Na vysněnou školu Přijat.com!
1. Vyber si témata, která chceš procvičovat
2. Vyber si způsob procvičování
| # | Čas | Pokusů | Datum |
|---|
| # | Hráč | Nejlepší čas |
|---|
Zapamatuj si:
Kolmice
- svírá s přímkou pravý úhel (90°)
- rýsuje se trojúhelníkem s ryskou: ryska leží na přímce, kreslí se podél svislé hrany
- pata kolmice je bod, kde se kolmice protíná s přímkou nebo úsečkou
Zadání: Je dána přímka p a bod A, který na ní leží. Sestrojte kolmici k k přímce p, která prochází bodem A.
Zadání: Je dána přímka p a bod M, který na ní neleží. Sestrojte kolmici bodem M a označte její patu P.
Zapamatuj si:
Rovnoběžka
- dvě rovnoběžky mají od sebe všude stejnou vzdálenost, nikdy se vzájemně neprotnou
- daným bodem vede jen jedna rovnoběžka
- rýsuje se trojúhelníkem: hrana se přiloží na přímku a posune po pravítku k bodu
- rovnoběžnost se značí dvojicí čárek přes obě přímky
Zadání: Je dána přímka p a bod M, který na ní neleží. Sestrojte rovnoběžku q s přímkou p procházející bodem M.
Zadání: Je dána přímka p. Sestrojte rovnoběžku q, která má od přímky p vzdálenost 3 cm.
Zapamatuj si:
Přenesení úsečky
- délka se přenáší kružítkem, ne měřením pravítkem
- hrot dáme do jednoho krajního bodu, tuhu do druhého - kružítko drží délku
- hrot zapíchneme do nového bodu a oblouk vyznačí přenesenou vzdálenost
- stejně se nanáší i délka zadaná v cm - nejprve se nabere na pravítku
Zadání: Je dána úsečka AB a polopřímka s počátkem C. Přeneste úsečku AB na polopřímku a koncový bod označte D.
Zadání: Na přímce p leží body A a B. Z bodu A vychází polopřímka q. Sestrojte na polopřímce q bod C tak, aby úsečka AC byla stejně dlouhá jako úsečka AB.
Zadání: Různoběžky p a q se protínají v bodě A, na přímce p leží bod B. Sestrojte na přímce q bod C tak, aby úsečka AC byla stejně dlouhá jako úsečka AB. Kolik má úloha řešení?
Zapamatuj si:
Nanesení úhlu
- velikost úhlu se nanáší úhloměrem
- střed úhloměru patří na vrchol úhlu, jeho základní přímka na rameno
- u rysky se udělá čárka ve směru ramene a rameno se pak narýsuje pravítkem
- úhel se dá nanést na obě strany od ramene - vznikají tak dvě řešení
Zadání: Je dána polopřímka s počátkem V. Naneste od ní úhel o velikosti 60° a narýsujte jeho druhé rameno.
Zapamatuj si:
Osová souměrnost
- obraz bodu leží na kolmici vedené vzorem k ose
- je stejně daleko od osy jako vzor, ale na druhé straně
- osa je osou úsečky, která spojuje vzor a obraz
- body na ose se zobrazí samy na sebe - jsou samodružné
- útvar zobrazíme po vrcholech a obrazy spojíme
Zadání: Je dána osa o a bod A. Sestrojte obraz A′ bodu A v osové souměrnosti podle osy o.
Zadání: Je dána osa o a trojúhelník ABC. Sestrojte obraz trojúhelníku v osové souměrnosti podle osy o.
Zapamatuj si:
Středová souměrnost
- obraz bodu leží na polopřímce opačné k polopřímce SA
- je stejně daleko od středu jako vzor: |SA′| = |SA|
- střed S je jediný samodružný bod
- útvar se otočí o 180° - obraz je „vzhůru nohama"
- leží-li střed ve vrcholu útvaru, tento vrchol se nemění
Zadání: Je dán bod A a střed souměrnosti S. Sestrojte obraz A′ bodu A ve středové souměrnosti se středem S.
Zadání: Je dán trojúhelník ABC a střed souměrnosti S. Sestrojte obraz trojúhelníku ve středové souměrnosti se středem S.
Zapamatuj si:
Osa úsečky
- prochází středem úsečky
- je kolmá k úsečce
- bod S dělí úsečku na dvě stejně dlouhé úsečky: |AS| = |SB|
- rýsuje se čerchovaně a značí se o
Zadání: Je dána úsečka AB, narýsujte osu úsečky o a označte střed úsečky S.
Zadání: Je dána osa úsečky AB o a bod A, sestrojte úsečku AB.
Zapamatuj si:
Osa úhlu
- prochází vrcholem úhlu
- dělí úhel na dva stejně velké úhly
- rýsuje se čerchovaně a značí se o
Zadání: Je dán úhel ABC, narýsujte osu úhlu.
Zadání: Je dána polopřímka AB a osa úhlu o, která prochází bodem A. Narýsuj druhé rameno úhlu a na něm bod C.
Zapamatuj si:
Čtverec
- má čtyři stejně dlouhé strany
- všechny jeho úhly jsou pravé (90°)
- protější strany jsou rovnoběžné
- úhlopříčky jsou stejně dlouhé, půlí se a jsou na sebe kolmé
- všechny vrcholy leží na jedné kružnici se středem S v průsečíku úhlopříček
- úhlopříčka je průměrem kružnice - je to Thaletova kružnice, proto jsou úhly u vrcholů pravé
Zadání: Je dána přímka AB. Sestrojte čtverec ABCD.
Zadání: Je dána úsečka AC. Sestrojte čtverec ABCD.
Zadání: Je dána přímka a a bod S. Sestrojte čtverec ABCD, který má střed v bodě S, vrcholy A a B jsou na přímce a.
Zadání: Je dána přímka b a bod S. Sestrojte čtverec ABCD, který má střed v bodě S, vrchol B je na přímce b a úhlopříčka AC je rovnoběžná s přímkou b.
Zadání: Je dána kružnice k se středem S a bod A, který leží na této kružnici. Sestrojte čtverec ABCD vepsaný do kružnice k.
Zapamatuj si:
Obdélník
- protější strany jsou stejně dlouhé a rovnoběžné
- všechny jeho úhly jsou pravé (90°)
- úhlopříčky jsou stejně dlouhé a půlí se, ale nejsou na sebe kolmé
- všechny vrcholy leží na jedné kružnici se středem S v průsečíku úhlopříček
- úhlopříčka je průměrem kružnice - je to Thaletova kružnice, proto jsou úhly u vrcholů pravé
Zadání: Je dána přímka AB. Sestrojte obdélník ABCD, jehož strana AD má délku 5 cm.
Zadání: Je dána přímka b a bod B. Sestrojte obdélník ABCD, jehož strana AB leží na přímce b a má délku 8 cm, úhlopříčka BD má délku 10 cm.
Zadání: Je dána kružnice k se středem S a bod A na kružnici. Sestrojte obdélník ABCD vepsaný do této kružnice, jehož strana AB má délku 8 cm.
Zapamatuj si:
Obecný trojúhelník
- má tři vrcholy A, B, C a tři strany a, b, c
- strana a leží proti vrcholu A (proti úhlu α), stejně tak b proti B a c proti C
- součet vnitřních úhlů je vždy 180°: α + β + γ = 180°
- součet dvou stran je vždy větší než třetí strana (trojúhelníková nerovnost)
Zadání (věta sss): Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 4 cm a b = 5 cm.
Zadání (věta sus): Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 5 cm a β = 60°.
Zadání (věta usu): Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li α = 45° a β = 60°.
Zadání (věta Ssu): Je dána úsečka AB. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li a = 7 cm a α = 75°. Úhel α leží proti straně a, která je delší než úsečka AB.
Zapamatuj si:
Pravoúhlý trojúhelník
- jeden úhel je pravý (90°), zbylé dva jsou ostré
- strany u pravého úhlu jsou odvěsny (a, b), strana proti němu je přepona (c)
- přepona je nejdelší strana
- platí Pythagorova věta: a2 + b2 = c2
- vrchol pravého úhlu leží na Thaletově kružnici nad přeponou
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu A, je-li odvěsna b = AC = 4 cm.
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem u vrcholu C, je-li odvěsna AC = 6 cm.
Zapamatuj si:
Ostroúhlý trojúhelník
- všechny tři úhly jsou ostré - každý je menší než 90°
- platí, že součet úhlů je 180°
- rovnostranný trojúhelník je vždy ostroúhlý (má tři úhly po 60°)
Zapamatuj si:
Pravoúhlý trojúhelník
- jeden úhel je pravý (90°), zbylé dva jsou ostré
- strany u pravého úhlu jsou odvěsny (a, b), strana proti němu je přepona (c)
- přepona je nejdelší strana
- platí Pythagorova věta: a2 + b2 = c2
- vrchol pravého úhlu leží na Thaletově kružnici nad přeponou
Zapamatuj si:
Tupoúhlý trojúhelník
- jeden úhel je tupý - je větší než 90° (γ na náčrtku)
- tupý úhel může být jen jeden, zbylé dva jsou vždy ostré
- proti tupému úhlu leží nejdelší strana
Zapamatuj si:
Rovnostranný trojúhelník
- všechny tři strany jsou stejně dlouhé
- všechny tři úhly mají 60°
- je zároveň rovnoramenný i ostroúhlý
- má tři osy souměrnosti
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC.
Zapamatuj si:
Rovnoramenný trojúhelník
- dvě strany jsou stejně dlouhé - říká se jim ramena (r)
- třetí strana je základna (z)
- úhly při základně jsou stejně velké (α)
- osa základny je osou souměrnosti - prochází vrcholem C
Zadání: Je dána úsečka AB (základna). Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC s rameny AC = BC = 5 cm.
Zadání: Je dána úsečka AB, která je ramenem rovnoramenného trojúhelníku ABC. Základna BC má délku 4 cm. Sestrojte trojúhelník ABC.
Zadání: Je dáno rameno AC rovnoramenného trojúhelníku ABC a bod S, který je středem jeho základny AB. Sestrojte trojúhelník ABC.
Zapamatuj si:
Výšky trojúhelníku
- výška = kolmice z vrcholu na protější stranu
- značí se podle strany, na kterou je kolmá: va, vb, vc
- va vede z vrcholu A na stranu a, vb z B na b, vc z C na c
- u pravoúhlého trojúhelníku jsou dvě výšky přímo odvěsny - třetí výška (vc) vede z vrcholu pravého úhlu na přeponu
Zapamatuj si:
Těžnice a těžiště
- těžnice = spojnice vrcholu se středem protější strany
- značí se podle strany, ke které míří: ta, tb, tc
- všechny tři těžnice se protnou v těžišti T
- těžiště dělí každou těžnici v poměru 2 : 1 od vrcholu
Zadání: Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte všechny jeho výšky a označte je.
Zadání: Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte všechny tři těžnice a označte těžiště T.
Zapamatuj si:
Kružnice opsaná
- prochází všemi třemi vrcholy trojúhelníku
- její střed S leží na osách stran - má od všech vrcholů stejnou vzdálenost
- stačí sestrojit dvě osy stran, jejich průsečík je střed S
- u pravoúhlého trojúhelníku leží střed ve středu přepony (Thaletova kružnice)
Zapamatuj si:
Kružnice vepsaná
- dotýká se všech tří stran trojúhelníku zevnitř
- její střed S leží na osách vnitřních úhlů
- stačí sestrojit dvě osy úhlů, jejich průsečík je střed S
- poloměr r je kolmá vzdálenost středu od strany
Zadání: Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte kružnici opsanou tomuto trojúhelníku.
Zadání: Je dán trojúhelník ABC. Sestrojte kružnici vepsanou tomuto trojúhelníku.
Zapamatuj si:
Rovnoramenný lichoběžník
- lichoběžník má dvě rovnoběžné strany - základny (a, c); zbylé dvě strany jsou ramena
- ramena jsou stejně dlouhá (r)
- úhly při základnách jsou stejně velké (α, β)
- je osově souměrný - osa prochází středy obou základen
- úhlopříčky jsou stejně dlouhé a protínají se v bodě S: |AS| = |BS|, |DS| = |CS|
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB, jestliže úhly při základně AB mají velikost 60° a ramena délku 3 cm.
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnou AB, je-li |CD| = 3 cm a výška v = 3 cm. Využijeme osu souměrnosti - prochází středy obou základen.
Zapamatuj si:
Pravoúhlý lichoběžník
- základny a, c jsou rovnoběžné
- jedno rameno je kolmé k oběma základnám - lichoběžník má dva pravé úhly
- kolmé rameno je zároveň výškou lichoběžníku (d = v)
- druhé rameno je šikmé
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnou AB a s pravými úhly při vrcholech A a D, je-li |AD| = 4 cm a |CD| = 3 cm.
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte pravoúhlý lichoběžník ABCD se základnou AB a s pravými úhly při vrcholech A a D, je-li výška 4 cm a rameno |BC| = 5 cm.
Zapamatuj si:
Lichoběžník
- čtyřúhelník, jehož dvě strany jsou rovnoběžné - základny (a, c)
- zbylé dvě strany jsou ramena (b, d)
- součet úhlů při rameni je 180°: α + δ = 180°
- výška v = vzdálenost mezi základnami
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnou AB, je-li α = 60°, |AD| = 4 cm a |CD| = 3 cm.
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte lichoběžník ABCD se základnou AB, je-li α = 60°, β = 45° a výška v = 3 cm.
Zapamatuj si:
Rovnoběžník
- protější strany jsou rovnoběžné a stejně dlouhé (a, b)
- protější úhly jsou stejně velké (α, β)
- součet sousedních úhlů je 180°: α + β = 180°
- úhlopříčky se navzájem půlí - jejich průsečík S je střed souměrnosti
- čtverec, obdélník i kosočtverec jsou zvláštní případy rovnoběžníku
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoběžník ABCD, je-li |AD| = 3 cm a α = 60°.
Zadání: Je dána úsečka AB a bod S, který je středem rovnoběžníku ABCD (průsečíkem úhlopříček). Sestrojte rovnoběžník ABCD.
Zapamatuj si:
Kosočtverec
- je to rovnoběžník, jehož všechny čtyři strany jsou stejně dlouhé (a)
- protější úhly jsou stejně velké (α, β); sousední dají dohromady 180°
- úhlopříčky se navzájem půlí a jsou na sebe kolmé
- úhlopříčky půlí vnitřní úhly a jsou osami souměrnosti
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li α = 60°.
Zapamatuj si:
Pravidelný šestiúhelník
- má šest stejně dlouhých stran (a) a šest stejných vnitřních úhlů (120°)
- skládá se ze šesti rovnostranných trojúhelníků se společným vrcholem ve středu S
- vrcholy leží na kružnici opsané - její poloměr je stejný jako strana: r = a
- proto ho snadno narýsuješ: kružnice + nanášení strany a kružítkem po obvodu
Zadání: Je dána úsečka AB. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se stranou AB.
Zadání: Je dána kružnice k se středem S a bod A na kružnici. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF vepsaný do kružnice k.
Zadání: Je dána úhlopříčka AD. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF.
Zadání: Je dán vrchol A a osa o strany AB. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF.
Trojčlenka je postup, jak ze tří známých čísel vypočítat čtvrté, které neznáme.
1) Přímá úměrnost - „čím více, tím více".Dvakrát víc rohlíků → dvakrát vyšší cena.
Příklad: 3 rohlíky stojí 12 Kč. Kolik zaplatíme za 5 rohlíků?
Odpověď: 5 rohlíků stojí 20 Kč.
2) Nepřímá úměrnost - „čím více, tím méně".Dvakrát víc dělníků → poloviční čas.
Příklad: 4 dělníci postaví zeď za 6 dnů. Za jak dlouho ji postaví 8 dělníků?
Odpověď: 8 dělníků zeď postaví za 3 dny.
Jak poznám, která úměrnost to je?
Zeptej se: když jedné veličiny přidám, druhé přibude, nebo ubude?
• Přibude → přímá úměrnost.
• Ubude → nepřímá úměrnost.
Postup krok za krokem
- Zapiš údaje do dvou řádků - stejné veličiny pod sebe a neznámou x dej doleva dolů.
- Rozhodni, jestli je úměrnost přímá (víc↔víc), nebo nepřímá (víc↔míň).
- Nakresli šipky: přímá → stejný směr, nepřímá → opačný směr.
- Postav rovnici.
- Napiš odpověď i s jednotkou (Kč, dny, …).
Vyber si, jakým způsobem budeš procenta počítat:
Procenta trojčlenkou
Příklad 1 (v příkladu vidíme tři čísla): Kuba spoří na hru. Už má 300 Kč, což je 15 % ceny. Kolik procent ceny bude mít, až naspoří 900 Kč?
Odpověď: 900 Kč je 45 % ceny.
Další krok - když musíš zjistit, co je celek a že se rovná 100 %:
Příklad 2 (v příkladu vidíme jen dvě čísla): Kolo stojí 4000 Kč. Ve slevě je zlevněné o 15 %. Kolik korun ušetříme?
Odpověď: Ušetříme 600 Kč.
Sleva dvakrát za sebou
Příklad: Bunda stojí 2000 Kč. Nejdřív zlevní o 20 %, potom ještě o 10 %. Kolik stojí nakonec?
1. sleva - 20 % z 2000 Kč:
Nová cena: 2000 − 400 = 1600 Kč
2. sleva - 10 % z 1600 Kč (z nové ceny, ne z 2000!):
Odpověď: Bunda stojí nakonec 1440 Kč (1600 − 160).
Procenta přes 1 %
Nejdřív zjistíme, kolik je 1 %, a pak dopočítáme zbytek.
Příklad 1: Kuba spoří na hru. Už má 300 Kč, což je 15 % ceny. Kolik procent ceny bude mít, až naspoří 900 Kč?
Odpověď: 900 Kč je 45 % ceny.
Další krok - když musíš zjistit, co je celek a že se rovná 100 %:
Příklad 2: Kolo stojí 4000 Kč. Ve slevě je zlevněné o 15 %. Kolik korun ušetříme?
Odpověď: Ušetříme 600 Kč.
Sleva dvakrát za sebou - přes 1 %
Příklad: Bunda stojí 2000 Kč. Nejdřív zlevní o 20 %, potom ještě o 10 %. Kolik stojí nakonec?
1. sleva - 20 % z 2000 Kč:
Nová cena: 2000 − 400 = 1600 Kč
2. sleva - 10 % z 1600 Kč (ne z 2000!):
Konečná cena: 1600 − 160 = 1440 Kč
Odpověď: Bunda stojí nakonec 1440 Kč.
Procenta pomocí vzorců
Příklad 1: Kuba spoří na hru. Už má 300 Kč, což je 15 % ceny. Kolik procent ceny bude mít, až naspoří 900 Kč?
Odpověď: 900 Kč je 45 % ceny.
Další krok - když musíš zjistit, co je celek a že se rovná 100 %:
Příklad 2: Kolo stojí 4000 Kč. Ve slevě je zlevněné o 15 %. Kolik korun ušetříme?
Odpověď: Ušetříme 600 Kč.
Sleva dvakrát za sebou - vzorcem
Příklad: Bunda stojí 2000 Kč. Nejdřív zlevní o 20 %, potom ještě o 10 %. Kolik stojí nakonec?
1. sleva - 20 % z 2000 Kč:
2. sleva - 10 % z 1600 Kč (ne z 2000!):
Odpověď: Bunda stojí nakonec 1440 Kč.
Co je poměr
Poměr porovnává dvě čísla - udává kolikrát je jedna hodnota větší nebo menší než druhá.
Píše se s dvojtečkou a : b. Poměr můžeme krátit (dělit obě čísla stejným číslem) jako zlomek.
Příklad: Ve třídě je 12 chlapců a 18 dívek. V jakém poměru jsou chlapci a dívky?
Poměr 2 : 3 je stejné rozdělení jako 12 : 18, jen menšími čísly.
Odpověď: Chlapci a dívky jsou v poměru 2 : 3.
Rozdělení v poměru
Celek rozdělíme na díly. Sečteme čísla poměru = počet dílů, spočítáme jeden díl a pak dopočítáme části.
Příklad: Rozděl 600 Kč v poměru 2 : 3.
2 díly = 240 Kč, 3 díly = 360 Kč.
Odpověď: 600 Kč se v poměru 2 : 3 rozdělí na 240 Kč a 360 Kč.
Měřítko mapy
Měřítko 1 : 5 000 znamená, že 1 cm na mapě = 5 000 cm ve skutečnosti (= 50 m).
Z mapy do skutečnosti násobíme, ze skutečnosti na mapu dělíme.
Z mapy do skutečnosti (násobíme):
Příklad 1: Na mapě 1 : 5 000 jsou dvě místa vzdálená 4 cm. Jaká je skutečná vzdálenost?
Odpověď: 200 m.
Ze skutečnosti na mapu (dělíme):
Příklad 2: Skutečná vzdálenost je 300 m. Kolik cm bude na mapě 1 : 5 000?
Odpověď: 6 cm.
Měřítko trojčlenkou
Měřítko 1 : 5 000 = první řádek trojčlenky: 1 cm na mapě ↔ 5 000 cm ve skutečnosti.
Z mapy do skutečnosti:
Příklad 1: Na mapě 1 : 5 000 jsou 4 cm. Jaká je skutečná vzdálenost?
Odpověď: 20 000 cm = 200 m.
Ze skutečnosti na mapu (nejdřív převedeme na cm):
Příklad 2: Skutečnost 300 m = 30 000 cm. Kolik cm na mapě 1 : 5 000?
Odpověď: 6 cm.
Sčítání a odčítání mnohočlenů
Spojíme členy se stejnou proměnnou a stejnou mocninou: všechna x², všechna x a samotná čísla. Každou barvu sečteme zvlášť.
Příklad 1:
Odpověď:
Když jsou v příkladu závorky: nejdřív je odstraníme:
Před závorkou plus → znaménka uvnitř zůstanou.
Před závorkou minus → všem členům uvnitř znaménko obrátíme.
Spojíme členy se stejnou proměnnou a stejnou mocninou.
Příklad 2:
Odpověď:
Násobení a dělení mnohočlenů
Jednočlen krát jednočlen: vynásobíme čísla a u mocnin se stejným základem sečteme exponenty.
Příklad 1:
Odpověď:
Jednočlen dělený jednočlenem: vydělíme čísla a u mocnin se stejným základem exponenty odečteme:
Příklad 2:
Odpověď:
Roznásobování
Jednočlen krát mnohočlen: vynásobíme každý člen v závorce (roznásobení):
Příklad 1:
Odpověď:
Dvě závorky (dvojčlen krát dvojčlen): každý člen s každým, pak spojíme podobné členy:
Příklad 2:
Odpověď:
Závorka krát záporný jednočlen: záporné znaménko roznásobíme do obou členů:
Příklad 3:
Odpověď:
Záporný jednočlen krát dvě závorky: nejdřív roznásobíme závorky, pak vše vynásobíme −2:
Příklad 4:
Odpověď:
Vytýkání před závorku: Rozložte na součin vytýkáním
Je to opak roznásobování.
Najdeme společného dělitele všech členů (číslo i proměnnou) a vytkneme ho před závorku.
Příklad 1: Rozložte na součin vytknutím
Odpověď:
Vytýkání celé závorky: společný činitel je celá závorka (2x−y):
Příklad 2: Rozložte na součin vytknutím
Odpověď:
Vytýkání seskupením: rozdělíme na dvě dvojice a z každé vytkneme:
Příklad 3: Rozložte na součin vytknutím
Odpověď:
Příklady na vzorce
Druhá mocnina součtu: (a+b)² = a²+2ab+b²
Příklad 1: Umocněte podle vzorce
Odpověď:
Druhá mocnina součtu: a²+2ab+b² = (a+b)²
Příklad 4: Rozložte na součin podle vzorce
Odpověď:
Druhá mocnina rozdílu: (a−b)² = a²−2ab+b²
Příklad 2: Umocněte podle vzorce
Odpověď:
Druhá mocnina rozdílu: a²−2ab+b² = (a−b)²
Příklad 5: Rozložte na součin podle vzorce
Odpověď:
Rozdíl druhých mocnin: a²−b² = (a−b)(a+b)
Příklad 3: Rozložte podle vzorce
Odpověď:
Rozdíl druhých mocnin: a²−b² = (a−b)(a+b)
Příklad 6: Rozložte na součin podle vzorce
Odpověď:
Speciální případy
Oba členy záporné: (a+b)² = a²+2ab+b²
Příklad 7: Umocněte podle vzorce
Odpověď:
Členy prohodíme: (a−b)² = a²−2ab+b²
Příklad 8: Umocněte podle vzorce
Odpověď:
Členy prohodíme: a²−b² = (a−b)(a+b)
Příklad 9: Rozložte na součin podle vzorce
Odpověď:
Počítání se zlomky
Zlomek v základním tvaru je zlomek, který už nejde více zkrátit - čitatel a jmenovatel nemají žádného společného dělitele kromě jedničky.
Hodnota zlomku se nezmění, když čitatele i jmenovatele vynásobíme nebo vydělíme stejným číslem.
Krácení a rozšiřování jsou opačné postupy - na stejném zlomku:
Krácení:
čitatele i jmenovatele vydělíme stejným číslem (společným dělitelem):
Příklad 1: Zkraťte zlomek
Odpověď:
Rozšiřování:
čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem:
Příklad 2: Rozšiřte zlomek šesti
Odpověď:
Sčítání a odčítání: zlomky musí mít stejný jmenovatel - nejdřív je rozšíříme na společný jmenovatel:
Sčítání:
sečteme jen čitatele, jmenovatel opíšeme:
Příklad 3: Vypočtěte
Odpověď:
Odčítání:
odečteme jen čitatele, jmenovatel opíšeme:
Příklad 4: Vypočtěte
Odpověď:
Násobení a dělení: společný jmenovatel nepotřebujeme:
Násobení:
vynásobíme čitatele mezi sebou a jmenovatele mezi sebou:
Příklad 5: Vypočtěte
Odpověď:
Dělení:
druhý zlomek obrátíme (převrácená hodnota) a místo dělení násobíme:
Příklad 6: Vypočtěte
Odpověď:
Smíšená čísla: nejdřív je převedeme na zlomek - celou část vynásobíme jmenovatelem a přičteme čitatele:
Příklad 7: Vypočtěte
Odpověď:
Počítání s desetinnými čísly
Sčítání: čísla napíšeme pod sebe podle desetinné čárky, doplníme nuly na stejný počet desetinných míst a sčítáme odzadu.
Čárku sepíšeme pod čárky.
Příklad 1: Vypočtěte
Odpověď:
Odčítání: úplně stejný zápis jako u sčítání - pod sebe podle čárky, doplnit nuly, odčítat odzadu:
Příklad 2: Vypočtěte
Odpověď:
Násobení: čísla zarovnáme doprava (čárky nemusí být pod sebou) a násobíme, jako by tam čárky nebyly.
Nakonec sečteme desetinná místa obou činitelů (2 + 1 = 3) a tolik míst odpočítáme od konce:
Příklad 3: Vypočtěte
Odpověď:
Dělení celým číslem: dělíme jako obyčejně; ve chvíli, kdy překročíme čárku v děleném čísle, napíšeme čárku do výsledku:
Příklad 4: Vypočtěte
Odpověď:
Dělení desetinným číslem: obě čísla vynásobíme 10, 100, … tak, aby dělitel byl celé číslo - výsledek se tím nezmění. Pak dělíme jako v Příkladu 4:
Příklad 5: Vypočtěte
Odpověď:
Zlomek na desetinné číslo: zlomek je zápis dělení - čitatele vydělíme jmenovatelem:
Příklad 6: Zapište desetinným číslem
Odpověď:
Desetinné číslo na zlomek: do jmenovatele dáme 10, 100, 1000 podle počtu desetinných míst a zlomek zkrátíme:
Příklad 7: Zapište zlomkem v základním tvaru
Odpověď:
Počítání s mocninami: pozor na závorku u záporných čísel
Závorka u záporného čísla mění výsledek - jsou to stejná čísla, ale jiný výsledek:
V závorce:
umocňuje se i znaménko mínus (mínus · mínus = plus) → výsledek kladný:
Příklad 1: Vypočtěte
Odpověď:
Bez závorky:
umocňuje se jen číslo, mínus zůstane před výsledkem → výsledek záporný:
Příklad 2: Vypočtěte
Odpověď:
Mocnina součinu a podílu: umocníme každý činitel zvlášť (podle vzorce nahoře):
Součin:
umocníme oba činitele v závorce zvlášť:
Příklad 3: Vypočtěte
Odpověď:
Podíl (zlomek):
umocníme čitatele i jmenovatele zvlášť:
Příklad 4: Vypočtěte
Odpověď:
Nultá mocnina: cokoli (kromě nuly) na nultou je 1:
Příklad 5: Vypočtěte
Odpověď:
Součin pod odmocninou rozdělit LZE:
Součet pod odmocninou rozdělit NELZE!
Počítání s odmocninami
Co je druhá odmocnina: je to opak druhé mocniny - hledáme kladné číslo, které umocněné na druhou dá číslo pod odmocninou.
Příklad 1: Vypočtěte
Odpověď:
Odmocnina podílu: odmocninu zlomku rozdělíme na čitatele a jmenovatele - a stejně tak obráceně:
Rozdělíme:
odmocníme čitatele i jmenovatele zvlášť:
Příklad 2: Vypočtěte
Odpověď:
Spojíme:
dvě odmocniny pod jednu a čísla vydělíme:
Příklad 3: Vypočtěte
Odpověď:
Odmocnina součinu: součin pod odmocninou rozložíme na dvě odmocniny - a stejně tak obráceně:
Rozložíme:
součin pod odmocninou na dvě odmocniny:
Příklad 4: Vypočtěte a rozložte
Odpověď:
Spojíme:
dvě odmocniny pod jednu a čísla vynásobíme:
Příklad 5: Vypočtěte
Odpověď:
Součet pod odmocninou: nejdřív spočítáme, co je pod odmocninou, teprve pak odmocňujeme. Sčítání a odčítání pod odmocninu rozdělit NELZE - :
Příklad 6: Vypočtěte
Odpověď:
Odmocnina desetinného čísla: převedeme ho na zlomek a odmocníme čitatele i jmenovatele:
Příklad 7: Vypočtěte
Odpověď:
Odmocnina záporného čísla neexistuje - žádné číslo umocněné na druhou nedá záporný výsledek.
Co je zlomek
Zlomek říká, jakou část celku máme. Celek nejdřív rozdělíme na stejné díly.
- Čitatel (nahoře) = kolik dílů vezmeme.
- Jmenovatel (dole) = na kolik stejných dílů je celek rozdělený.
4 = všechny díly
Obrázek je rozdělený na 4 stejné díly a 3 jsou obarvené → 3 čtvrtiny, píšeme 3/4.
Slovní názvy zlomků
| Zlomek | Říkáme | Zlomek | Říkáme |
|---|---|---|---|
| 1/2 | polovina | 1/6 | šestina |
| 1/3 | třetina | 1/8 | osmina |
| 1/4 | čtvrtina | 1/10 | desetina |
| 1/5 | pětina | 3/4 | tři čtvrtiny |
Řešené příklady
Příklad 1: Jakou část tvoří obarvené čtverečky?
Odpověď: Obarvené jsou 3 z 8 dílů → 3/8 (tři osminy).
Příklad 2: Jakou část tvoří obarvené čtverečky?
Odpověď: Obarvené jsou 2 z 5 dílů → 2/5 (dvě pětiny).
Kolik je zlomek z počtu
Např. čtvrtina z 12 bonbonů: 12 rozdělíme na 4 stejné díly (jmenovatel) a vezmeme 1 díl (čitatel).
- Vyděl počet jmenovatelem → dostaneš jeden díl.
- Vynásob to čitatelem → tolik dílů bereš (u „jedné" čtvrtiny je čitatel 1, takže stačí krok 1).
1 díl (modrý) = 3 bonbony
Řešené příklady
Příklad 1: Kolik je čtvrtina z 20?
Rozdělíme 20 na 4 díly (vyděl 4):
Odpověď: Čtvrtina z 20 je 5.
Příklad 2: Kolik jsou dvě pětiny z 20?
Nejdřív rozdělíme 20 na 5 dílů (jeden díl):
A vezmeme 2 díly (vynásob 2):
Odpověď: Dvě pětiny z 20 jsou 8.
Zlomky v grafu a diagramu
V diagramu je celek rozdělený na díly. Zlomek přečteš tak, že spočítáš, kolik dílů daná část zabírá z celku.
Pásový diagram: 10 dětí, 4 jezdí na kole.
Modré jsou 4 z 10 dílů → na kole jezdí 4/10 dětí (čtyři desetiny).
Řešený příklad
Příklad: V oddíle je 8 dětí, na obrázku jsou obarvené ty, které umí plavat. Jakou část oddílu tvoří plavci?
Odpověď: Obarvených je 5 z 8 → plavci tvoří 5/8 oddílu (pět osmin).
Názvy operací
| Operace | Členy (jak se čísla jmenují) | Výsledek | Příklad |
|---|---|---|---|
| sčítání (+) | sčítanec + sčítanec | součet | |
| odčítání (−) | menšenec − menšitel | rozdíl | |
| násobení (·) | činitel · činitel | součin | |
| dělení (:) | dělenec : dělitel | podíl | |
| umocňování | základ a exponent (mocnitel) | mocnina | |
| odmocňování | odmocnitel a odmocněnec | odmocnina |
Slovní obraty - pozor na záměnu!
Nejčastější chyba: „o kolik" je vždy odčítání, „kolikrát" vždy dělení - a je jedno, jestli je to více, nebo méně.
| Slovní obrat | Co udělat | Příklad |
|---|---|---|
| o kolik více nebo méně | odčítání (−) | |
| kolikrát více nebo méně | dělení (:) | |
| dvojnásobek, trojnásobek, n-krát víc | násobení (·) | |
| polovina, třetina, pětina, n-tina | dělení (:) |
Řešené příklady
Příklad 1: Vypočtěte, kolikrát je součet čísel 0,1 a 0,5 větší než jejich součin.
součet čísel 0,1 a 0,5 → sčítání:
součin čísel 0,1 a 0,5 → násobení:
„kolikrát větší" → dělení (větší : menší):
Odpověď: Součet je 12krát větší než součin.
Příklad 2: Vypočtěte, kolikrát je pětinásobek čísla 6 menší než číslo 240.
pětinásobek čísla 6 → násobení pěti:
„kolikrát menší" → dělení (větší : menší):
Odpověď: Pětinásobek 6 je 8krát menší než 240.
Příklad 3: Vypočtěte, o kolik je polovina čísla 4,6 větší než číslo 0,3.
polovina čísla 4,6 → dělení dvěma:
„o kolik větší" → odčítání (pozor, ne dělení!):
Odpověď: Polovina 4,6 je o 2 větší než 0,3.
Znaky dělitelnosti
Číslo nemusíš pracně dělit. U některých dělitelů dělitelnost poznáš na první pohled. Existují čtyři způsoby - podle toho, o který dělitel jde (barva ho pak provází i v tabulce):
- Poslední číslice (2, 5, 10) - stačí se podívat na poslední číslici čísla. Podle ní poznáš dělitelnost 2, 5 a 10.
- Ciferný součet (3, 9) - sečteš všechny číslice. Když je jejich součet dělitelný 3 (nebo 9), je dělitelné i celé číslo.
- Poslední dvojčíslí (4) - podíváš se na poslední dvě číslice. Když je to dvojčíslí dělitelné 4, je dělitelné i celé číslo.
- Kombinace (6 = 2 a 3) - pokud je číslo dělitelné 2 (sudé) a 3 (ciferný součet je dělitelný třemi), pak je číslo dělitelné i 6.
| Dělitel | Poznáš podle | Příklad |
|---|---|---|
| 2 | poslední číslice je sudá (0, 2, 4, 6, 8) | |
| 3 | ciferný součet je dělitelný 3 | |
| 4 | poslední dvojčíslí je dělitelné 4 | |
| 5 | poslední číslice je 0 nebo 5 | |
| 6 | dělitelné 2 i 3 zároveň | |
| 9 | ciferný součet je dělitelný 9 | |
| 10 | poslední číslice je 0 |
Ciferný součet (3, 9) a dělitelnost 6
Ciferný součet = sečteš všechny číslice čísla. Používá se u dělitelnosti 3 a 9:
Číslo 342 má ciferný součet 9 → je dělitelné 3 i 9. Pozor: kdyby vyšel součet třeba 12, je číslo dělitelné jen 3 (12 není dělitelné 9).
Dělitelnost 6: musí platit obě podmínky - dělitelnost 2 (číslo je sudé) i 3 (ciferný součet).
Řešené příklady
Příklad 1: Rozhodni, kterými z dělitelů 2, 3, 4, 5, 9 je dělitelné číslo 810.
Poslední číslice je 0 (sudá) → dělitelné 2 a 5.
Ciferný součet → rozhodne o dělitelnosti 3 a 9:
9 je dělitelné 3 i 9 → dělitelné 3 a 9.
Poslední dvojčíslí 10 není dělitelné 4 → není dělitelné 4.
Odpověď: Číslo 810 je dělitelné 2, 3, 5 a 9. Číslem 4 dělitelné není.
Příklad 2: Je číslo 5 154 dělitelné 3? A devíti?
Ciferný součet čísla 5 154:
15 je dělitelné 3 (15 : 3 = 5) → ano, dělitelné 3.
15 není dělitelné 9 (9, 18, 27…) → ne, dělitelné 9 není.
Odpověď: Číslo 5 154 je dělitelné 3, ale devíti ne.
Příklad 3: Jakou číslici doplníš místo ★, aby bylo číslo 47★ dělitelné 6?
Dělitelné 6 = dělitelné 2 i 3 zároveň.
Musí být sudé → poslední číslice 0, 2, 4, 6 nebo 8.
A ciferný součet dělitelný 3: 4 + 7 + ★ = 11 + ★. Sudá číslice, pro kterou to vyjde, je jen 4:
Číslo 474 je sudé ✓ a ciferný součet 15 je dělitelný 3 ✓.
Odpověď: Doplníš číslici 4 → číslo 474.
Dělitel a násobek
Jsou to dva pohledy na totéž dělení beze zbytku. Ukažme si to na příkladu 12 : 3 = 4:
- Dělitel = číslo, kterým jiné číslo vydělíš beze zbytku. Číslo 3 je dělitel čísla 12, protože 12 : 3 = 4 (nic nezbude).
- Násobek = číslo, které vznikne násobením. Číslo 12 je násobek čísla 3, protože 3 · 4 = 12.
Je to jedno a totéž dělení, jen z druhé strany: když je 3 dělitel čísla 12, je zároveň 12 násobek čísla 3.
Každé číslo má vždy dělitele 1 a samo sebe. Násobků má číslo nekonečně mnoho (1×, 2×, 3× …), dělitelů jen konečně.
Jak najít všechny dělitele
- Piš si dvojice: zkus číslo vydělit postupně od 1 výše. Když vyjde celé číslo, našel jsi dvojici (dělitel a výsledek).
- Kdy přestat: postupuj dál (2, 3, 4 …), dokud se čísla nezačnou opakovat.
Příklad: najdi všechny dělitele čísla 12:
- → dvojice 1 a 12
- → dvojice 2 a 6
- → dvojice 3 a 4
- Číslo 4 už dá dvojici 4 a 3, kterou máme → dvojice se opakuje, končíme.
Vypíšeme obě čísla z každé dvojice → dělitelé čísla 12 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Řešené příklady
Příklad 1: Vypiš všechny dělitele čísla 24.
Hledáme dvojice čísel, jejichž součin je 24:
Číslo 24 není dělitelné 5, číslo 6 už máme ve dvojici 4 · 6, není dělitelné ani 7. Další dvojice nepřidají už nic nového.
Odpověď: Dělitelé čísla 24 jsou 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (celkem 8).
Příklad 2: Napiš prvních pět násobků čísla 6.
Číslo 6 postupně vynásobíme 1, 2, 3, 4, 5:
Odpověď: Prvních pět násobků čísla 6 je 6, 12, 18, 24, 30.
Příklad 3: Je 8 dělitelem čísla 56? A je 56 násobkem 8?
Stačí jedno dělení - vyjde-li beze zbytku, platí obojí:
56 : 8 = 7 a nic nezbude, takže 8 je dělitel 56 a zároveň 56 je násobek 8.
Odpověď: Ano - obojí platí (je to totéž dělení z druhé strany).
Prvočíslo a složené číslo
Podle počtu dělitelů dělíme čísla na dvě skupiny:
- Prvočíslo = má právě dva dělitele: 1 a samo sebe. Nejde rozložit na menší činitele. Např. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, …
- Složené číslo = má víc než dva dělitele - dá se rozložit na součin menších čísel. Např. 4, 6, 8, 9, 10, 12, …
Pozor: číslo 1 není ani prvočíslo, ani složené (má jen jednoho dělitele - samo sebe). Číslo 2 je jediné sudé prvočíslo (každé jiné sudé číslo je dělitelné dvěma).
Rozklad na prvočísla
Každé složené číslo jde zapsat jako součin prvočísel - a jen jediným způsobem. Postup:
- Vytáhni nejmenší prvočíslo: rozděl číslo na prvočíslo × zbytek (třešnička doleva, zbytek doprava).
- Zbytek rozkládej dál stejně, dokud na koncích nezůstanou jen prvočísla (zelené třešničky).
- Číslo je součin všech prvočísel na koncích. Stejná zapiš jako mocninu.
Příklad: rozlož číslo 60:
Sesbíraná prvočísla vynásobíme:
Řešené příklady
Příklad 1: Rozlož číslo 36 na součin prvočísel.
Rozkládáme stromečkem:
Odpověď:
Příklad 2: Rozlož číslo 84 na součin prvočísel.
Stejně stromečkem:
Odpověď:
Příklad 3: Je číslo 51 prvočíslo?
51 je liché, ale ciferný součet 5 + 1 = 6 je dělitelný 3 → 51 je dělitelné 3:
51 se rozdělí na 3 a 17 - má tedy i jiné dělitele než 1 a samo sebe (1, 3, 17, 51).
Odpověď: Ne - 51 je složené číslo (51 = 3 · 17).
Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek
Dvě čísla mají společné dělitele i společné násobky. Nás zajímají dva z nich:
- Největší společný dělitel - největší číslo, kterým jde vydělit obě čísla beze zbytku. Zkráceně NSD, značka D(a, b).
- Nejmenší společný násobek - nejmenší číslo, které je násobkem obou čísel. Zkráceně NSN, značka n(a, b).
Jak je najít (přes rozklad na prvočísla)
1. Nejdřív obě čísla rozlož na prvočísla - napiš je jako součin (viz předchozí záložka).
Rozložíme čísla 12 a 18 na prvočísla (stromečkem, červeně):
Máme tedy 12 = 2 · 2 · 3 a 18 = 2 · 3 · 3. Napíšeme je pod sebe a stejná prvočísla dáme do sloupečků.
2. Největší společný dělitel = vynásob jen ta prvočísla, která mají obě čísla společná (zelené sloupečky):
3. Nejmenší společný násobek = vynásob všechna prvočísla - společná vezmeš jen jednou a přidáš, co v každém čísle zbyde. Z každého sloupečku tak vezmeš jen jedno číslo (modře):
Kontrola: vždy platí D(a, b) · n(a, b) = součin obou čísel:
Kdy použít Největší společný dělitel a kdy Nejmenší společný násobek
- Největší společný dělitel - když rozděluješ na co NEJVĚTŠÍ stejné části (největší dlaždice, nejvíc stejných skupin, co nejvíc dětí…). Hledáš největší číslo → dělitel.
- Nejmenší společný násobek - když hledáš, kdy se něco POPRVÉ potká nebo zopakuje (dvě světla bliknou spolu, dva autobusy odjedou spolu…). Hledáš nejmenší společný počet → násobek.
Řešené příklady
Příklad 1: Najdi největší společný dělitel čísel 24 a 36.
Rozložíme obě čísla na prvočísla a stejná dáme do sloupečků (zelené = společné):
NSD = prvočísla, která mají obě čísla společná (dvě dvojky a jedna trojka):
Odpověď: D(24, 36) = 12.
Příklad 2: Najdi nejmenší společný násobek čísel 8 a 12.
Rozložíme do sloupečků a z každého vezmeme jedno (modře):
NSN = všechna prvočísla dohromady (dvojku vezmeme tolikrát, kolikrát je jí v jednom čísle nejvíc - třikrát z 8):
Odpověď: n(8, 12) = 24.
Příklad 3: Dva majáky blikají - první každých 6 sekund, druhý každých 10 sekund. Za kolik sekund bliknou poprvé současně?
„Poprvé současně" = hledáme Nejmenší společný násobek čísel 6 a 10. Rozložíme a z každého sloupečku vezmeme jedno (modře):
NSN = všechna prvočísla dohromady (společnou dvojku jen jednou, plus 3 a 5):
Odpověď: Bliknou spolu poprvé za 30 sekund.
Převody jednotek délky
Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme
Kontrola: po převodu na menší jednotku musí být číslo větší než původní, po převodu na větší jednotku menší. Když to tak není, spletli jste si násobení a dělení.
Na menší jednotku: menších jednotek se do stejné délky vejde více - číslo proto roste, tedy násobíme.
Vynásobíme všemi kroky, přes které jsme na nákresu přeskočili:
Příklad 1: Převeďte na metry
Odpověď:
Na větší jednotku: větších jednotek je potřeba méně - číslo se zmenšuje, tedy dělíme. Z cm na m jsou dva kroky po deseti, dělíme tedy stem:
Příklad 2: Převeďte na metry
Odpověď:
Složený zápis: každou část převedeme zvlášť na požadovanou jednotku a nakonec je sečteme:
Příklad 3: Převeďte na centimetry
Odpověď:
Počítání s různými jednotkami: sčítat a odčítat lze jen stejné jednotky - nejdřív vše převedeme na jednu z nich, teprve pak počítáme:
Příklad 4: Vypočtěte v metrech
Odpověď:
Převody jednotek obsahu: mezi sousedy je vždy 100
Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme
Čtverec o straně 1 dm má stranu dlouhou 10 cm. Vejde se do něj 10 řad po 10 čtverečcích o straně 1 cm - dohromady 10 · 10 = 100 čtverečků (oranžový je jeden z nich).
1 dm2 = 100 cm2.
Proto u obsahu za každý krok přidáš (nebo ubereš) 2× tolik nul co u obyčejné délky: u délky · 10 (jedna nula), u obsahu · 100 (dvě nuly).
Nejčastější chyba: počítat obsah jako délku - tedy převádět desítkou místo stovkou. Vždy si vzpomeňte na obrázek: čtverec má dva rozměry, proto se každý krok počítá dvakrát.
Na menší jednotku: za každý krok nákresu násobíme stem. Z m2 na cm2 jsou kroky dva, tedy · 100 · 100 = · 10 000:
Příklad 1: Převeďte na centimetry čtvereční
Odpověď:
Na větší jednotku: opačně - za každý krok dělíme stem. Z mm2 na cm2 je krok jeden:
Příklad 2: Převeďte na centimetry čtvereční
Odpověď:
Ary a hektary: patří na stejný nákres - jsou to jednotky obsahu pro pozemky. Mezi ha, a a m2 je také stovka:
Příklad 3: Převeďte na metry čtvereční
Odpověď:
Obsah ze stran: strany nejdřív převedeme na stejnou jednotku, teprve pak násobíme - jinak výsledek nedává smysl:
Příklad 4: Vypočtěte obsah obdélníku se stranami
Odpověď:
Převody jednotek objemu
Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme
Dutá míra: Stačí si zapamatovat 1 l = 1 dm3 a 1 ml = 1 cm3 - pak se dá mezi nákresy přeskočit.
Krychle o hraně 1 dm má hranu dlouhou 10 cm. Vejde se do ní 10 vrstev po 10 · 10 = 100 krychličkách o hraně 1 cm
- dohromady 10 · 10 · 10 = 1000 krychliček.
1 dm3 = 1000 cm3.
Proto u objemu za každý krok přidáš (nebo ubereš) 3× tolik nul co u obyčejné délky: u délky · 10 (jedna nula), u objemu · 1000 (tři nuly).
Nejčastější chyba: počítat objem jako délku - tedy převádět desítkou místo tisícem. Vždy si vzpomeňte na obrázek: krychle má tři rozměry, proto se každý krok počítá třikrát.
Na menší jednotku: za každý krok nákresu násobíme tisícem. Z dm3 na cm3 je krok jeden:
Příklad 1: Převeďte na centimetry krychlové
Odpověď:
Objem přes litry: na litry se dostaneme přes most 1 dm3 = 1 l - nejdřív jdeme po nákresu objemu k dm3, pak přepíšeme na litry:
Příklad 2: Převeďte na litry
Odpověď:
Z duté míry zpět na objem: mililitry přepíšeme na cm3 (je to totéž) a pak jdeme po nákresu objemu:
Příklad 3: Převeďte na decimetry krychlové
Odpověď:
Přes dva kroky: z m3 na cm3 jsou kroky dva - násobíme tedy · 1000 · 1000 = · 1 000 000:
Příklad 4: Převeďte na centimetry krychlové
Odpověď:
Objem ze stran: strany nejdřív sjednotíme, teprve pak násobíme. Výsledek v dm3 můžeme rovnou přečíst jako litry:
Příklad 5: Vypočtěte objem kvádru s hranami
Nejdříve převedeme všechny strany na dm:
Odpověď:
Zapamatuj si tři mosty: 1 l = 1 dm3, 1 ml = 1 cm3 a 1 m3 = 1000 l (protože 1 m3 = 1000 dm3). Přes ně se dostanete z každého nákresu na druhý.
Převody jednotek hmotnosti
Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme
Pozor na velikost kroku: u délky byl každý krok deset. U hmotnosti je krok pokaždé jiný - mezi t a kg je 1000, mezi kg a dkg 100, mezi dkg a g jen 10.
Zapamatuj si: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g a 1 g = 1000 mg - tisícovka je tu nejčastější. Výjimkou je jen dkg, který kilogram a gram rozděluje na 100 a 10.
Na menší jednotku: násobíme - z t na kg je krok jeden, tedy · 1000:
Příklad 1: Převeďte na kilogramy
Odpověď:
Na větší jednotku: z gramů na kilogramy jdeme doleva přes dva kroky - · 10 a · 100 dohromady dá 1000, takže dělíme tisícem:
Příklad 2: Převeďte na kilogramy
Odpověď:
Dekagramy: dkg je „deset gramů" - jediný krok z kilogramů, ale stovkový:
Příklad 3: Převeďte na dekagramy
Odpověď:
Složený zápis: každou část převedeme zvlášť na požadovanou jednotku a sečteme:
Příklad 4: Převeďte na gramy
Odpověď:
Převody jednotek času: čas není desítkový
Doprava = na menší jednotku → násobíme Doleva = na větší jednotku → dělíme
Pomůcka pro půlky a čtvrtky hodiny: 0,5 h = 30 min, 0,25 h = 15 min, 0,75 h = 45 min. A naopak: 20 min je hodiny.
Složený zápis: pravidlo je stejné jako u ostatních veličin, jen se nenásobí deseti, ale šedesáti (a mezi dnem a hodinou čtyřiadvaceti). Hodiny převedeme na minuty a přičteme zbylé minuty:
Příklad 1: Převeďte na minuty
Odpověď:
Desetinné číslo hodin: 1,5 h NENÍ 1 h 50 min - desetinná čárka neznamená minuty! Je to jeden a půl hodiny, a tak se to i násobí:
Příklad 2: Převeďte na minuty
Odpověď:
Na složený zápis: dělíme se zbytkem - podíl jsou celé větší jednotky, zbytek zůstává v menších:
Příklad 3: Zapište v minutách a sekundách
Odpověď:
Části dne: den má 24 hodin - čtvrtina dne je proto šest hodin, ne dvě a půl:
Příklad 4: Převeďte na hodiny
Odpověď:
Jak vyřešit rovnici
Rovnice je rovnost dvou stran - jako váhy v rovnováze.
Řešíme ji ekvivalentními úpravami: s oběma stranami uděláme totéž, aby rovnováha zůstala.
Buď k oběma stranám přičteme nebo odečteme stejné číslo, nebo obě strany vynásobíme či vydělíme stejným nenulovým číslem.
Ekvivalentní úpravy
Na obě strany totéž
- Co uděláme vlevo, musíme udělat i vpravo.
- K oběma stranám přičteme stejné číslo (tady +4).
- Vlevo se −4 a +4 vyruší, vpravo vznikne 11 + 4.
To samé při dělení
- Obě strany vydělíme stejným číslem (tady 3).
- Vlevo se 3 vykrátí (3x : 3 = x), vpravo zůstane 15 : 3.
Základní rovnice: číslo přesuneme na druhou stranu (přičteme nebo odečteme totéž) a nakonec vydělíme koeficientem u neznámé:
Příklad 1: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Neznámá na obou stranách: všechny členy s neznámou dáme na jednu stranu, čísla na druhou:
Příklad 2: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Rovnice se závorkou: nejdřív roznásobíme závorku, teprve pak přesouváme členy:
Příklad 3: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Rovnice se zlomkem: celou rovnici vynásobíme jmenovatelem - zlomek zmizí a dál počítáme s celými čísly:
Příklad 4: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Dva zlomky s různým jmenovatelem: celou rovnici vynásobíme společným jmenovatelem (nejmenším společným násobkem obou jmenovatelů) - zlomky zmizí:
Příklad 5: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Zlomek před i uvnitř závorky: nejdřív roznásobíme závorku, teprve pak vynásobíme rovnici a zbavíme se zlomků - tady se často chybuje:
Příklad 6: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Rovnice s desetinnými čísly: celou rovnici vynásobíme deseti (nebo 100, 1000...) - desetinná čárka zmizí a dál počítáme s celými čísly:
Příklad 7: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Desetinná čísla se závorkou: nejdřív roznásobíme závorku, teprve pak vynásobíme rovnici deseti a zbavíme se desetinných čísel - tady se často chybuje:
Příklad 8: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Desetinná čísla i zlomky dohromady: desetinné číslo nejdřív převedeme na zlomek (0,5 = 1⁄2), pak počítáme jako s běžnými zlomky:
Příklad 9: Vyřešte rovnici
Odpověď:
Soustava dvou rovnic: Smíšená metoda
Soustava jsou dvě rovnice se dvěma neznámými x a y, které platí zároveň.
Sčítací část: rovnice sečteme pod sebou tak, aby se jedna neznámá vyrušila (koeficienty musí být opačné - když nejsou, jednu rovnici nebo obě rovnice vynásobíme).
Dosazovací část: spočítanou neznámou dosadíme zpět do jedné z rovnic a dopočítáme druhou.
Sčítací část
- U y jsou koeficienty opačné (−1 a +1), rovnice napíšeme pod sebe.
- Rovnice sečteme - y se vyruší.
- Zůstane 6x = 6, obě strany vydělíme 6.
- Vyjde x = 1.
Dosazovací část
- Za x dosadíme 1 do druhé rovnice.
- Odečteme 2 od obou stran.
- Vyjde y = 2.
Odpověď:
Koeficienty už sedí: u y je +1 a −1 - rovnice rovnou sečteme, násobit nemusíme:
Příklad 1: Vyřešte soustavu
Dosadíme x = 3 do první rovnice a dopočítáme y:
Odpověď:
Koeficienty nesedí - vynásobíme: u y je −5 a +1; druhou rovnici vynásobíme 5, aby vzniklo +5y a −5y se vyrušilo:
Příklad 2: Vyřešte soustavu
Dosadíme x = 0 do druhé rovnice a dopočítáme y:
Odpověď:
Jak řešit x-ové úlohy
V těchto úlohách ti zadání samo řekne, co znamená proměnná x (například „počet samolepek označíme x").
- Zjisti ze zadání, co je x.
- Vyjádři každou další veličinu výrazem s x:
„čtvrtina z x" →„o polovinu více" →„o 8 více" →„dvakrát více" →
- Sestav rovnici z podmínky v zadání (co se čemu rovná, co dává dohromady celek).
- Vyřeš rovnici a napiš odpověď na otázku.
Jak postavit rovnici
- Najdi ve větě „rovná se". Prozradí ho slova jako celkem, je nebo NEŽ - na jejich místo přijde znaménko =.
- Rozděl větu na dvě strany. Co je ve větě před tímto slovem, napiš vlevo od =; co je za ním, napiš vpravo.
- Dorovnání dej na opačnou stranu. Údaj jako dvakrát více nebo o polovinu méně se počítá u veličiny na druhé straně, než u které je ve větě napsaný.
Zkusme to na větě z příkladu:
„Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek NEŽ Bára."
Adam + Cyril = 2 · Bára
Příklad 1: Adam, Bára a Cyril sbírají samolepky. Adam jich má nejméně. Bára má o polovinu více samolepek než Adam a Cyril má o 8 samolepek více než Adam. Počet Adamových samolepek označíme x.
1. Vyjádříme počty samolepek pomocí x
Adam:
Bára: o polovinu více než Adam
Cyril: o 8 více než Adam
Kdy je u čísla x?
2. Sestavíme rovnici
Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek než Bára:
Adam + Cyril = 2 · Bára
Jak z věty vznikne tahle rovnice? Koukni do vysvětlení „Jak postavit rovnici" nad příkladem.
Za jména dosadíme výrazy s x:
3. Vyřešíme rovnici
Odpověď: Adam má 8 samolepek (Bára 12, Cyril 16).
Těžší varianta: když je x před slovem NEŽ
Příklad 2: Máme tři stuhy. Délku první stuhy označíme x. Druhá stuha je dvakrát delší než první. První stuha je o třetinu kratší než třetí. Všechny tři stuhy měří dohromady 90 cm. Jak dlouhá je první stuha?
1. Vyjádříme délky pomocí x
1. stuha:
2. stuha: dvakrát delší než první
3. stuha: obrácený vztah - viz níže
Přímo, nebo obrátit?
Pozor u 3. stuhy: První stuha je o třetinu kratší než třetí.
Za než je 3. stuha, kterou také neznáme, ne první! Použijeme pomocnou neznámou y:
Třetí stuha je tedy 3/2 x - o polovinu delší než první (ne kratší!). Takový zápis přes y funguje vždy, i pro „o něco víc", nejen pro zlomky.
2. Sestavíme rovnici
Všechny tři stuhy měří dohromady 90 cm:
1. stuha + 2. stuha + 3. stuha = 90
Dosadíme výrazy s x:
3. Vyřešíme rovnici
Rovnici vynásobíme 2, aby zmizel zlomek:
Odpověď: První stuha měří 20 cm (druhá 40 cm, třetí 30 cm).
Další varianta: celek rozdělený na dvě části
Příklad 3: Do cirkusu přišlo 250 diváků - dospělí a děti. Dospělý zaplatil za vstupenku 120 Kč, dítě 80 Kč. Celkem se vybralo 24 000 Kč. Počet dospělých diváků označte x. Kolik bylo dospělých?
1. Vyjádříme počty pomocí x
dospělí:
děti: zbytek do 250
Celek na dvě části
Mezi diváky jsou jen dvě skupiny: dospělí a děti, dohromady 250. Když je dospělých x, děti jsou zbytek do 250:
Sedí to: ✓
2. Sestavíme rovnici
Vstupné dospělých (120 Kč každý) a dětí (80 Kč každé) je dohromady 24 000 Kč:
120 · dospělí + 80 · děti = 24 000
Dosadíme (dospělí = x, děti = 250 − x):
3. Vyřešíme rovnici
Odpověď: Dospělých bylo 100 (dětí 150).
Stejná úloha - řešená soustavou dvou rovnic
Příklad 4: Do cirkusu přišlo 250 diváků - dospělí a děti. Dospělý zaplatil za vstupenku 120 Kč, dítě 80 Kč. Celkem se vybralo 24 000 Kč. Kolik bylo dospělých?
Je to úplně stejné zadání jako výše. Tentokrát ale zvolíme dvě neznámé - nemusíme pak vymýšlet „zbytek 250 − x".
1. Zvolíme dvě neznámé
x = počet dospělých
y = počet dětí
2. Sestavíme dvě rovnice
Diváků je dohromady 250:
dospělí + děti = 250
Za vstupné se vybralo 24 000 Kč:
120 · dospělí + 80 · děti = 24 000
Označíme x = dospělí, y = děti - vznikne soustava:
3. Vyřešíme soustavu
Vynásobíme 1. rovnici −80, aby se u y vyrušilo (80 a −80), a rovnice sečteme:
Dosadíme x = 100 do 1. rovnice a dopočítáme y:
Odpověď: Dospělých bylo 100 (dětí 150) - stejný výsledek jako první metodou.
Zrádná varianta: zlomek se bere ze zbytku
Příklad 5: Klára nasbírala kaštany. Počet kaštanů označte x. První den použila třetinu z nich na zvířátka. Druhý den darovala tři čtvrtiny ze zbývajících kaštanů kamarádovi. Zůstalo jí 20 kaštanů. Kolik kaštanů nasbírala?
1. Vyjádříme počty pomocí x
1. den použila: třetina z celku
zbylo: celek − třetina
2. den darovala: tři čtvrtiny ZE ZBYTKU - viz karta
zůstalo: 20 kaštanů
Ze zbytku, ne z celku!
Druhý den bere Klára tři čtvrtiny z toho, co zbylo (⅔ x), ne z celého x. Právě tady se skoro vždy chybuje:
✗ takhle ne: (to jsou tři čtvrtiny z celku)
✓ správně: (tři čtvrtiny ze zbytku ⅔ x)
2. Sestavíme rovnici
Celek − použité − darované = zůstatek:
3. Vyřešíme rovnici
Odpověď: Klára nasbírala 120 kaštanů.
Jak řešit slovní úlohu rovnicí
Tady zadání neřekne, co je x - neznámou si musíš zvolit sám.
- Zvol si neznámou x - označ jí veličinu, ke které se ostatní vztahují (často tu nejmenší nebo základní).
- Vyjádři každou další veličinu výrazem s x:
„čtvrtina z x" →„o polovinu více" →„o 8 více" →„dvakrát více" →
- Sestav rovnici - nejčastěji z toho, co dává dohromady celek (třeba „dohromady 60 kg").
- Vyřeš rovnici a napiš odpověď na otázku.
Když se všechny veličiny nedají vyjádřit jednou neznámou, zvolíme dvě (x a y) a sestavíme soustavu dvou rovnic.
Jak zvolit neznámou
- Základní veličinu najdeš hned ZA slovem NEŽ. Ostatní se k ní vztahují („dvakrát těžší nebo o 4 kg těžší než ona").
- Obvykle je to ta nejmenší nebo základní veličina.
- Tuto veličinu označ x - ostatní z ní pak snadno vyjádříš.
Zkusme to na větě:
„Druhý pytel je dvakrát těžší NEŽ první, třetí o 4 kg těžší NEŽ první."
Nejchytřejší volba: zvol za x rovnou to, na co se úloha ptá - na konci pak nic nedopočítáváš a hned odpovíš.
Jak postavit rovnici
- Najdi ve větě „rovná se". Prozradí ho slova jako celkem, je nebo NEŽ - na jejich místo přijde znaménko =.
- Rozděl větu na dvě strany. Co je ve větě před tímto slovem, napiš vlevo od =; co je za ním, napiš vpravo.
- Dorovnání dej na opačnou stranu. Údaj jako dvakrát více nebo o polovinu méně se počítá u veličiny na druhé straně, než u které je ve větě napsaný.
Ukažme si to na větě:
„Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek NEŽ Bára."
Adam + Cyril = 2 · Bára
Příklad 1: Adam, Bára a Cyril sbírají samolepky. Adam jich má nejméně. Bára má o polovinu více samolepek než Adam a Cyril o 8 více než Adam. Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více než Bára. Kolik samolepek má Adam?
Volba neznámé: zvol si rozumně neznámou, my zvolíme třeba x = počet Adamových samolepek - Adam má nejméně a ostatní se k němu vztahují („než Adam").
Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.
Příklad 2: Máme tři stuhy. Druhá je dvakrát delší než první. První je o třetinu kratší než třetí. Dohromady měří 90 cm. Jak dlouhá je první stuha?
Volba neznámé: zvol si rozumně neznámou, my zvolíme třeba x = délku první stuhy - ostatní se k ní vztahují. (Pozor: u třetí stuhy je vztah obrácený.)
Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.
Příklad 3: Do cirkusu přišlo 250 diváků - dospělí a děti. Dospělý zaplatil 120 Kč, dítě 80 Kč. Celkem se vybralo 24 000 Kč. Kolik bylo dospělých?
Volba neznámé: zvol si rozumně neznámou, my zvolíme třeba x = počet dospělých; děti jsou pak zbytek (250 − x). (Klidně můžeš zvolit i x = počet dětí - vyjde totéž.)
Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.
Příklad 4: Tatáž úloha s cirkusem z předešlého příkladu (250 diváků, vstupné 120/80 Kč, celkem 24 000 Kč) jde vyřešit i dvěma neznámými.
Volba neznámých: když nechceš počítat „zbytek 250 − x", zvol rovnou dvě neznámé: x = počet dospělých a y = počet dětí - a sestav soustavu dvou rovnic.
I tady jsme za neznámou x vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá (dospělí) → na konci hned odpovíš.
Příklad 5: Klára nasbírala kaštany. První den použila třetinu z nich, druhý den darovala tři čtvrtiny ze zbývajících kaštanů. Zůstalo jí 20 kaštanů. Kolik kaštanů nasbírala?
Volba neznámé: zvol si rozumně neznámou, my zvolíme třeba x = počet nasbíraných kaštanů (celek) - z něj vyjádříš, kolik postupně ubylo.
Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.
Jak zvolit neznámou
- Základní veličinu najdeš hned ZA slovem NEŽ. Ostatní se k ní vztahují („dvakrát těžší nebo o 4 kg těžší než ona").
- Obvykle je to ta nejmenší nebo základní veličina.
- Tuto veličinu označ x - ostatní z ní pak snadno vyjádříš.
Zkusme to na větě:
„Druhý pytel je dvakrát těžší NEŽ první, třetí o 4 kg těžší NEŽ první."
Nejchytřejší volba: zvol za x rovnou to, na co se úloha ptá - na konci pak nic nedopočítáváš a hned odpovíš.
Jak řešit slovní úlohu rovnicí
- Zvol si neznámou x - označ jí veličinu, ke které se ostatní vztahují (často tu nejmenší nebo základní).
- Vyjádři každou další veličinu na základě x:
„čtvrtina z x" →„o polovinu více" →„o 8 více" →„dvakrát více" →
- Sestav rovnici - nejčastěji z toho, co dává dohromady celek (třeba „dohromady 60 kg").
- Vyřeš rovnici a napiš odpověď na otázku.
Jak postavit rovnici
- Najdi ve větě „rovná se". Prozradí ho slova jako celkem, je nebo NEŽ - na jejich místo přijde znaménko =.
- Rozděl větu na dvě strany. Co je ve větě před tímto slovem, napiš vlevo od =; co je za ním, napiš vpravo.
- Dorovnání dej na opačnou stranu. Údaj jako dvakrát více nebo o polovinu méně se počítá u veličiny na druhé straně, než u které je ve větě napsaný.
Ukažme si to na větě:
„Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek NEŽ Bára."
Adam + Cyril = 2 · Bára
Příklad 1: Adam, Bára a Cyril sbírají samolepky. Adam jich má nejméně. Bára má o polovinu více samolepek než Adam a Cyril má o 8 samolepek více než Adam. Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více než Bára. Kolik samolepek má Adam?
1. Volba neznámé
Zvol si rozumně neznámou, my zvolíme x = počet Adamových samolepek - Adam má nejméně a ostatní se k němu vztahují („než Adam").
Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.
2. Vyjádříme počty samolepek pomocí x
Adam:
Bára: o polovinu více než Adam
Cyril: o 8 více než Adam
Kdy je u čísla x?
3. Sestavíme rovnici
Adam a Cyril mají dohromady dvakrát více samolepek než Bára:
Adam + Cyril = 2 · Bára
Jak z věty vznikne tahle rovnice? Koukni do vysvětlení „Jak postavit rovnici" nad příkladem.
Za jména dosadíme výrazy s x:
4. Vyřešíme rovnici
Odpověď: Adam má 8 samolepek (Bára 12, Cyril 16).
Těžší varianta: obrácený vztah „kratší než"
Příklad 2: Tři svíčky hořely různě dlouho. První svíčka hořela 60 minut. Druhá hořela o třetinu kratší dobu než první. První svíčka hořela o třetinu kratší dobu než třetí. Jak dlouho hořela druhá a třetí svíčka?
Tady neznámou volit nemusíme - první svíčku už známe (60 min), zbylé dvě jen dopočítáme.
Přímo, nebo obrátit?
Rozhoduje, co stojí za slovem než, co je základ:
- Druhá svíčka je o třetinu kratší než první. Za „než" je první svíčka (60 min) - tu už známe, počítáme přímo: druhá jsou dvě třetiny z 60 min.
202020první = 60 min (3 třetiny), druhá = 2 třetiny = 40 min
- První svíčka je o třetinu kratší než třetí. Za „než" je třetí, kterou teprve hledáme - vztah je obrácený. První svíčka (60 min) je známé číslo. První jsou dvě třetiny třetí, takže třetí je tři poloviny první.
303030první = 2 třetiny (60 min) → 1 třetina = 30 min → třetí = 90 min
Druhá svíčka (dvě třetiny z 60)
Třetí svíčka (tři poloviny z 60 - obrácený vztah)
Odpověď: Druhá svíčka hořela 40 minut, třetí 90 minut.
Další varianta: celek rozdělený na dvě části
Příklad 3: Do cirkusu přišlo 250 diváků - dospělí a děti. Dospělý zaplatil za vstupenku 120 Kč, dítě 80 Kč. Celkem se vybralo 24 000 Kč. Kolik bylo dospělých?
1. Volba neznámé
Zvol si rozumně neznámou, my zvolíme x = počet dospělých; děti jsou pak zbytek (250 − x). (Klidně můžeš zvolit i x = počet dětí - vyjde totéž.)
Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.
2. Vyjádříme počty pomocí x
dospělí:
děti: zbytek do 250
Celek na dvě části
Mezi diváky jsou jen dvě skupiny: dospělí a děti, dohromady 250. Když je dospělých x, děti jsou zbytek do 250:
Sedí to: ✓
3. Sestavíme rovnici
Vstupné dospělých (120 Kč každý) a dětí (80 Kč každé) je dohromady 24 000 Kč:
120 · dospělí + 80 · děti = 24 000
Dosadíme (dospělí = x, děti = 250 − x):
4. Vyřešíme rovnici
Odpověď: Dospělých bylo 100 (dětí 150).
Další varianta: dvě věci - jednu vyjádříme na základě druhé
Příklad 4: Ve stánku prodávají malé a velké perníčky. Velkých prodali třikrát více než malých. Malý perníček stojí 20 Kč, velký 30 Kč. Dohromady utržili 660 Kč. Kolik malých perníčků prodali?
1. Volba neznámé
Zvol si rozumně neznámou, my zvolíme x = počet malých perníčků - velkých je „třikrát více než malých", takže se vztahují k malým.
Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.
2. Vyjádříme počty pomocí x
malé: 20 Kč za kus
velké: 30 Kč za kus třikrát více než malých, takže 3x
3. Sestavíme rovnici
Tržba za malé (20 Kč každý) a za velké (30 Kč každý) je dohromady 660 Kč:
20 Kč · malé + 30 Kč · velké = 660
Dosadíme (malé = x, velké = 3x):
4. Vyřešíme rovnici
Odpověď: Malých perníčků prodali 6 (velkých 18).
Zrádná varianta: zlomek se bere ze zbytku
Příklad 5: Klára nasbírala kaštany. První den použila třetinu z nich na zvířátka. Druhý den darovala tři čtvrtiny ze zbývajících kaštanů kamarádovi. Zůstalo jí 20 kaštanů. Kolik kaštanů nasbírala?
1. Volba neznámé
Zvol si rozumně neznámou, my zvolíme x = počet nasbíraných kaštanů (celek) - z něj vyjádříš, kolik postupně ubylo.
Za neznámou jsme vybrali rovnou tu, na kterou se příklad ptá → na konci hned odpovíš.
2. Vyjádříme počty pomocí x
1. den použila: třetina z celku
zbylo: celek − třetina
2. den darovala: tři čtvrtiny ZE ZBYTKU - viz karta
zůstalo: 20 kaštanů
Ze zbytku, ne z celku!
Druhý den bere Klára tři čtvrtiny z toho, co zbylo (⅔ x), ne z celého x. Právě tady se skoro vždy chybuje:
✗ takhle ne: (to jsou tři čtvrtiny z celku)
✓ správně: (tři čtvrtiny ze zbytku ⅔ x)
3. Sestavíme rovnici
Celek − použité − darované = zůstatek:
4. Vyřešíme rovnici
Odpověď: Klára nasbírala 120 kaštanů.
Jak vyřešit slovní úlohu
Postup
- Přečti si úlohu pozorně - klidně dvakrát. Musíš rozumět každému slovu.
- Zapiš si, co víš a co hledáš. Uděláš si přehledný zápis (viz záložka Zápis úlohy).
- Vyber si cestu k výsledku - pokus-omyl (tipuj a kontroluj), nebo chytrou úvahu.
- Spočítej to.
- Odpověz celou větou.
Pozor na pasti: slovo „méně" nemusí vždy znamenat odčítání a „více" ne vždy sčítání - vždy si to promysli. A někdy je v úloze číslo navíc, které vůbec nepotřebuješ.
Dvě cesty k výsledku
Pokus-omyl
Tipuješ jedno číslo a zkontroluješ, jestli zapadá do všech vztahů a čísel v příkladu. Pokud čísla neodpovídají příkladu, tipované číslo zvětšíš nebo zmenšíš a znovu ověříš. Tento postup opakuješ tak dlouho, dokud tvoje číslo nezapadne do všech čísel a vztahů v příkladu. Zvládne ho každý.
Úvaha - chytré řešení
Chytře domyslíš výsledek rovnou, bez tipování. Je rychlejší, ale těžší - chce to cvik. Musíš to vymyslet.
Obě cesty vedou ke stejnému výsledku. Klidně začni pokusem-omylem - a časem zkoušej i úvahu.
Příklad 1: V půjčovně jsou jen koloběžky a tříkolky, dohromady 20 dopravních prostředků. Koloběžka má 2 kolečka, tříkolka má 3 kolečka.
Všechny dopravní prostředky mají dohromady 47 koleček. Kolik je koloběžek a kolik tříkolek?
Zápis
Řešení
Pokus-omyl - tipuji tříkolky - třeba 10
| tříkolky | koloběžky | koleček celkem | je jich 47? |
|---|---|---|---|
| počet tříkolek | počet koloběžek | počet tříkolek · 3 kolečka + počet koloběžek · 2 kolečka = celkem koleček | |
| 10 | 10 | 50 ≠ 47 moc – o 3 ↓ uber tříkolky |
|
| 5 | 15 | 45 ≠ 47 málo – o 2 ↑ přidej tříkolky |
|
| 7 | 13 | 47 = 47 to je ono ✓ |
Úvaha - chytré řešení
Kdyby všech 20 dopravních prostředků byly koloběžky, měly by dohromady koleček.
Jenže jich je 47 - to je koleček navíc.
Každá tříkolka má o 1 kolečko víc než koloběžka, takže těch 7 koleček navíc udělalo 7 tříkolek.
Zbytek jsou koloběžky: .
Odpověď: V půjčovně je 7 tříkolek a 13 koloběžek.
Příklad 2: Kuba a Lucka si rozdělili 300 korun. Kuba dostal o 60 korun víc než Lucka.
Kolik korun dostal každý?
Zápis
Řešení
Úsečkový nákres
Kdyby Kuba dostal stejně jako Lucka, bylo by to o 60 korun míň: Kč.
To jsou dvě stejné modré části, jednu dostaneme dělením dvěma: Kč - to má Lucka.
Kuba má o 60 víc: Kč.
Pokus-omyl - tipuji, kolik má Lucka, třeba 100 Kč
| Lucka | Kuba | dohromady | je to 300? |
|---|---|---|---|
| Lucka | Kuba | Lucka + Kuba = dohromady | |
| 100 | 160 | 260 ≠ 300 málo – o 40 ↑ přidej Lucce |
|
| 150 | 210 | 360 ≠ 300 moc – o 60 ↓ uber Lucce |
|
| 120 | 180 | 300 = 300 to je ono ✓ |
Odpověď: Lucka dostala 120 Kč a Kuba 180 Kč.
Příklad 3: Adéla měla nálepky. Dvě pětiny nálepek dala Báře, jednu pětinu Kubovi a zůstalo jí 12 nálepek.
Kolik nálepek měla Adéla na začátku?
Zápis
Řešení
Rozdělení na části
Celek rozdělíme na 5 stejných částí - pětin. Pětiny, které známe, vyškrtneme - a na ty, co zbudou, přiřadíme počet.
Rozdané pětiny vyškrtneme: rozdáno nálepek.
Zůstaly - a to je těch 12 nálepek.
Na jednu pětinu tedy připadá nálepek.
Celek je 5 pětin: nálepek.
Pokus-omyl - tipuji celkový počet, třeba 20
| celkem | rozdáno | zůstalo | je to 12? |
|---|---|---|---|
| celkem | tři pětiny z celku | celkem − rozdáno = zůstalo | |
| 20 | 8 ≠ 12 málo – o 4 ↑ přidej |
||
| 40 | 16 ≠ 12 moc – o 4 ↓ uber |
||
| 30 | 12 = 12 to je ono ✓ |
Odpověď: Adéla měla na začátku 30 nálepek.
Čtverec
Čtverec má čtyři stejně dlouhé strany (všechny značíme a) a všechny vnitřní úhly pravé (90°). Vrcholy značíme A, B, C, D.
Obvod
Délka červené čáry OKOLO čtverce - všechny čtyři strany sečteme. Všechny strany jsou stejně dlouhé, proto stačí 4 · strana:
Obsah
Velikost modré plochy UVNITŘ čtverce - kolik čtverečků 1×1 se dovnitř vejde. V každém řádku je a čtverečků a řádků je také a, tedy strana · strana:
Úhlopříčka
Fialová spojnice protějších vrcholů (A a C). Rozdělí čtverec na dva pravoúhlé trojúhelníky - úhlopříčka u je jejich přepona, proto ji počítáme Pythagorovou větou ze dvou stran čtverce:
Obvod je délka cesty OKOLO útvaru, obsah je plocha UVNITŘ - nepleť si je.
Čtverec
Obvod - délka cesty okolo čtverce: sečteme všechny čtyři strany, tedy o = 4 · a.
Příklad 1: Vypočítej obvod čtverce se stranou a = 5.
Odpověď: Obvod čtverce je 20.
Obsah - velikost plochy uvnitř čtverce: S = a · a = a². Obsah je počet čtverečků 1×1, které se dovnitř vejdou - v každém řádku je a čtverečků a řádků je a.
Příklad 2: Vypočítej obsah čtverce se stranou a = 5.
Odpověď: Obsah čtverce je 25.
Úhlopříčka - spojnice protějších vrcholů (u). Rozdělí čtverec na dva pravoúhlé trojúhelníky, proto se počítá Pythagorovou větou.
Příklad 3: Vypočítej úhlopříčku čtverce se stranou a = 5.
Odpověď: Úhlopříčka měří přibližně 7,1.
Obdélník
Obdélník má protější strany stejně dlouhé - jednu značíme a, druhou b - a všechny vnitřní úhly má pravé (90°). Vrcholy značíme A, B, C, D.
Obvod
Délka čáry OKOLO obdélníku - všechny čtyři strany sečteme. Protější strany jsou stejně dlouhé: dvě strany a (červené) a dvě strany b (zelené):
Obsah
Velikost modré plochy UVNITŘ obdélníku - kolik čtverečků 1×1 se dovnitř vejde. V každém řádku je a čtverečků a řádků je b, tedy strana · strana:
Úhlopříčka
Fialová spojnice protějších vrcholů (A a C) - obě úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé. Úhlopříčka rozdělí obdélník na dva pravoúhlé trojúhelníky - u je jejich přepona, proto ji počítáme Pythagorovou větou ze stran a a b:
Stejný obvod neznamená stejný obsah - ze všech obdélníků se stejným obvodem má největší obsah čtverec.
Obdélník
Obvod - sečteme všechny čtyři strany: dvě strany a a dvě strany b, tedy o = 2 · a + 2 · b.
Příklad 1: Vypočítej obvod obdélníku se stranami a = 8 a b = 6.
Odpověď: Obvod obdélníku je 28.
Obsah - plocha uvnitř: S = a · b. Obsah je počet čtverečků 1×1 uvnitř - v každém řádku je a čtverečků a řádků je b.
Příklad 2: Vypočítej obsah obdélníku se stranami a = 8 a b = 6.
Odpověď: Obsah obdélníku je 48.
Úhlopříčka - spojnice protějších vrcholů (u). Obě úhlopříčky obdélníku jsou stejně dlouhé; počítají se Pythagorovou větou.
Příklad 3: Vypočítej úhlopříčku obdélníku se stranami a = 8 a b = 6.
Odpověď: Úhlopříčka měří 10.
Stejný obvod ≠ stejný obsah - všechny tři obdélníky na obrázku mají úplně stejný obvod o = 28, a přesto různý obsah.
Kruh
Kružnice je čára okolo, kruh je celá plocha uvnitř.
Poloměr r je vzdálenost od středu S k okraji, průměr d = 2r vede přes celý kruh středem. Počítáme s π ≐ 3,14.
Obvod
Délka červené kružnice OKOLO kruhu. Spočítá se z poloměru: o = 2πr. Stejný výsledek dá i o = πd:
Obsah
Velikost modré plochy UVNITŘ kruhu. Spočítá se z poloměru umocněného na druhou: S = πr²:
π ≐ 3,14 je poměr obvodu a průměru (o : d) - stejný pro každý kruh na světě.
Kruh
Obvod - délka kružnice: o = 2πr, stejný výsledek dá i o = πd.
Příklad 1: Vypočítej obvod kruhu s poloměrem r = 5.
Odpověď: Obvod kruhu je přibližně 31,4.
Poznámka:
Proč zrovna π? - když obvod kruhu narovnáme do přímky, průměr d se do něj vejde vždy 3,14× - ať je kruh jakkoli velký. Přesně to je číslo π.
Obsah - plocha uvnitř kruhu: S = πr².
Příklad 2: Vypočítej obsah kruhu s poloměrem r = 5.
Odpověď: Obsah kruhu je přibližně 78,5.
Poznámka:
Proč S = πr²? - kruh rozřežeme na výseče a poskládáme je střídavě vedle sebe. Vznikne skoro obdélník se stranami πr a r. Čím víc dílků, tím přesnější obdélník.
Půlkruh a čtvrtkruh
Obvod půlkruhu i čtvrtkruhu má dvě části: oblouk (část kružnice) a rovné strany. Obsah je polovina, resp. čtvrtina obsahu celého kruhu.
Příklad 3: Vypočítej obvod a obsah půlkruhu s poloměrem r = 5.
Odpověď: Obvod půlkruhu je přibližně 25,7, obsah přibližně 39,25.
Příklad 4: Vypočítej obvod a obsah čtvrtkruhu s poloměrem r = 5.
Odpověď: Obvod čtvrtkruhu je přibližně 17,85, obsah přibližně 19,63.
Pravoúhlý trojúhelník
Má jeden pravý úhel (u vrcholu C). Strany u pravého úhlu jsou odvěsna a a odvěsna b, nejdelší strana proti pravému úhlu je přepona c.
Pythagorova věta
Obsah čtverce nad přeponou se rovná součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami. Přeponu tak dopočítáš z odvěsen:
Obvod a obsah
Obvod = součet všech tří stran. Obsah = obě odvěsny jsou na sebe kolmé, tak jedna slouží jako základna a druhá jako výška:
|
Trojúhelník se stranami 3, 4 a 5 je jeden ze základních pytagorejských trojúhelníků - je vždy pravoúhlý. Pravoúhlé jsou i všechny jeho násobky (6, 8, 10 nebo 9, 12, 15, …), v přijímačkách se objevují často.
Pravoúhlý trojúhelník
Má jeden pravý úhel (u vrcholu C). Strany u pravého úhlu jsou odvěsna a a odvěsna b, nejdelší strana proti pravému úhlu je přepona c.
Pythagorova věta - obsah čtverce nad přeponou se rovná součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami: c² = a² + b². Porovnej barevné čtverce v obrázku.
Příklad 1: Vypočítej přeponu trojúhelníku s odvěsnami a = 4 a b = 3.
Odpověď: Přepona měří 5.
Dopočet odvěsny - když známe přeponu a jednu odvěsnu, druhou dopočítáme odečtením: a² = c² − b².
Příklad 2: Vypočítej odvěsnu a, když c = 5 a b = 3.
Odpověď: Odvěsna a měří 4.
Obvod - součet všech tří stran: o = a + b + c.
Příklad 3: Vypočítej obvod trojúhelníku se stranami a = 4, b = 3, c = 5.
Odpověď: Obvod trojúhelníku je 12.
Obsah - odvěsny jsou na sebe kolmé, jedna je základna a druhá výška: S = (a · b) : 2.
Příklad 4: Vypočítej obsah trojúhelníku s odvěsnami a = 4 a b = 3.
Odpověď: Obsah trojúhelníku je 6.
Obecný trojúhelník
Vrcholy značíme A, B, C; strana a = BC leží proti vrcholu A, b = AC proti B a c = AB proti C.
Obvod
Součet všech tří stran:
Obsah
Základna krát výška děleno dvěma. Výška v je kolmice z vrcholu C na základnu c:
Vnitřní úhly
Součet vnitřních úhlů KAŽDÉHO trojúhelníku je vždy 180°:
Trojúhelník jde sestrojit, jen když je součet dvou kratších stran větší než třetí strana (trojúhelníková nerovnost).
Obecný trojúhelník
Vrcholy značíme A, B, C; strana a = BC leží proti vrcholu A, b = AC proti B a c = AB proti C.
Obvod - součet všech tří stran: o = a + b + c.
Příklad 1: Vypočítej obvod trojúhelníku se stranami a = 6, b = 5, c = 8.
Odpověď: Obvod trojúhelníku je 19.
Obsah - základna krát výška děleno dvěma: S = (c · v) : 2. Výška v je kolmice z vrcholu C na základnu c.
Příklad 2: Vypočítej obsah trojúhelníku se základnou c = 8 a výškou v ≐ 3,75.
Odpověď: Obsah trojúhelníku je 15.
Vnitřní úhly - součet vnitřních úhlů je vždy 180°: α + β + γ = 180°. U našeho trojúhelníku:
Čáry v trojúhelníku - tři důležité druhy čar, které se v úlohách objevují:
Výšky
Výška = kolmice z vrcholu na protější stranu. Všechny tři výšky se protínají v jednom bodě.
Těžnice
Těžnice = spojnice vrcholu se středem protější strany. Protínají se v těžišti T.
Střední příčky
Střední příčka = spojnice středů stran. Je rovnoběžná s protější stranou a měří přesně její polovinu. Trojúhelník se rozpadne na 4 shodné trojúhelníky - malý trojúhelník uprostřed má čtvrtinu obsahu.
Rovnoramenný trojúhelník
Dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé: a = b. Třetí strana je základna c.
Obvod
Dvě stejná ramena a základna:
Výška a obsah
Výška v na základnu základnu půlí, proto se spočítá Pythagorovou větou z ramene a a poloviny základny. Obsah = základna krát výška děleno dvěma:
|
Rovnoramenný trojúhelník
Obvod - dvě ramena a základna: o = 2a + c.
Příklad 1: Vypočítej obvod trojúhelníku s rameny a = 5 a základnou c = 6.
Odpověď: Obvod trojúhelníku je 16.
Výška na základnu - Pythagorova věta v trojúhelníku z ramene a a poloviny základny c : 2.
Příklad 2: Vypočítej výšku na základnu, když a = 5 a c = 6.
Odpověď: Výška měří 4.
Obsah - základna krát výška děleno dvěma: S = (c · v) : 2.
Příklad 3: Vypočítej obsah trojúhelníku se základnou c = 6 a výškou v = 4.
Odpověď: Obsah trojúhelníku je 12.
Rovnostranný trojúhelník
Všechny tři strany jsou stejně dlouhé: a = b = c. Každý rovnostranný trojúhelník má všechny vnitřní úhly 60°.
Obvod
Tři stejné strany:
Výška a obsah
Výška v se spočítá Pythagorovou větou ze strany a a její poloviny. Obsah = strana krát výška děleno dvěma:
|
Rovnostranný trojúhelník
Obvod - tři stejné strany: o = 3a.
Příklad 1: Vypočítej obvod rovnostranného trojúhelníku se stranou a = 5.
Odpověď: Obvod trojúhelníku je 15.
Výška - Pythagorova věta ze strany a a její poloviny.
Příklad 2: Vypočítej výšku rovnostranného trojúhelníku se stranou a = 5.
Odpověď: Výška měří přibližně 4,33.
Obsah - strana krát výška děleno dvěma: S = (a · v) : 2.
Příklad 3: Vypočítej obsah rovnostranného trojúhelníku se stranou a = 5.
Odpověď: Obsah trojúhelníku je přibližně 10,83.
Zapamatuj si
U pravidelného šestiúhelníku je poloměr kružnice opsané PŘESNĚ roven straně (r = a) - proto se skládá z šesti rovnostranných trojúhelníků.
Pravidelný šestiúhelník
Pravidelný šestiúhelník má šest stejně dlouhých stran a skládá se ze šesti rovnostranných trojúhelníků se společným vrcholem ve středu S.
Obvod - šest stejných stran: o = 6 · a.
Příklad 1: Vypočítej obvod pravidelného šestiúhelníku se stranou a = 5.
Odpověď: Obvod šestiúhelníku je 30.
Obsah - šest rovnostranných trojúhelníků: S = 6 · S△. Výška v jednoho trojúhelníku se spočítá Pythagorovou větou.
Příklad 2: Vypočítej obsah pravidelného šestiúhelníku se stranou a = 5.
Odpověď: Obsah šestiúhelníku je přibližně 64,98.
Kružnice opsaná - prochází všemi vrcholy šestiúhelníku a její poloměr je roven straně: r = a.
Trojúhelník a kružnice
Kružnice opsaná - prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed So leží na průsečíku os stran (čerchovaně) a je od všech vrcholů stejně daleko (poloměr ro). U tupoúhlého trojúhelníku leží So vně trojúhelníku.
Kružnice vepsaná - dotýká se všech tří stran zevnitř. Střed Sv leží na průsečíku os úhlů (čerchovaně) a je od všech stran stejně daleko (poloměr rv).
Čtverec a kružnice
Kružnice vepsaná - dotýká se všech čtyř stran ve středech stran: rv = a : 2.
Kružnice opsaná - prochází všemi vrcholy, poloměr je polovina úhlopříčky: ro = (a · √2) : 2. Je to zároveň Thaletova kružnice nad úhlopříčkou čtverce.
Příklad: Čtverec se stranou a = 5.
Poměr obsahů kruhů - počítáme s π ≐ 3,14:
Zapamatuj si: kruh opsaný čtverci má vždy přesně dvojnásobný obsah než kruh vepsaný (poměr 2 : 1).
Obdélník a kružnice
Kružnice opsaná - prochází všemi vrcholy. Střed leží na průsečíku úhlopříček a poloměr je polovina úhlopříčky (Pythagorova věta). Je to zároveň Thaletova kružnice nad úhlopříčkou.
Příklad: Obdélník se stranami a = 6 a b = 4.
Kruh uvnitř - kruh o poloměru poloviny kratší strany se dotkne jen delších stran. Vepsanou kružnici (dotýkající se všech čtyř stran) má ze čtyřúhelníků jen čtverec.
Thaletova kružnice
Thaletova věta - trojúhelník sestrojený nad průměrem AB kružnice, jehož třetí vrchol C leží na kružnici, má u vrcholu C vždy pravý úhel.
Zapamatuj si: úhel u C je pravý pro KAŽDOU polohu bodu C na kružnici. Zbývající dva úhly se vždy doplní do 90° (α + β = 90°).
Obsah trojúhelníku - proč se dělí dvěma
Pravoúhlý trojúhelník - úhlopříčka rozdělí obdélník na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. Každý má polovinu obsahu obdélníku.
Obecný trojúhelník - výška rozřízne obecný trojúhelník na dva pravoúhlé. Každý z nich je polovinou svého obdélníčku - celý trojúhelník je tedy polovina obdélníku a × v (čárkovaně).
Zapamatuj si: obsah trojúhelníku = polovina obdélníku, ve kterém je „zabalený" - S = (základna · výška) : 2.
Mezikruží
Mezikruží je plocha mezi dvěma soustřednými kružnicemi. Obsah = obsah velkého kruhu minus obsah malého. Počítáme s π ≐ 3,14.
Příklad: Vypočítej obsah mezikruží s poloměry R = 5 a r = 3.
Odpověď: Obsah mezikruží je přibližně 50,24.
Čtverec ve čtverci
Menší čtverec spojuje středy stran velkého. Jeho slabé úhlopříčky rozřežou velký čtverec na 8 shodných trojúhelníků - žlutému čtverci patří 4 z nich, tedy přesně polovina.
Příklad: Velký čtverec má stranu a = 6.
Zapamatuj si: žádný vzorec - stačí spočítat trojúhelníky: velký čtverec jich má 8, žlutý 4, takže žlutý je vždy polovina.
Pro toto téma zatím nemáme připravený obsah.
