9. ročník · 2. náhradní termín 2023 · 16 úloh
Hmotnosti dvou závaží jsou v poměru 3 ∶ 5 a liší se o 600 g.
Vypočtěte v gramech hmotnost lehčího závaží.
Na číselné ose je vyznačeno 13 bodů, které oddělují 12 stejných dílků.
V jednom z těchto bodů je číslo 20 a body A, B, C představují tři kladná čísla.
Číslo v bodě C je součtem čísla v bodě A a čísla v bodě B.
Určete číslo v bodě
2.1 C,
2.2 B.
Vypočtěte a výsledek zapište zlomkem v základním tvaru.
3.1
3.2
3.3
4.1 Umocněte a zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):
4.2 Rozložte na součin podle vzorce:
4.3 Zjednodušte (výsledný výraz nesmí obsahovat závorky):
Řešte rovnici:
5.1
5.2
V pátek, v sobotu a v neděli se na mýtině vysazovaly stromy.
V sobotu bylo vysázeno o třetinu více stromů než v pátek.
V neděli bylo vysázeno dokonce o 60 % více stromů než v pátek.
Počet stromů vysázených v pátek označíme p.
6.1 Vyjádřete výrazem s proměnnou p počet stromů vysázených v sobotu.
6.2 Vyjádřete výrazem s proměnnou p počet stromů vysázených v neděli.
6.3 V pátek bylo vysázeno o 290 stromů méně než v obou zbývajících dnech dohromady.
Vypočtěte, kolik stromů bylo vysázeno v pátek.
Na parkovišti je přesně 105 parkovacích míst pro osobní auta.
Zaparkuje-li na parkovišti autobus, obsadí vždy 4 parkovací místa pro osobní auta.
(Parkoviště tedy zcela zaplní např. 101 osobních aut a jeden autobus.)
7.1 Na zcela zaplněném parkovišti je počet osobních aut stejný jako počet autobusů.
Vypočtěte, kolik je na parkovišti osobních aut.
7.2 Na zcela zaplněném parkovišti je osobních aut o čtvrtinu více než autobusů.
Vypočtěte, kolik je na parkovišti autobusů.
Ve čtvercové síti jsou z tmavých čtverců složeny tři útvary A, B, C.
Z každého útvaru vytvoříme odebráním jediného tmavého čtverce nový útvar, který je osově souměrný podle některé osy (svislé, vodorovné nebo šikmé).
V jednotlivých útvarech jsme každý tmavý čtverec označili číslem.
Z útvaru A lze vytvořit osově souměrný útvar buď odebráním čtverce 2, nebo odebráním čtverce 8.
Určete číslo čtverce, jehož odebráním vytvoříme osově souměrný útvar
8.1 z útvaru B,
8.2 z útvaru C.
{{note}}V každé části úlohy najděte obě řešení.
V rovině leží body P, Q, R a přímka a.
Na přímce a leží strana AB čtverce ABCD.
Dva ze tří bodů P, Q, R leží uvnitř dvou různých stran tohoto čtverce a třetí bod leží vně čtverce ABCD.
Sestrojte všechny vrcholy čtverce ABCD, označte je písmeny a čtverec narýsujte.
Najděte všechna řešení.
V rovině leží přímky b, c a na přímce b leží bod A.
Bod A je vrchol trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu A.
Na přímce b leží vrchol B a na přímce c leží vrchol C tohoto trojúhelníku.
Velikost vnitřního úhlu trojúhelníku ABC při vrcholu C je 40°.
Sestrojte vrcholy B, C trojúhelníku ABC, označte je písmeny a trojúhelník narýsujte.
Najděte všechna řešení.
Každý rok pracují v parku jednak brigádníci, kteří tam pracovali v předchozím roce, jednak nově přijatí brigádníci.
Na konci každého roku někteří ze všech těchto brigádníků z parku odcházejí a další rok v něm nepracují.
V grafu jsou znázorněny počty brigádníků v letech 2018 až 2022, tři údaje však chybí.
Např. v roce 2022 pracovalo v parku 9 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2021, a 6 nově přijatých brigádníků. Z těchto 15 brigádníků jich 8 na konci roku 2022 odešlo.
Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (11.1–11.3), zda je pravdivé (A), či nikoli (N).
11.1 V roce 2019 pracovalo v parku 16 brigádníků, kteří tam pracovali i v roce 2018.
11.2 V roce 2020 pracovalo v parku méně než 7 nově přijatých brigádníků.
11.3 Na konci roku 2021 z parku odešlo více než 12 brigádníků.
Velký obdélník lze rozdělit na dva shodné menší obdélníky nebo na dva čtverce.
Obvod jednoho z menších obdélníků je 30 cm.
Jaký je obvod velkého obdélníku?
Přímka p prochází vrcholy A, B trojúhelníku ABC, jehož vnitřní úhly mají velikosti α, β, γ.
Bodem B prochází rovnoběžka se stranou AC.
Jaká je velikost úhlu γ?
Velikosti úhlů neměřte, ale vypočtěte.
Kvádr s podstavou o rozměrech 6 cm a 8 cm a výškou 10 cm lze dvěma svislými úhlopříčnými řezy rozdělit na čtyři trojboké hranoly s výškou 10 cm.
Odebráním jednoho z trojbokých hranolů vznikne z kvádru pětiboký hranol jako na obrázku vpravo.
O kolik cm² se liší povrch pětibokého hranolu a povrch původního kvádru?
Přiřaďte ke každé úloze (15.1–15.3) odpovídající výsledek (A–F).
15.1 Letos se na gymnázium přihlásilo 420 uchazečů, což je o 40 % více, než se jich přihlásilo loni.
Kolik uchazečů se na gymnázium přihlásilo loni?
15.2 On-line kurzu českého jazyka se zúčastnilo 180 žáků, což je o 25 % méně, než se jich zúčastnilo on-line kurzu matematiky.
Kolik žáků se zúčastnilo on-line kurzu matematiky?
15.3 Včera navštívilo plavecký bazén celkem 680 dospělých, mezi nimiž bylo mužů o 30 % méně než žen.
Kolik mužů včera navštívilo plavecký bazén?
Obrazce tvaru trojúhelníku se sestavují skládáním šedých trojúhelníků do pater (viz obrázek). Šedé trojúhelníky mají ve vrcholech puntíky a na stranách stejně dlouhé úsečky. V prvním obrazci je pouze jeden šedý trojúhelník a každý další obrazec má o jedno patro šedých trojúhelníků více než předchozí obrazec.
16.1 Určete počet úseček v obrazci, který má 5 pater.
16.2 Počet úseček v posledním a v předposledním obrazci se liší o 96.
Určete, o kolik se liší počet puntíků v posledním a předposledním obrazci.
16.3 V jednom obrazci je 300 puntíků.
Určete počet úseček v následujícím obrazci.