CERMAT úlohy na téma „Geometrie v prostoru". Zadání a vyhodnocení zdarma; postup řešení ve zkušební verzi.
Těleso se má podle návodu slepit ze sedmi stejných malých krychliček.
Pouze jedno z těles A–E není slepeno přesně podle návodu.
Které?
Tomáš postavil krychli z 27 malých krychliček, z nichž některé jsou šedé a ostatní jsou bílé.
Krychličky poskládal do krychle jako na obrázku vlevo, přitom platí:
– V každém ze tří pater je stejný počet šedých krychliček.
– Žádné dvě šedé krychličky nejsou položeny na sobě.
Tomáš potom z krychle odstranil zadní vrstvu malých krychliček, a vytvořil tak kvádr jako na obrázku vpravo.
Přiřaďte ke každé otázce (13.1–13.3) správnou odpověď (A–F).
13.1 Kolik bílých krychliček obsahovala krychle (na obrázku vlevo)?
13.2 Kolik bílých krychliček bylo v odstraněné zadní vrstvě krychle?
13.3 Kolik šedých krychliček zůstalo v kvádru (na obrázku vpravo)?
Matěj postavil stavbu ze stejně velkých krychliček (viz obrázek).
Stavba má čtyři patra a v každém patře jsou krychličky naskládány v 5 řadách.
Na obrázku dole je zobrazeno 1. patro Matějovy stavby.
V každém vyšším patře má kterákoli řada vždy o 2 krychličky méně než řada pod ní.
Kolik krychliček celkem obsahuje Matějova stavba?
Ze stejných krychliček, které mají na každé své stěně po jedné tečce,
jsme slepili 5 různých těles (viz obrázek). Každé těleso obsahuje 6 těchto krychliček.
Každé slepené těleso jsme si prohlédli ze všech stran (i zespodu) a spočítali počet všech teček na jeho povrchu.
Které těleso má na svém povrchu nejvíce teček?
Kostka tvaru krychle má na třech stěnách po 1 tečce a na zbývajících třech
stěnách po 3 tečkách. Součet počtu teček na protějších stěnách je vždy 4.
Počet všech teček na povrchu kostky je tedy 12.
Z takovýchto kostek slepíme tři tělesa.
Kostky před slepováním vhodně natočíme, aby byly splněny následující podmínky:
První těleso má na svém povrchu co nejvíce teček a zbývající dvě tělesa co nejméně teček.
Přiřaďte ke každému tělesu (13.1–13.3) počet všech teček na jeho povrchu (A–F).
13.1 První těleso:
13.2 Druhé těleso:
13.3 Třetí těleso:
Ve stavebnici jsou dva druhy kostek – krychle (K) a hranol (H), který lze složit ze dvou krychlí.
Adam a Marek postavili ze stavebnice dva stejně velké kvádry (viz obrázek).
Zatímco Adam použil jen hranoly, Markův kvádr obsahuje jak hranoly, tak krychle.
Jaký je největší možný počet hranolů (H) v kvádru, který postavil Marek?
Ze tří stejných kvádrů o rozměrech 7 cm, 5 cm a 4 cm jsme v rohu místnosti postavili stavbu jako na obrázku. Po černě vyznačené trase vedoucí po hranách kvádrů lezl od startu do cíle mravenec.
Jak dlouhá je vyznačená mravencova trasa?
Všechny kostky ve stavebnici jsou stejné a mají tvar krychle.
Ze všech kostek stavebnice byla na podložce postavena pyramida (na obrázku vlevo).
Jitka pyramidu zbourala a ze všech kostek postavila na podložce stavbu, jaká je naznačena na obrázku uprostřed.
Nakonec Emil zboural i Jitčinu stavbu a ze všech kostek postavil na podložce pravidelnou stavbu, jejíž čtyři horní patra jsou na obrázku vpravo.
Žádná stavba neměla mezi kostkami mezery.
Přiřaďte ke každé úloze (13.1–13.3) odpovídající výsledek (A–F).
13.1 Kolik kostek uvnitř pyramidy nebylo vidět z žádné strany?
13.2 Kolik kostek v Jitčině stavbě se dotýkalo podložky?
13.3 Kolik kostek dohromady obsahují spodní dvě patra Emilovy stavby?
Dřevěná krychle byla natřena modrou barvou ze všech šesti stran. Poté byla rozřezána na 64 stejných krychliček. Řezy jsou naznačeny na obrázku.
Kolik celkem takto vzniklých krychliček nemá žádnou stranu modrou?
Stavebnice obsahuje samé stejné dílky.
Každý dílek má tvar kvádru s rozměry 6 cm, 4 cm a 4 cm.
Kolik dílků stavebnice je třeba ke složení kvádru s rozměry 8 cm, 12 cm a 16 cm?
Stavebnice obsahuje samé stejné dílky.
Každý dílek má tvar kvádru s rozměry 6 cm, 4 cm a 4 cm.
Kolik dílků stavebnice je třeba ke složení nejmenší možné krychle?
Na dřevěné krychli bylo vyznačeno 5 úseček.
Čtyři z těchto úseček na krychli byly označeny písmeny a, b, c, d.
U páté úsečky je zapsána její skutečná délka 8 cm.
Skutečné délky úseček na krychli můžeme vzájemně porovnat.
Které z následujících tvrzení je chybné?
Stavba byla vytvořena ze stejně velkých válců tří různých barev.
Stavbu jsme zobrazili při pohledu zepředu a shora.
Který z obrázků může představovat pohled na stavbu zprava?
Stavebnice obsahuje stejně dlouhé dřevěné tyčky a plastové kuličky se šesti dírami, do nichž lze tyčky připevňovat.
Denisa vytvořila z 8 kuliček a 12 tyček model nejmenší možné krychle.
Emil vytvořil model druhé nejmenší krychle. Jeho model obsahuje celkem 27 kuliček a 54 tyček, z nichž pouze tyčky znázorněné černou barvou leží na hranách této krychle.
Filip vytvořil stejným způsobem model třetí nejmenší krychle. Ten obsahuje celkem 144 tyček.
Kolik kuliček celkem obsahuje Filipův model krychle?
Stavebnice obsahuje stejně dlouhé dřevěné tyčky a plastové kuličky se šesti dírami, do nichž lze tyčky připevňovat.
Denisa vytvořila z 8 kuliček a 12 tyček model nejmenší možné krychle.
Emil vytvořil model druhé nejmenší krychle. Jeho model obsahuje celkem 27 kuliček a 54 tyček, z nichž pouze tyčky znázorněné černou barvou leží na hranách této krychle.
Filip vytvořil stejným způsobem model třetí nejmenší krychle. Ten obsahuje celkem 144 tyček.
Kolik tyček leží na hranách Filipovy krychle?
Těleso na obrázku je slepeno ze 6 stejných válců.
Ke každé situaci (13.1–13.3) přiřaďte odpovídající obrazec (A–F).
13.1 Pohled na těleso zezadu
13.2 Pohled na těleso zleva
13.3 Pohled na těleso zespodu
Ze stejných kostek tvaru krychle se slepují tělesa. Skrz každou kostku je provrtaný jeden otvor.
Kostky v tělese mohou být otočeny třemi směry:
otvor směřuje buď zepředu dozadu (P), z boku na druhý bok (B), nebo shora dolů (H).
Otvory v tělese jsou vyznačeny dvěma způsoby:
světlé otvory vedou skrz naskrz celým tělesem, tmavé otvory jsou uvnitř tělesa uzavřeny jinou kostkou.
V tělese určíme počty kostek otočených v daném směru.
Např. v ukázkovém tělese jsou 2 kostky ve směru P,
1 kostka ve směru B a 2 kostky ve směru H.
Přiřaďte ke každému tělesu (13.1–13.3) počty kostek, které jsou v tělese otočené v daném směru (A–F).
13.1
Ze stejných kostek tvaru krychle se slepují tělesa. Skrz každou kostku je provrtaný jeden otvor.
Kostky v tělese mohou být otočeny třemi směry:
otvor směřuje buď zepředu dozadu (P), z boku na druhý bok (B), nebo shora dolů (H).
Otvory v tělese jsou vyznačeny dvěma způsoby:
světlé otvory vedou skrz naskrz celým tělesem, tmavé otvory jsou uvnitř tělesa uzavřeny jinou kostkou.
V tělese určíme počty kostek otočených v daném směru.
Např. v ukázkovém tělese jsou 2 kostky ve směru P,
1 kostka ve směru B a 2 kostky ve směru H.
Přiřaďte ke každému tělesu (13.1–13.3) počty kostek, které jsou v tělese otočené v daném směru (A–F).
13.1
13.2
13.3
Písmeno E (na obrázku) slepené z 12 stejných bílých krychliček jsme obarvili ze všech stran (i zespodu) modrou barvou.
Po čase se písmeno rozpadlo na jednotlivé krychličky.
Původně slepené stěny krychliček zůstaly bílé.
Určete, kolik krychliček z rozpadlého písmene E
6.1 má právě 4 stěny modré,
6.2 má stejný počet modrých a bílých stěn.
Petr postavil na podložce stavbu ze 13 stejných krychliček.
Každá z pěti staveb (A–E) byla postavena na podložce ze 14 stejných krychliček.
V každé stavbě (i v Petrově) jsou sousední krychličky vždy slepeny k sobě.
Kterou ze staveb A–E lze spojit s Petrovou stavbou tak, že vznikne krychle?
Ze stejně velkých krychliček lepíme těleso podle návodu.
Návod obsahuje zobrazení tělesa při pohledu zepředu a při pohledu zprava.
Těleso slepené podle vzorového návodu může obsahovat nejvíce 12 krychliček.
Podle téhož návodu je možné slepit i těleso z menšího počtu krychliček (vynechat lze např. některé tmavé krychličky).
Přiřaďte ke každému návodu (13.1–13.3) největší počet krychliček (A–F), z nichž může být těleso slepeno.
13.1
Ze stejně velkých krychliček lepíme těleso podle návodu.
Návod obsahuje zobrazení tělesa při pohledu zepředu a při pohledu zprava.
Těleso slepené podle vzorového návodu může obsahovat nejvíce 12 krychliček.
Podle téhož návodu je možné slepit i těleso z menšího počtu krychliček (vynechat lze např. některé tmavé krychličky).
Přiřaďte ke každému návodu (13.1–13.3) největší počet krychliček (A–F), z nichž může být těleso slepeno.
13.1
13.2
13.3
Těžítko je vyrobeno ze skla – část ze šedého skla, zbytek z průhledného skla.
Na obrázku jsou dva pohledy na toto těžítko.
Který popis těžítka je v souladu s uvedenými podmínkami?
Na podložce je postavena stavba ze 6 stejných krychliček a 2 stejných kvádrů.
Který z následujících obrázků (A–E) může představovat pohled na stavbu zezadu?
Na podložce postavíme stavbu ze stejných krychliček. Každá krychlička má 6 stěn.
Při pohledu na stavbu z různých stran jsou některé stěny krychliček viditelné a jiné nejsou.
Na všechny stěny viditelné při pohledu na stavbu zepředu napíšeme číslo 1, na stěny viditelné zezadu číslo 2, na stěny viditelné zprava číslo 3, na stěny viditelné zleva číslo 4 a na stěny viditelné shora číslo 5.
Na ostatní stěny žádná čísla nezapisujeme.
U stavby VZOR sestavené z 8 krychliček je každé z čísel 1–5 zapsáno pětkrát. Např. na stěnách viditelných při pohledu zprava je zapsáno celkem pět čísel 3, jejichž součet je 15.
Václav postavil na podložce stavbu ze 16 stejných krychliček.
Václav na svou stavbu zapsal čísla podle zadání.
Přiřaďte ke každé otázce (13.1–13.3) správnou odpověď (A–F).
13.1 Jaký je součet všech zapsaných čísel 5 (pohled shora)?
13.2 Jaký je součet všech zapsaných čísel 3 (pohled zprava)?
13.3 O kolik se liší součet všech zapsaných čísel 4 (pohled zleva) od součtu všech zapsaných čísel 1 (pohled zepředu)?
Na podložce vytváříme stavby ze stejně velkých krychliček.
Spodní krychlička každého sloupce stojí na podložce a patří do prvního patra stavby.
Stavbu popisuje tabulka. Číslo v tabulce představuje počet krychliček umístěných ve sloupci nad sebou (počet pater).
Stavba na ukázce má v prvním patře celkem 6 krychliček, ve druhém 5 krychliček, ve třetím 2 krychličky a ve čtvrtém a pátém po 1 krychličce.
V následujících tabulkách tří staveb jsou kartičkami K, L a M zakryta tři čísla.
Přiřaďte ke každé otázce (13.1–13.3) správnou odpověď (A–F).
13.1 V 1. stavbě je celkem 24 krychliček.
Jaké číslo je zakryto kartičkou K?
13.2 Ve 2. stavbě se počet krychliček v 5. a 6. patře liší o 2 krychličky.
Jaké číslo je zakryto kartičkou L?
13.3 Ve 3. stavbě je v nejvyšších třech patrech celkem 9 krychliček.
Jaké číslo je zakryto kartičkou M?
Na podložce byla ze stejných krychliček postavena velká krychle, která měla 4 vrstvy po 16 krychličkách.
Klára odebrala z velké krychle několik krychliček, aby vytvořila stavbu podle nákresu 1.
Mirek odebral z Klářiny stavby několik krychliček, aby vytvořil stavbu podle nákresu 2.
Nora odebrala z Mirkovy stavby několik krychliček, aby vytvořila stavbu podle nákresu 3.
(Děti krychličky pouze odebíraly, s ostatními krychličkami nehýbaly.)
Přiřaďte ke každé otázce (13.1–13.3) správnou odpověď (A–F).
13.1 Kolik krychliček odebrala Klára z velké krychle?
13.2 Kolik nejvíce krychliček mohl Mirek odebrat z Klářiny stavby?
13.3 Kolik nejméně krychliček musela Nora odebrat z Mirkovy stavby?
Všechny díly stavebnice jsou pravidelné čtyřboké hranoly s rozměry 1 cm × 1 cm × 2 cm.
Ve stavbě, která má podobu tří spojených kvádrů, jsou jednotlivé díly naskládány bez mezer tak, aby stavba obsahovala co největší počet stojících dílů. Stojící díl má dole čtvercovou stěnu, ležící díl nikoli.
Kolik ležících dílů stavba obsahuje?
V počítačové hře je díl složený ze tří stejných krychlí zobrazen v 8 různých polohách.
V počítačové hře je v rohu místnosti složena stavba ze tří těchto dílů, přičemž každý díl je v jiné poloze.
(Např. nemohly být použity současně díly v polohách 3, 3, 2, neboť dvě z nich jsou stejné.)
Napište trojici různých čísel, která označují polohy dílů ve složené stavbě.
Uveďte všechna 3 možná řešení.
Pozor, za uvedení chybných řešení ztrácíte body.
Ve stavebnici je 18 stejných krychlí. Krychle mají na každé stěně jeden puntík. Na každé krychli jsou 2 bílé a 4 černé puntíky.
Bílé puntíky jsou na krychli umístěny vždy proti sobě (buď nahoře a dole, nebo vpředu a vzadu, nebo vpravo a vlevo).
Slepili jsme první a druhé těleso, každé z 6 krychlí. První těleso má na celém svém povrchu (tedy i zespodu) 26 puntíků (bílých i černých dohromady).
Podle schématu slepíme ze zbývajících 6 krychlí třetí těleso.
Přiřaďte ke každé otázce (13.1–13.3) správnou odpověď (A–F).
13.1 Jaký je počet černých puntíků na povrchu prvního tělesa?
13.2 Jaký je počet černých puntíků na povrchu druhého tělesa?
13.3 Jaký je největší možný počet černých puntíků na povrchu třetího tělesa?
Marta postavila na podložce krychli, která měla v každé řadě 4 krychličky.
Když z krychle odebrala několik krychliček, vytvořila 1. stavbu. Po odebrání dalších krychliček vytvořila 2. stavbu a z té nakonec vytvořila 3. stavbu.
Kolik krychliček musela Marta odebrat z 1. stavby, aby vytvořila 2. stavbu?
Marta postavila na podložce krychli, která měla v každé řadě 4 krychličky.
Když z krychle odebrala několik krychliček, vytvořila 1. stavbu. Po odebrání dalších krychliček vytvořila 2. stavbu a z té nakonec vytvořila 3. stavbu.
Kolik krychliček musela Marta odebrat z 2. stavby, aby vytvořila 3. stavbu?
Z malých krychliček byly slepeny tři stejné kvádry.
Z každého kvádru jsme odstranili dvě malé krychličky a vytvořili tak tři nová tělesa.
Na každé nové těleso jsme doprostřed každého čtverečku na jeho povrchu (i zespodu) nalepili jeden černý puntík.
Přiřaďte ke každé otázce (13.1–13.3) správnou odpověď (A–F).
13.1 Kolik puntíků je na 1. tělese?
13.2 Kolik puntíků je na 2. tělese?
13.3 Kolik puntíků je na 3. tělese?
Na podložce stavíme různé stavby ze stejných krychliček. Každá krychlička stavby stojí buď na podložce, nebo na jiné krychličce.
Stavbu z krychliček popisujeme dvěma plánky.
Na prvním plánku jsou v jednotlivých polích uvedeny počty krychliček nad sebou při pohledu shora. Na druhém plánku jsou počty krychliček za sebou při pohledu zepředu.
Na pláncích jiné stavby jsou tři čísla zakryta šedými kartičkami K, L, M.
Přiřaďte ke každé otázce (13.1–13.3) správnou odpověď (A–F).
13.1 Jaké číslo je zakryté kartičkou K?
13.2 Jaké číslo je zakryté kartičkou L?
13.3 Jaký je součet čísel zakrytých kartičkami L a M?
Na stavbu z několika válců je možné pohlížet z různých stran.
Který z následujících obrázků představuje pohled shora?
Na podložce je rozestavěná stavba z krychliček.
Tuto stavbu dokončíme podle následujících pravidel:
– hotová stavba vytvoří krychli;
– v rozestavěné stavbě se smí přemístit jen jedna krychlička;
– ke stavbě lze přidat libovolný počet nových krychliček;
– mezi sousedními krychličkami nesmí být žádné mezery.
Kolik krychliček je třeba přidat k rozestavěné stavbě, aby byla hotová krychle (při dodržení stanovených pravidel) co nejmenší?
Krychle vlevo byla slepena ze 125 bílých krychliček, má tedy v každé řadě 5 krychliček. Krychle je na povrchu obarvena na šedo.
Když se z každého rohu a ze středu každé stěny této krychle odebere jedna krychlička, vznikne těleso vpravo.
Přiřaďte ke každé otázce (13.1–13.3) odpovídající odpověď (A–F).
13.1 Kolik krychliček v tělese vpravo má právě jednu stěnu obarvenou na šedo?
13.2 Kolik krychliček v tělese vpravo má právě dvě stěny obarvené na šedo?
13.3 Kolik krychliček v tělese vpravo nemá obarvenou žádnou stěnu na šedo?
V krychli slepené ze 125 krychliček (po 5 v každé řadě) se vytvoří 9 otvorů skrz naskrz (ústí každého otvoru je vyznačeno tmavě).
V první fázi se vytvoří svislé otvory tak, že se vytlačí celkem 15 krychliček ze tří svislých sloupců.
Ve druhé fázi se prorazí tři otvory směřující zepředu dozadu. Ve třetí fázi se vytlačí poslední krychličky tak, aby vznikly tři otvory směřující zprava doleva.
Kolik krychliček se vytlačí ve 2. fázi?
V krychli slepené ze 125 krychliček (po 5 v každé řadě) se vytvoří 9 otvorů skrz naskrz (ústí každého otvoru je vyznačeno tmavě).
V první fázi se vytvoří svislé otvory tak, že se vytlačí celkem 15 krychliček ze tří svislých sloupců.
Ve druhé fázi se prorazí tři otvory směřující zepředu dozadu. Ve třetí fázi se vytlačí poslední krychličky tak, aby vznikly tři otvory směřující zprava doleva.
Kolik krychliček zbyde v krychli po vytvoření všech 9 otvorů?
Těleso na obrázku bylo slepeno z 12 stejně velkých krychlí. Kdyby se krychle oddělily a posunuly se dolů k podložce, vytvořily by jiné seskupení.
Jak by vypadalo nové seskupení krychlí?
Těleso na obrázku je slepeno z devíti stejně velkých krychlí.
Každé situaci (13.1–13.3) přiřaďte odpovídající obrazec (A–F).
13.1 pohled na těleso zepředu
13.2 pohled na těleso shora
13.3 pohled na těleso zprava
Čtyři různé díly stavebnice jsou složené z 1–4 kostek.
Z těchto dílů je možné postavit několika způsoby následujících pět staveb:
Vyberte všechny stavby, které splňují následující podmínku (13.1–13.3), a uveďte jejich počet (A–F).
13.1 Stavbu je možné postavit jen z druhých dílů stavebnice.
13.2 Ve stavbě je možné použít čtvrtý díl stavebnice.
13.3 Ve stavbě je možné použít dvakrát třetí díl stavebnice (a případně i jiné díly).
V rohu místnosti je postavena stavba z dřevěných kostek.
(Stavba stojí na podlaze, dotýká se dvou stěn místnosti a mezi kostkami nejsou žádné mezery.)
Kolik kostek se dotýká alespoň jedné stěny místnosti?
Lukáš si postavil z kostek pravidelnou dvoupatrovou stavbu.
Ema si v rohu místnosti postavila jen část této stavby.
O kolik kostek se obě stavby liší?
Lukáš si postavil z kostek pravidelnou dvoupatrovou stavbu.
Ema si v rohu místnosti postavila jen část této stavby.
Jaký nejmenší počet kostek potřebuje Ema k doplnění své stavby na krychli?
Milan slepil těleso ze sedmi krychliček.
Při slepování dvou krychliček se natře lepidlem vždy jen jedna stěna jedné z obou krychliček.
Kolik stěn Milan při lepení tělesa natřel lepidlem?
Milan slepil těleso ze sedmi krychliček.
Při slepování dvou krychliček se natře lepidlem vždy jen jedna stěna jedné z obou krychliček.
Dita vzala těleso do ruky a do každého čtverečku na povrchu tělesa nakreslila jedno kolečko.
Kolik koleček Dita nakreslila?
Na každé stěně hrací kostky je napsáno jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6.
Součet čísel na protějších stěnách hrací kostky je vždy 7, tedy proti číslu 1 je 6, proti 3 je 4 a proti 5 je 2.
Milan postavil z pěti hracích kostek stavbu. Všechny kostky natočil stejně, a to tak, že nahoře je číslo 1, vpředu 5 a vpravo 3.
Kolik čísel je napsáno na povrchu stojící stavby?
(Nepatří mezi ně čísla na spodní ploše stavby.)
Na každé stěně hrací kostky je napsáno jedno z čísel 1, 2, 3, 4, 5 nebo 6.
Součet čísel na protějších stěnách hrací kostky je vždy 7, tedy proti číslu 1 je 6, proti 3 je 4 a proti 5 je 2.
Milan postavil z pěti hracích kostek stavbu. Všechny kostky natočil stejně, a to tak, že nahoře je číslo 1, vpředu 5 a vpravo 3.
Jaký je součet všech čísel na povrchu stojící stavby?
(Nepřičítají se čísla na spodní ploše stavby.)
Táňa si slepila model z hnědých dřevěných krychlí. Po zaschnutí lepidla ho ze všech stran (včetně spodní plochy) natřela na bílo.
Přiřaďte ke každé otázce (16.1–16.3) správnou odpověď (A–F).
16.1 Kolik krychlí je v modelu použito?
16.2 Kolik krychlí modelu má natřené na bílo 4 stěny?
16.3 Kolik krychlí modelu má natřené na bílo méně než 4 stěny?
Dva chlapci Adam (A) a David (D) sledují ruch na náměstí. Stavba uprostřed náměstí brání každému z nich ve výhledu na určitou část náměstí.
Např. část náměstí, na níž je kašna K, může sledovat jen David, Adam kašnu nevidí. Kvůli stavbě chlapci nevidí ani jeden na druhého.
Přesně ohraničte a vyšrafujte (případně vybarvěte) celou část náměstí.
17.1 kterou může sledovat Adam.
17.2 na kterou nevidí David.
17.3 na kterou mohou vidět současně oba chlapci.
17.4 na kterou nemůže vidět ani jeden z obou chlapců.