7. ročník · 2. náhradní termín 2025 · 16 úloh
Plavec uplave v bazénu rovnoměrným tempem 2 kilometry za 48 minut.
Vypočtěte, za kolik minut uplave plavec tímto tempem celkem 5 padesátimetrových bazénů.
Poměr dvou neznámých přirozených čísel je 4 : 5 a dvojnásobky těchto dvou čísel se liší o 6.
Určete obě neznámá čísla.
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
3.1
3.2
Martin má jednobarevné kuličky.
Jedna třetina všech Martinových kuliček je žlutých, 40 % kuliček je modrých a zbývajících 12 kuliček je červených.
4.1 Určete počet všech Martinových kuliček.
4.2 Vyjádřete zlomkem v základním tvaru, jakou část všech Martinových kuliček tvoří červené kuličky.
4.3 Martin dá kamarádce tolik červených kuliček, aby polovinu jeho zbylých kuliček tvořily modré kuličky.
Určete, kolik červených kuliček dá Martin kamarádce.
Na odvoz beden ze skladu se používají dva různí roboti A, B.
Ve skladu bylo 95 beden.
Bedny nejprve odvážel robot A, a to po 5 kusech. Jezdil v pravidelných intervalech a odvezl ze skladu za 2 hodiny celkem 50 beden.
Pak pokračoval robot B, který vozil bedny jen po 3 kusech, avšak v kratších pravidelných intervalech. Odvezl tak ze skladu za 1,5 hodiny zbývajících 45 beden.
5.1 Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu beden odvezených ze skladu za 1 hodinu robotem A ku počtu beden odvezených za 1 hodinu robotem B.
5.2 Vyjádřete v základním tvaru poměr počtu jízd robota A za hodinu ku počtu jízd robota B za hodinu.
5.3 Vypočtěte, kolik beden by ze skladu odvezli za 36 minut oba roboti dohromady při společném provozu.
Vědomostní soutěže, která měla dvě kola, se zúčastnil 10členný tým.
V každém kole získali jednotliví soutěžící 8, 9, nebo 10 bodů. Některé údaje jsou v tabulce.
6.1 V 1. kole bylo soutěžících, kteří získali 8 bodů, o jednoho méně než těch, kteří získali 10 bodů.
Určete součet bodů celého týmu v 1. kole.
6.2 Určete, kolik soutěžících mohlo ve 2. kole získat 9 bodů.
Najděte všechna řešení.
Povrch malé krychle je o 42 cm² menší než povrch velké krychle.
Součet délek všech hran velké krychle je 48 cm.
Vypočtěte
7.1 v cm délku hrany velké krychle,
7.2 v cm² povrch malé krychle,
7.3 v cm³, o kolik se liší objem malé a velké krychle.
V rovině leží body A, A′ a M.
Bod A je vrchol rovnostranného trojúhelníku ABC.
Na přímce AM leží vrchol C tohoto trojúhelníku.
Bod A′ je vrchol trojúhelníku A′B′C, který je obrazem trojúhelníku ABC v osové souměrnosti s osou o.
Oba trojúhelníky mají pouze jeden společný bod, a to vrchol C.
8.1 Sestrojte osu o a označte ji písmenem.
8.2 Sestrojte všechny chybějící vrcholy trojúhelníků ABC i A′B′C, označte je písmeny a oba trojúhelníky narýsujte.
V rovině leží body L, M a přímka p procházející bodem M.
Body L, M jsou vrcholy rovnoběžníku KLMN.
Na přímce p leží střed S souměrnosti tohoto rovnoběžníku.
Délka strany LM je stejná jako délka úhlopříčky LN.
Sestrojte střed S a vrcholy K, N rovnoběžníku KLMN, označte je písmeny a rovnoběžník narýsujte.
Najděte všechna řešení.
Kružnice se středem S prochází body A, B, K, L.
Úsečky AB a KL se protínají v bodě S.
V obrázku jsou vyznačeny velikosti některých úhlů.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (10.1–10.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte (obrázek je pouze ilustrativní).
10.1
10.2
10.3
Ze čtverce o straně délky 14 cm odstřihneme čtyři pravoúhlé trojúhelníky (viz obrázek). Vznikne tak šestiúhelník, který se skládá ze dvou různých rovnoramenných lichoběžníků.
Oba tyto lichoběžníky mají kratší základnu délky 6 cm.
Jaký je obsah šestiúhelníku?
Podlaha chodby má tvar obdélníku, šířka chodby je 3 m.
Celá podlaha chodby je vydlážděna celkem 216 stejnými čtvercovými dlaždicemi.
Délka strany dlaždice v cm je vyjádřena celým číslem.
(Dlaždice jsou položeny těsně vedle sebe, šířku spár zanedbáváme.)
Jaká je nejmenší možná délka chodby?
Ve stanici Lichá Lhota stojí na každé ze tří kolejí jeden vlak.
Vlak na druhé koleji má o 3 vagony více než vlak na první koleji a dvakrát méně vagonů než vlak na třetí koleji.
Všechny tři vlaky dohromady mají 41 vagonů.
O kolik vagonů více má vlak na třetí koleji než vlak na první koleji?
Jonáš a Beáta se zapojili do programu Ptačí hodinka. Každý v okolí svého krmítka sledoval výskyt ptáků v průběhu jedné vybrané hodiny. U každého ptačího druhu zaznamenali do grafu vždy nejvyšší počet jedinců spatřených najednou.
Jonáš spatřil pět druhů ptáků, zatímco Beáta pouze čtyři z nich. Oba dohromady zaznamenali pěnkav o 6 méně než sýkor. Jonáš zaznamenal celkem o pětinu více ptačích jedinců než Beáta.
Kolik jedinců brhlíka lesního zaznamenala Beáta?
Přiřaďte ke každé úloze (15.1–15.3) odpovídající výsledek (A–F).
15.1 Pan Zdeněk bydlí posledních pět osmin svého dosavadního života v Plzni, kam se přestěhoval, když mu bylo 27 let.
Kolik let bydlí pan Zdeněk v Plzni?
15.2 Ze tří škol v obci je nejstarší základní škola, která je v provozu již 84 let.
Funguje tedy o 75 % delší dobu než gymnázium. Nejmladší školou je lyceum.
Poměr doby fungování lycea a gymnázia je 2 : 3.
Kolik let funguje v obci lyceum?
15.3 Součet věků dvojčat a jejich staršího bratra je 99 let.
Každému z dvojčat je o 40 % méně let než jejich bratrovi.
Kolik let je každému z dvojčat?
Hřiště má tvar obdélníku KLMN.
Po jeho obvodu vede soutěžní trasa se stanovišti A, B, C, D (viz obrázek).
Úsečky AC a BD jsou rovnoběžné se stranami hřiště a vyznačený šedý obrazec je čtverec.
Úsek AKB soutěžní trasy (ze stanoviště A přes vrchol K na stanoviště B) měří 45 m.
Úsek BLC měří 39 m a poslední úsek CMD měří 30 m.
Vypočtěte v metrech
16.1 rozdíl mezi délkami úseček BK a BL,
16.2 délku kratší strany hřiště,
16.3 obvod hřiště,
16.4 vzdálenost stanoviště D od vrcholu N.