahuje?
Podstavou kolmého pětibokého hranolu je pětiúhelník o obvodu 20 cm a obsahu 24 cm². Všechny hrany hranolu mají stejnou délku.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (10.1–10.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
10.1 Součet délek všech hran hranolu je 60 cm.
10.2 Obsah podstavy je o polovinu větší než obsah jedné boční stěny hranolu.
10.3 Objem hranolu je 96 cm³.
Podstavou kolmého čtyřbokého hranolu je kosočtverec.
Výška hranolu je 10 cm a povrch hranolu je 360 cm².
Obsah pláště hranolu je sedmkrát větší než obsah jedné podstavy.
Vypočtěte
7.1 v cm² obsah pláště hranolu,
7.2 v cm součet délek všech 12 hran hranolu.
V krychli mají každé dvě sousední stěny jednu společnou hranu.
V síti krychle mohou být některé sousední stěny krychle odděleny. Pak tutéž hranu krychle představují dvě různé úsečky sítě (označené tmavými kolečky).
VZOR:
V každé ze tří následujících sítí krychle je tmavým kolečkem označena jedna z obou úseček představujících tutéž hranu krychle.
Dalším kolečkem označte druhou z těchto úseček.
7.1
7.2
7.3
Ze dvou krychlí s hranou délky 10 cm jsme vytvořili dvě nová tělesa.
První těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru kvádru.
Druhé těleso vzniklo z krychle po odříznutí části tvaru trojbokého hranolu.
Nejkratší hrana prvního i druhého tělesa měří 7 cm.
Vypočtěte v cm³ objem
7.1 prvního tělesa,
7.2 druhého tělesa.
Na dně skleněné nádoby tvaru čtyřbokého hranolu je položena ocelová krychle. Krychle zakrývá čtvrtinu čtvercového dna nádoby.
Nádoba s krychlí je po okraj naplněna vodou.
Rozměry nádoby jsou uvedeny v obrázku.
(Tloušťku stěn nádoby zanedbáváme.)
Vypočtěte v cm³ objem vody v nádobě s krychlí.
Uvnitř papírového kvádru je ukryto několik dřevěných krychliček s hranou délky 3,9 cm. Síť tohoto kvádru je zobrazena na plánku ve čtvercové síti.
Jaký je největší možný počet dřevěných krychliček, které mohou být ukryty uvnitř papírového kvádru?
V 7 h začalo pršet. Dešťová voda stékala ze střechy do jímky s dutinou tvaru kvádru. Kvádr má podstavu o rozměrech 50 cm x 40 cm a výšku 70 cm.
Před deštěm sahala voda v jímce do výšky 10 cm.
Při dešti se za každou minutu objem vody v jímce zvětšil o 5 litrů.
Kdy začala jímka přetékat?
Těleso bylo sestaveno ze dvou krychlí ze stejného materiálu.
Ke krychli s délkou hrany 8 cm je přilepena krychle s délkou hrany 4 cm.
Přilepená stěna menší krychle nepřečnívá přes větší krychli.
Menší krychle váží 400 g.
Vypočtěte
6.1 v gramech hmotnost tělesa;
6.2 v cm² povrch tělesa (včetně dolní stěny větší krychle).
Dřevěný kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 5 cm má hmotnost 50 g. V kvádru byl vytvořen skrz naskrz otvor tvaru krychle s hranou délky 4 cm.
(Rozměry tělesa uvedené v obrázku jsou v cm.)
Jaký objem má nově vytvořené těleso?
Dřevěný kvádr s rozměry 5 cm, 4 cm a 5 cm má hmotnost 50 g. V kvádru byl vytvořen skrz naskrz otvor tvaru krychle s hranou délky 4 cm.
(Rozměry tělesa uvedené v obrázku jsou v cm.)
O kolik gramů se snížila hmotnost kvádru po vytvoření otvoru?
V každém rohu papírového čtverce odstřihneme bílý čtverec o obsahu 4 dm². Přehneme hrany, složíme krabici a spoje přelepíme izolepou. Dno krabice má obsah 25 dm².
8.1 Vypočtěte v dm obvod papírového čtverce (před odstřižením v rozích).
8.2 Vypočtěte v dm³ objem krabice.
V akváriu tvaru kvádru se čtvercovou podstavou je voda napuštěna do výšky 2 dm. Dno akvária má obsah 36 dm².
8.1 Vypočtěte v litrech objem vody v akváriu.
8.2 Vypočtěte v dm² obsah všech ploch smáčených vodou (tj. dna a částí stěn).
Kvádr má čtvercovou podstavu. Obvod podstavy je 20 dm. Výška kvádru je .
Jaký je povrch kvádru?
Těleso je slepeno ze dvou shodných kvádrů s délkami hran 3 cm, 3 cm a 5 cm.
9.1 Vypočtěte v cm³ objem slepeného tělesa.
9.2 Vypočtěte v cm² povrch slepeného tělesa.
Krychle o hraně 10 cm je rozpůlena na dva shodné kvádry.
Jaký je povrch jednoho z obou shodných kvádrů?
Obrazec, který představuje síť krychle, má obvod 28 cm.
Jaký je objem krychle?
Z krychlí byla slepena stavba. Stavbu nelze rozložit. Za souseda krychle považujeme jen takovou krychli, která je přilepena k některé její stěně.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (12.1–12.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
12.1 Celkem 4 krychle stavby mají po jednom sousedovi.
12.2 Celkem 3 krychle stavby mají po dvou sousedech.
12.3 Pouze 1 krychle stavby má 3 sousedy.
Z drátu je vytvořena krychle. Obsah jedné stěny krychle je 4 cm².
Jakou délku má drát, který se spotřeboval na všechny hrany krychle?